1、 小初高1對1課外輔導專家函數單調性的判定方法學生： 日期; 課時： 教師：1.判斷具體函數單調性的方法1.1 定義法 一般地，設為定義在上的函數。若對任何、，當時，總有(1)，則稱為上的增函數，特別當成立嚴格不等時，稱為上的嚴格增函數；(2),則稱為上的減函數，特別當成立嚴格不等式時，稱為上的嚴格減函數。 利用定義來證明函數在給定區間上的單調性的一般步驟：（1）設元，任取,且；（2）作差；（3）變形（普遍是因式分解和配方）；（4）斷號（即判斷差與0的大?。唬?）定論（即指出函數 在給定的區間D上的單調性）。例1.用定義證明在上是減函數。證明：設,，且，則由于，則，即，所以在上是減函數。例2

2、.用定義證明函數 在上的單調性。證明：設、，且，則，又 所以，當、時，此時函數為減函數；當、時，此時函數為增函數。綜上函數 在區間內為減函數；在區間內為增函數。此題函數是一種特殊函數（對號函數），用定義法證明時通常需要進行因式分解，由于與0的大小關系不是明確的，因此要分段討論。 用定義法判定函數單調性比較適用于那種對于定義域內任意兩個數當時，容易得出與大小關系的函數。在解決問題時，定義法是最直接的方法，也是我們首先考慮的方法，雖說這種方法思路比較清晰，但通常過程比較繁瑣。1.2 函數性質法函數性質法是用單調函數的性質來判斷函數單調性的方法。函數性質法通常與我們常見的簡單函數的單調性結合起來使用

3、。對于一些常見的簡單函數的單調性如下表：函數函數表達式單調區間特殊函數圖像一次函數當時，在R上是增函數；當時，在R上是減函數。二次函數當時，時單調減,時單調增；當時，時單調增，時單調減。反比例函數且當時,在時單調減，在時單調減；當時,在時單調增，在時單調增。指數函數當時，在R上是增函數；當，時在R上是減函數。對數函數 當時，在上是增函數；當時，在上是減函數。一些常用的關于函數單調的性質可總結如下幾個結論：與+單調性相同。（為常數）當時，與具有相同的單調性；當時， 與具有相反的單調性。當恒不等于零時，與具有相反的單調性。當、在上都是增（減）函數時，則在上是增（減）函數。當、在上都是增（減）函數且

4、兩者都恒大于0時，在上是增（減）函數；當、在上都是增（減）函數且兩者都恒小于0時，在上是減（增）函數。設,為嚴格增（減）函數，則必有反函數，且在其定義域上也是嚴格增（減）函數。例3.判斷的單調性。解:函數的定義域為，由簡單函數的單調性知在此定義域內 均為增函數，因為,由性質可得也是增函數；由單調函數的性質知為增函數，再由性質知函數+5在為單調遞增函數。例4.設函數，判斷在其定義域上的單調性。 解:函數的定義域為.先判斷在內的單調性，由題可把轉化為，又故由性質可得為減函數；由性質可得為減函數；再由性質可得在內是減函數。同理可判斷在內也是減函數。故函數在內是減函數。函數性質法只能借助于我們熟悉的單

5、調函數去判斷一些函數的單調性，因此首先把函數等價地轉化成我們熟悉的單調函數的四則混合運算的形式，然后利用函數單調性的性質去判斷，但有些函數不能化成簡單單調函數四則混合運算形式就不能采用這種方法。1.3 圖像法 用函數圖像來判斷函數單調性的方法叫圖像法。根據單調函數的圖像特征，若函數的圖像在區間上從左往右逐漸上升則函數在區間上是增函數；若函數圖像在區間上從左往右逐漸下降則函數在區間上是減函數。、例5. 如圖1-1是定義在閉區間-5,5上的函數的圖像，試判斷其單調性。解：由圖像可知：函數的單調區間有-5,-2），-2,1），1,3），3,5）.其中函數在區間-5,-2），1,3）上的圖像是從左往右

6、逐漸下降的，則函數在區間-5,-2），1,3）為減函數；函數在區間-2,1），3,5上的圖像是從往右逐漸上升的，則函數在區間-2,1），3,5上是增函數。 例6.利用函數圖像判斷函數；在-3,3上的單調性。分析：觀察三個函數，易見，作圖一般步驟為列表、描點、作圖。首先作出和的圖像，再利用物理學上波的疊加就可以大致作出的圖像，最后利用圖像判斷函數的單調性。解:作圖像1-2如下所示：由以上函數圖像得知函數在閉區間-3,3上是單調增函數；在閉區間-3,3上是單調增函數；利用物理上波的疊加可以直接大致作出在閉區間-3,3上圖像，即在閉區間-3,3上是單調增函數。事實上本題中的三個函數也可以直接用函數性

