1、2 2 無窮積分的性質(zhì)與收斂判別法無窮積分的性質(zhì)與收斂判別法一一 無窮積分的性質(zhì)無窮積分的性質(zhì)( )lim( )uaauf x dxf x dx記記( )( )uaF uf x dx則有則有( )lim( ).auf x dxF u數(shù)列極限的柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列極限的柯西收斂準(zhǔn)則:na收斂收斂0,:NNn mN |.nmaa函數(shù)當(dāng)自變量趨于正無窮時(shí)的柯西收斂準(zhǔn)則函數(shù)當(dāng)自變量趨于正無窮時(shí)的柯西收斂準(zhǔn)則:lim( )xf x收斂收斂0,0,:Mx xM |( )()|.f xf x定理定理11.1( )af x dx收斂收斂120,0,:Mu uM 21|()()|,F uF u即即2121|( )(

2、 )| |( )|.uuuaauf x dxf x dxf x dx性質(zhì)性質(zhì)1 1 若若1( )af x dx和和2( )afx dx都收斂都收斂, ,12,k k為常數(shù)，為常數(shù)，則則1 122( )( )ak f xk fx dx也收斂也收斂, , 且且1 1221122( )( )( )( ).aaak f xk fx dxkf x dxkfx dx性質(zhì)性質(zhì)2 2 若若( )f x在任何有限區(qū)間在任何有限區(qū)間 , a u上可積上可積, ,ab則則( )af x dx與與( )bf x dx同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散, ,且有且有( )( )( ).baabf x dxf x dx

3、f x dx性質(zhì)性質(zhì)3 3 若若( )f x在任何有限區(qū)間在任何有限區(qū)間 , a u上可積上可積, , 且有且有|( )|af xdx收斂收斂, , 則則( )af x dx亦必收斂亦必收斂, ,并有并有|( )|( )|.aaf x dxf xdx性質(zhì)性質(zhì)3 3 若若( )f x在任何有限區(qū)間在任何有限區(qū)間 , a u上可積上可積, , 且有且有|( )|af xdx收斂收斂, , 則則( )af x dx亦必收斂亦必收斂, , 并有并有|( )|( )|.aaf x dxf xdx證證 由由|( )|af xdx收斂收斂, ,根據(jù)柯西準(zhǔn)則根據(jù)柯西準(zhǔn)則( (必要性必要性) )，任給，任給0,

4、存在存在,Ga當(dāng)當(dāng)12,u uG時(shí)，總有時(shí)，總有2211|( )|( )|.uuuuf xdxf xdx利用定積分的絕對值不等式，又有利用定積分的絕對值不等式，又有2211|( )|( )|.uuuuf x dxf xdx再由柯西準(zhǔn)則再由柯西準(zhǔn)則( (充分性充分性) )，證得證得( )af x dx收斂又因收斂又因|( )|( )|(),uuaaf x dxf xdx ua令令u 取極限，即得結(jié)論取極限，即得結(jié)論. .當(dāng)當(dāng)|( )|af xdx收斂時(shí)收斂時(shí), ,稱稱( )af x dx為絕對收斂為絕對收斂. .若若( )af x dx為絕對收斂，為絕對收斂， 則則( )af x dx收斂收斂.

5、 .絕對收斂的無窮積分絕對收斂的無窮積分, , 它自身也一定收斂它自身也一定收斂. .但是它的逆命題一般不成立但是它的逆命題一般不成立. .稱收斂而不絕對收斂者為條件收斂稱收斂而不絕對收斂者為條件收斂. .二二 比較判別法比較判別法|( )|uaf xdx關(guān)于上限關(guān)于上限“是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的”, ,因此因此|( )|af xdx收斂的充要條件是收斂的充要條件是|( )|uaf xdx存在上界存在上界. . 定理定理11112(2(比較法則比較法則) ) 設(shè)定義在設(shè)定義在 ,)a 上的兩個(gè)函數(shù)上的兩個(gè)函數(shù)( )f x和和( )g x都在任何有限區(qū)間都在任何有限區(qū)間 , a u上可積上可積,

