1、解（解（1）由圖知）由圖知t=0時，時，P點點y=0，v0, A=0.2有：有：0sin0cosAvAy得得2又由圖有又由圖有TsTsT2125. 04P點的振動方程為點的振動方程為)22cos(2 . 0ty由由P點振動方程得波動方程為：點振動方程得波動方程為：2)3 . 0(2cos2 . 0vxty（2）由圖知）由圖知smTvm/6 . 06 . 045. 043mxP3 . 0P47、18、一列沿一列沿x正向傳播的簡諧波，已知正向傳播的簡諧波，已知t1= 0 和和t2= 0.25s時的波形時的波形圖。試求：圖。試求：（1）P點的振動方程；點的振動方程；（2）波動方程；）波動方程；（3）

2、畫出）畫出O點的振動曲線。點的振動曲線。t1= 0 t2= 0.25sO0.20.45PXY思路：思路：1、由題中所給條件求、由題中所給條件求P點振動方程的特征量，進而求點振動方程的特征量，進而求P點振動方程；點振動方程；2、已知、已知P點的振動方程，求任意點的振動方程點的振動方程，求任意點的振動方程即波動方程；即波動方程；3、根據波動方程求、根據波動方程求O點的振動方程，據此作圖。點的振動方程，據此作圖。(也可由旋轉矢量求）也可由旋轉矢量求）（3）坐標原點）坐標原點O的振動曲線。的振動曲線。波動方程為波動方程為 ：)23102cos(2 . 02)3 . 0(2cos2 . 0 xtvxty

3、對對O點點)22cos(2 . 0,0tyox振動方程為振動方程為0tYT1、已知平面簡諧波在波線上某點、已知平面簡諧波在波線上某點P的振動方程為的振動方程為 試寫出以下幾種情形下的波動方程試寫出以下幾種情形下的波動方程 。 )cos(tAypyxPuyxPuLyxPuL波動習題波動習題cos()xyAtucos()xLyAtucos()xLyAtu 速度取決于介質的力學性質因而會變；頻率僅由振源決定與介速度取決于介質的力學性質因而會變；頻率僅由振源決定與介質無關，不會變；波長與波速有關，因而也會變。質無關，不會變；波長與波速有關，因而也會變。x2,2421、 同一機械波在不同介質中傳播時，頻

4、率、波速、波長等量那些會同一機械波在不同介質中傳播時，頻率、波速、波長等量那些會改變？那些不會改變？改變？那些不會改變？2、某時刻橫波波形圖如圖所示，試用箭頭表示圖中、某時刻橫波波形圖如圖所示，試用箭頭表示圖中A、B、C、D、E、F、G、H等質點在此刻的運動方向，并畫出經過等質點在此刻的運動方向，并畫出經過T/4周期后的波形圖。周期后的波形圖。3、某波動沿、某波動沿x軸傳播，設其波長為軸傳播，設其波長為，試問，在，試問，在x軸上相距軸上相距/4的兩點在的兩點在同一時刻的相位差是多少？若相距同一時刻的相位差是多少？若相距x呢？呢？y0ABCDEFGGHxv每個質點重每個質點重復前面質點復前面質點

5、的運動。的運動。思考題：思考題： 9-5 9-5 波的能量波的能量 能流密度能流密度 9-6 9-6 電電 磁磁 波波 第九章第九章 振動和波動基礎振動和波動基礎 本本 講講 內內 容容9-5 9-5 波的能量，能流密度波的能量，能流密度 機械波在彈性媒質中傳播時，媒質各質點都在振動，因而具有動能。機械波在彈性媒質中傳播時，媒質各質點都在振動，因而具有動能。同時，由于各質點的振動位移不同步而產生形變，因而還具有勢能。同時，由于各質點的振動位移不同步而產生形變，因而還具有勢能。 媒質中各質點振動時，不斷地吸收前面質點的能量，又不斷地將能量媒質中各質點振動時，不斷地吸收前面質點的能量，又不斷地將能