7、質法判斷其單調性。 用函數圖像法判斷函數單調性比較直觀，函數圖像能夠形象的表示出隨著自變量的增加，相應的函數值的變化趨勢，但作圖通常較煩。對于較容易作出圖像的函數用圖像法比較簡單直觀，可以類似物理上波的疊加來大致畫出圖像。而對于不易作圖的函數就不太適用了。但如果我們借助于相關的數學軟件去作函數的圖像，那么用圖像法判斷函數單調性是非常簡單方便的。1.4 復合函數單調性判斷法定理1：若函數在內單調，在內單調，且集合， （1）若是增函數，是增（減）函數，則是增（減）函數。（2）若是減函數，是增（減）函數，則是減（增）函數。 歸納此定理，可得口訣：同則增，異則減（同增異減）復合函數單調性的四種情形可列

8、表如下：情形函數 單調性第種情形第種情形第種情形第種情形內層函數外層函數復合函數顯然對于大于2次的復合函數此法也成立。推論：若函數是K(K2),)個單調函數復合而成其中有個減函數： ； 。判斷復合函數的單調性的一般步驟：合理地分解成兩個基本初等函數；分別解出兩個基本初等函數的定義域；分別確定單調區間；若兩個基本初等函數在對應區間上的單調性是同時單調遞增或同單調遞減，則為增函數，若為一增一減，則為減函數（同增異減）；求出相應區間的交集，既是復合函數的單調區間。以上步驟可以用八個字簡記“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解決一些復合函數的單調性問題。 例7.求（且）的單調區

9、間。解：由題可得函數是由外函數和內函數符合而成。由題知函數的定義域是。內函數在內為增函數，在內為減函數。若，外函數為增函數，由同增異減法則，故函數在上是增函數；函數在上是減函數。若，外函數為減函數，由同增異減法則，故函數在上是減函數；函數在上是增函數。2判斷抽象函數單調性的方法 如果一個函數沒有給出具體解析式，那么這樣的的函數叫做抽象函數。抽象函數沒有具體的解析式，需充分提取題目條件給出的信息。2.1 定義法 通過作差(或者作商)，根據題目提出的信息進行變形，然后與0（或者1）比較大小關系來判斷其函數單調性。通常有以下幾種方法：2.1.1 湊差法 根據單調函數的定義，設法從題目中“湊出”“”的

10、形式，然后比較與0的大小關系。例11.已知函數對任意實數、均有，且當時，試討論函數的單調性。解：由題得，令，且，又由題意當時，所以函數為增函數。2.1.2添項法 弄清題目中的結構特點，采用加減添項或乘除添項，以達到能判斷“”與0大小關系的目的。例12.（同例11）解:任取，則，由題意函數對任意實數、均有，且當時，所以函數為增函數。2.1.3 增量法 由單調性的定義出發，任取設,然后聯系題目提取的信息給出解答。例13.（同例11）解：任取設由題意函數對任意實數、均有，又由題當時，所以函數為增函數。2.1.4 放縮法 利用放縮法，判斷與的大小關系，從而得在其定義域內的單調性。例14.已知函數的定義

11、域為（0，+），對任意正實數、均有，且當時，判斷函數的單調性.解： 設，則 又當時，故再由中令，得當時，由易知此時，故恒成立。因此即在（0，+）上為單調遞減函數。 對于抽象函數，由于抽象函數沒有具體的解析式，因此需充分提取題目條件給出的信息,觀察結構特點。用定義法判定抽象函數單調性比較適用于那種對于定義域內任意兩個數當時，容易得出-與0大小關系的函數。定義法是最直接的方法，思路也比較清晰，在解題中靈活選擇湊差法、添項法、增量法、放縮法等恰當的方法，可使解題過程更加簡單方便。2.2 列表法 對于比較復雜的復合函數，除了用復合函數單調性判斷法外，還可以用列表，將各個函數的單調性都列出來，然后再判斷復合函數單調性。例15.已知在R上是偶函數，且在0,+）上是增函數，求是減函數的區間函數表達式單調性解：列表如下由表知是減函數的區間，。利用列表法比較直觀，精確、易懂、量與量之間的關系又很明確。列表法在實際生活當中應用也是比較廣泛的。但是列表法也有其局限性：在于適用題型狹窄，求解范圍小，大部分是跟探尋規律或反映規律有關。函數單調性是函數的一個非常重要的性質，本文從單調性的定義入手，總結了判斷單調性的常見方法。本文把函數分為具體函數和抽象函數兩大類進行討論，對于每類函數都給出了判定單調性的若干方