6、 ,且滿足且滿足|( )|( ), ,),f xg x xa則當(dāng)則當(dāng)( )ag x dx收斂時(shí)收斂時(shí)|( )|af xdx收斂收斂. . ( (或者或者, ,當(dāng)當(dāng)|( )|af xdx發(fā)散時(shí)發(fā)散時(shí), ,( )ag x dx必發(fā)散必發(fā)散).).例例1 1 討論討論20sin1xdxx的收斂性的收斂性. . 解解: : 由于由于22sin1|,0,),11xxxx以及以及20112dxx收斂收斂根據(jù)比較法則根據(jù)比較法則20sin1xdxx為絕對收斂為絕對收斂. .推論推論1 1 設(shè)設(shè)( )f x定義于定義于 ,)a 且在任何有限區(qū)間且在任何有限區(qū)間 , a u上可積，則有上可積，則有: :(i)(

7、i) 當(dāng)當(dāng)1|( )|, ,),pf xxax且且1p 時(shí)時(shí)|( )|af xdx收斂收斂; ;(ii)(ii) 當(dāng)當(dāng)1|( )|, ,),pf xxax且且1p 時(shí)時(shí)|( )|af xdx發(fā)散發(fā)散. .比較法則的極限形式比較法則的極限形式推論推論2 2若若( )f x和和( )g x都在任何都在任何 , a u上可積上可積, ,( )0,g x 且且|( )|lim.( )xf xcg x則有則有: :(i)(i)當(dāng)當(dāng)0c 時(shí)時(shí), ,|( )|af xdx與與( )ag x dx同斂態(tài)同斂態(tài); ;(ii)(ii) 當(dāng)當(dāng)0c 時(shí)，由時(shí)，由( )ag x dx收斂可推知收斂可推知|( )|af

8、xdx也收斂也收斂; ;(iii)(iii) 當(dāng)當(dāng)c 時(shí)，由時(shí)，由( )ag x dx發(fā)散可推知發(fā)散可推知|( )|af xdx也發(fā)散也發(fā)散. .柯西判別法柯西判別法選用選用1pdxx作為比較對象作為比較對象推論推論3 3 設(shè)設(shè)( )f x定義于定義于 ,)a 且在任何有限區(qū)間且在任何有限區(qū)間 , a u上可積上可積, ,且且lim|( )|.pxxf x則有則有: :(i)(i)當(dāng)當(dāng)1,0p 時(shí)時(shí), ,|( )|af xdx收斂收斂; ;(ii)(ii)當(dāng)當(dāng)1,0p 時(shí)時(shí), ,|( )|af xdx發(fā)散發(fā)散. .例例2 2 討論下列無窮限積分的收斂性討論下列無窮限積分的收斂性; ;1)1)1

9、;xx e dx2)2)250.1xdxx例例2 2 討論下列無窮限積分的收斂性討論下列無窮限積分的收斂性; ;1)1)1;xx e dx2)2)250.1xdxx解解: :1)1)由于對任何實(shí)數(shù)由于對任何實(shí)數(shù),都有都有22limlim0,xxxxxxx ee(2,0)p故故 1;xx e dx對任何實(shí)數(shù)對任何實(shí)數(shù)都是收斂的都是收斂的. .2)2)由于由于1225lim.1,1xxxx(2,0)p故故250.1xdxx發(fā)散發(fā)散. .三三 狄利克霄判別法與阿貝爾判別法狄利克霄判別法與阿貝爾判別法( (兩個(gè)判別一般無窮積分收斂的判別法兩個(gè)判別一般無窮積分收斂的判別法) )定理定理11.311.3