6、量傳給后面的質點傳給后面的質點 ,能量就這樣不斷地隨著波動向外傳播，能量是流動的。能量就這樣不斷地隨著波動向外傳播，能量是流動的。一、波的能量和能量密度一、波的能量和能量密度1、波的能量、波的能量)(sin21222vxtAdVdWdWpk 設平面簡諧波在棒中傳播，在設平面簡諧波在棒中傳播，在棒中任意位置棒中任意位置 x 處取一體積元，設處取一體積元，設其體積為其體積為 dV, 質量質量 dm=dV ，棒中，棒中平面簡諧波平面簡諧波 則該體積元所具有的動能則該體積元所具有的動能 dWk ，勢勢能能dWp為：為： )(cosvxtAyOxX體積元內總機械能：體積元內總機械能：)(sin222vx

7、tAdVdWdWdWpk其中其中 動能動能 ： 22)(21)(21dykdWudmdWpk勢能：勢能：說明：說明： （1）在波動過程中）在波動過程中質元的動能和勢能質元的動能和勢能具有相同的數值，它們同時達具有相同的數值，它們同時達到最大值，同時為零，這一特點與彈簧振子的情況不同。（這是因為速到最大值，同時為零，這一特點與彈簧振子的情況不同。（這是因為速度最大處，質元的形變也最大；速度為零處，質元的形變也最小。）度最大處，質元的形變也最大；速度為零處，質元的形變也最小。） （ 2）質元的總能量是隨時間作周期性變化的，并不象彈簧振子那樣）質元的總能量是隨時間作周期性變化的，并不象彈簧振子那樣總

8、能量守恒，因為簡諧振動系統是一個封閉系統，不能傳播能量。總能量守恒，因為簡諧振動系統是一個封閉系統，不能傳播能量。 當當x一定時，即考察某給定位置的體積元，表明該體積元內的總能一定時，即考察某給定位置的體積元，表明該體積元內的總能量隨時間不斷變化，反映了該體積元不斷地接受和放出能量。量隨時間不斷變化，反映了該體積元不斷地接受和放出能量。 當當t 一定時即考察某給定時刻，表達了該時刻各體積元內總能量隨一定時即考察某給定時刻，表達了該時刻各體積元內總能量隨體積元所在位置不同的一種分布。體積元所在位置不同的一種分布。 當當t 和和x 都變時，則描繪了波動能量的傳波過程。都變時，則描繪了波動能量的傳波

9、過程。（3）能量的表達式隨體積元的位置）能量的表達式隨體積元的位置X和時間和時間t變化變化 2、能量密度：單位體積的波動能量、能量密度：單位體積的波動能量)(sin222vxtAdVdWw反映了波線上各點的能量分反映了波線上各點的能量分布及隨時間的變化規律。布及隨時間的變化規律。平均能量密度：平均能量密度：2221Aw能量密度在一個周能量密度在一個周期內的平均值。期內的平均值。)(sin222vxtAdVdWdWdWpk二、能流、能流密度的概念（反映波動過程中能量的流動、傳播）二、能流、能流密度的概念（反映波動過程中能量的流動、傳播）1、能流的定義（、能流的定義（P ）：）：單位時間內通過媒質

10、中某面積的波的能量。單位時間內通過媒質中某面積的波的能量。2、平均能流：、平均能流：單位時間內通過媒質中某面積的平均能量。單位：瓦單位時間內通過媒質中某面積的平均能量。單位：瓦vSv取垂直與波速的面積取垂直與波速的面積S，則單位時間內通過，則單位時間內通過S的平的平均能量，即平均能流：均能量，即平均能流：vSwP 3、能流密度：、能流密度：通過垂直與波的傳播方向的單位面積的平均能流。又稱為通過垂直與波的傳播方向的單位面積的平均能流。又稱為波的強度（波的強度（I ）。單位：）。單位：2米瓦22221AAvvwSPI能量傳播方向與波速方向相同能量傳播方向與波速方向相同4、球面簡諧波的波動方程：、球

11、面簡諧波的波動方程：（證明見例題）（證明見例題）沒有能量損失的情況下，通沒有能量損失的情況下，通過各波面的平均能流相等。過各波面的平均能流相等。平均能量密度平均能量密度2221Aw其中其中（單位時間通過單位面積的能量）（單位時間通過單位面積的能量）0cosArtrv（）A0：離波源中心單位距離處的波的振幅：離波源中心單位距離處的波的振幅（對比電流定義）（對比電流定義）SSvSAwvSwPvSAwvSwP22222212112121由于媒質無吸收，則通過兩平面的波的由于媒質無吸收，則通過兩平面的波的能流相等，比較兩式既得：能流相等，比較兩式既得：A1=A2 （2）、設球面簡諧波在均勻媒質中以波速