10、( (狄利克雷判別法狄利克雷判別法) ) 若若( )( )uaF uf x dx在在 ,)a 上有界上有界, ,( )g x在在 ,)a 上當(dāng)上當(dāng)x 時(shí)單調(diào)趨于時(shí)單調(diào)趨于0,0,則則( ) ( )af x g x dx收斂收斂. .證證: :由條件設(shè)由條件設(shè)|( )|, ,).af x dxM ua任給任給0,由于由于lim( )0,xg x因此存在因此存在,Ga當(dāng)當(dāng)xG時(shí)時(shí), ,有有|( )|.4g xM又因又因( )g x為單調(diào)函數(shù)為單調(diào)函數(shù), ,利用積分第二中值定理利用積分第二中值定理, ,對于任何對于任何21,uuG存在存在12 ,u u使得使得定理定理11.311.3 ( (狄利克雷

11、判別法狄利克雷判別法) ) 若若( )( )uaF uf x dx在在 ,)a 上有界上有界, ,( )g x在在 ,)a 上當(dāng)上當(dāng)x 時(shí)單調(diào)趨于時(shí)單調(diào)趨于0,0,則則( ) ( )af x g x dx收斂收斂. .證證: :由條件設(shè)由條件設(shè)|( )|, ,).af x dxM ua任給任給0,由于由于lim( )0,xg x因此存在因此存在,Ga當(dāng)當(dāng)xG時(shí)時(shí), ,有有|( )|.4g xM又因又因( )g x為單調(diào)函數(shù)為單調(diào)函數(shù), ,利用積分第二中值定理利用積分第二中值定理, ,對于任何對于任何21,uuG存在存在12 ,u u使得使得221112( ) ( )()( )()( ).uuu

12、uf x g x dxg uf x dxg uf x dx于是有于是有221112|( ) ( )| |()| |( )|()|( )|uuuuf x g x dxg uf x dxg uf x dx1212|( )| |( )( )|()|( )( )|uuaaaag uf x dxf x dxg uf x dxf x dx22.44MMMM根據(jù)柯西準(zhǔn)則根據(jù)柯西準(zhǔn)則: :( ) ( )af x g x dx收斂收斂. .定理定理11.411.4 ( (阿貝爾阿貝爾(Abel)(Abel)判別法判別法) ) 若若( )af x dx收斂收斂, ,( )g x在在 ,)a 上單調(diào)有界上單調(diào)有界,

13、 ,則則( ) ( )af x g x dx收斂收斂. .例例3 3 討論討論1sinpxdxx與與1cospxdxx的收斂性的收斂性. .解解 (i)(i) 當(dāng)當(dāng)1p 時(shí)時(shí)1sinpxdxx絕對收斂絕對收斂. .因?yàn)橐驗(yàn)閟in1|,1,),ppxxxx而而11pdxx當(dāng)當(dāng)1p 時(shí)收斂時(shí)收斂, ,故由比較法則推知故由比較法則推知1sin|pxdxx收斂收斂. .例例3 3 討論討論1sinpxdxx與與1cospxdxx的收斂性的收斂性. .(ii)(ii) 當(dāng)當(dāng)01p時(shí)條件收斂時(shí)條件收斂. .這是因?yàn)閷θ我膺@是因?yàn)閷θ我?,u 有有1|sin| |cos1 cos| 2,uxdxu而而1px當(dāng)當(dāng)0p 時(shí)單調(diào)趨于時(shí)單調(diào)趨于0(),x 故由狄利克雷判別法推知故由狄利克雷判別法推知1sinpxdxx當(dāng)當(dāng)0p 時(shí)總是收斂的時(shí)總是收斂的. .又由于又由于2sinsin1cos2|,1,)22pxxxxxxxx其中其中12cos21cos22xtdxdtxt滿足狄利克雷判別條件滿足狄利克雷判別條件, , 是收斂的是收斂的, , 而而12dxx是發(fā)散的是發(fā)散的, ,因此當(dāng)因此當(dāng)01p時(shí)該無窮積分不是絕對收斂的時(shí)該無窮積分不是絕對收斂的. .所以它是條件收斂的所以它是條件收斂的. .例例4 4 證明下列無窮積分都是條件收斂的證明