12、）、設球面簡諧波在均勻媒質中以波速v沿空間各方向傳播，以沿空間各方向傳播，以波源為中心取兩同心球面，球面上的波的振幅分別為波源為中心取兩同心球面，球面上的波的振幅分別為A1、A2，且同一，且同一球面上各點振幅相同，則通過兩球面的平均能流分別為球面上各點振幅相同，則通過兩球面的平均能流分別為22222222121211421421rvAwvSwPrvAwvSwPOr2r1媒質無吸收時通過兩球面的平均能流媒質無吸收時通過兩球面的平均能流相等。（不是能流密度相等）相等。（不是能流密度相等）比較兩式得：比較兩式得：1221rrAA 例題：例題： 試說明在理想化的無吸收的媒質中（試說明在理想化的無吸收的

13、媒質中（1）平面簡諧波的振幅保）平面簡諧波的振幅保持不變（持不變（2）球面波的振幅與離波源距離成反比。）球面波的振幅與離波源距離成反比。解：解：（1）設平面簡諧波在均勻媒質中以速度）設平面簡諧波在均勻媒質中以速度v傳播，在垂直與波速傳播，在垂直與波速的方向上取兩平面，則通過兩平面的波的平均能流分別為的方向上取兩平面，則通過兩平面的波的平均能流分別為課堂作業：課堂作業：一正弦式空氣波，沿直徑為一正弦式空氣波，沿直徑為0.14m的圓柱管行進，波的能流的圓柱管行進，波的能流密度為密度為 ，頻率為，頻率為300Hz，波速為，波速為300m/s。問：。問：（1）波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？

14、）波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？（2）每兩個相鄰的，位相差為）每兩個相鄰的，位相差為2的同相面之間的波段中有多少能量？的同相面之間的波段中有多少能量？212108 . 1msJ解（解（1）波的能流密度）波的能流密度353231061031018mJmJvIwvwI平均能量密度：平均能量密度：（2）兩個相鄰同相面間距離為）兩個相鄰同相面間距離為，同相面間的體積，同相面間的體積2271()249.2410dVSdWw VJ則兩相鄰同相面間波的能量則兩相鄰同相面間波的能量（d為圓管直徑）為圓管直徑）最大能量密度：最大能量密度：3422max102 .12mJwAw222sin ()xwA

15、tv（能量密度：（能量密度： ）9-6 電電 磁磁 波波 1865年麥克斯韋在總結前人成就的基礎上，從場的觀點考慮問題。提年麥克斯韋在總結前人成就的基礎上，從場的觀點考慮問題。提出了出了“ 渦旋電場渦旋電場 ”和和“ 位移電流位移電流 ”的假說，建立了關于電磁場最普遍規的假說，建立了關于電磁場最普遍規律的理論律的理論麥克斯韋方程組，從理論上預言了電磁波的存在，麥克斯韋方程組，從理論上預言了電磁波的存在，20多年后多年后這一預言被赫茲所證實。這一預言被赫茲所證實。由麥克斯韋方程組的微分形式可推導出：由麥克斯韋方程組的微分形式可推導出：222222tHHtEE比較微分波動方程比較微分波動方程222

16、21tv 變化的電場和變化的磁場必然以波的形式存在；變化的電場和變化的磁場必然以波的形式存在； 電磁波的波速為電磁波的波速為 真空中真空中 電磁波的產生是由變化磁場和變化電場相互激發，變化磁場和變化電電磁波的產生是由變化磁場和變化電場相互激發，變化磁場和變化電場之間的這種內在聯系使得這兩種場具有波動性質。場之間的這種內在聯系使得這兩種場具有波動性質。1v180010997921smcv一、電磁波的產生和特點一、電磁波的產生和特點1、激發電磁波的波源：高頻率、開放的、激發電磁波的波源：高頻率、開放的LC振蕩電路（見振蕩電路（見P33頁圖）頁圖） 當電荷在電路中振蕩時導線兩端交替地出現正負電荷，構

17、成一個振蕩當電荷在電路中振蕩時導線兩端交替地出現正負電荷，構成一個振蕩的電偶極子。的電偶極子。振蕩電偶極子振蕩電偶極子變化電場變化電場鄰近區域變化磁場鄰近區域變化磁場、變化電場和變化磁場交替激發由近及遠以有限速度在空間傳播形成電磁波變化電場和變化磁場交替激發由近及遠以有限速度在空間傳播形成電磁波2、電磁波的特性、電磁波的特性電偶極子的電量作簡諧振動：電偶極子的電量作簡諧振動：tqqcos0其電矩為：其電矩為：tptlqqlpcoscos00其中電矩振幅：其中電矩振幅：lq0在遠離波源的自由空間中傳播的電磁波近似看成平面波在遠離波源的自由空間中傳播的電磁波近似看成平面波)(cos)(cos4si

18、n0202vrtEvrtrvpE)(cos)(cos4sin002vrtHvrtvrpH頻率等于電偶極子頻率等于電偶極子的振蕩頻率，振幅的振蕩頻率，振幅與頻率平方成正比與頻率平方成正比參看參看P34圖圖l 電磁波是橫波，電磁波是橫波，E、H在方向上相互垂直在方向上相互垂直H0E0 E、H都在作余弦周期性變化，兩者同相。比較兩式可得：都在作余弦周期性變化，兩者同相。比較兩式可得：HEvkEH E、H、k方向上構成右手螺旋。方向上構成右手螺旋。二、電磁波的能量二、電磁波的能量1、電磁場的總能量密度：、電磁場的總能量密度：222121HEwwwme2、電磁波的能流密度：、電磁波的能流密度：vHEwv

19、S)(2122坡印廷矢量矢量式：，方向與波速方向一致代入上式得和將HESEHSHEv1)(cos16sin2222420vrtvrpS3、一周期內的平均值、一周期內的平均值（平均輻射強度）：平均輻射強度）：20002224202132sinEHEvrpS（為矢徑與電矩矢量間夾角）為矢徑與電矩矢量間夾角）vpr4、振蕩電偶極子輻射總功率、振蕩電偶極子輻射總功率（對以電偶極子為中心的任意球面積分）（對以電偶極子為中心的任意球面積分） 例題：例題：設一無線電臺發射天線長為設一無線電臺發射天線長為l=30m的直導線，發射的電磁波頻率的直導線，發射的電磁波頻率 已知天線上的振蕩電流峰值已知天線上的振蕩電

20、流峰值I0=20A，試計算此電臺的平均發，試計算此電臺的平均發射功率。射功率。 Hz5105 平均發射功率可由上式求得，此題的關鍵是根據已知條件求電矩的峰平均發射功率可由上式求得，此題的關鍵是根據已知條件求電矩的峰值，所以首先是要搞清電量、電流、電矩的關系。值，所以首先是要搞清電量、電流、電矩的關系。vpddrSP 12sin42020 02 平均輻射功率：平均輻射功率：（能流密度面積分）（能流密度面積分）200cvlIp代入上式積分代入上式積分00000000sinsincoscosIqtItqdtdqIlqptptlqlqptqqcos0三、電磁波譜三、電磁波譜 將電磁波所包含的所有波按頻

21、率順序排列起來就構成了電磁波譜。將電磁波所包含的所有波按頻率順序排列起來就構成了電磁波譜。無線電波、紅外、可見光、紫外、無線電波、紅外、可見光、紫外、X射線、射線、 射線射線波長：波長：m341010（包含長波、中波、短波、微波）（包含長波、中波、短波、微波）產生途徑：振蕩電路產生途徑：振蕩電路用途：通訊、導航、廣播、電視、雷達用途：通訊、導航、廣播、電視、雷達波長：nmnm400760產生途徑：高溫物體、氣體放電、分子和原子的外層電子的躍遷所發射。用途：引起視覺（包括各種色光）波長：波長：產生途徑：高溫物體、氣體放電、分子和原子的產生途徑：高溫物體、氣體放電、分子和原子的外層電子的躍遷所發射

22、。外層電子的躍遷所發射。用途：熱效應用途：熱效應nmm760103產生途徑：高速電子流轟擊金屬靶產生途徑：高速電子流轟擊金屬靶nmnm004005波長：波長：特點：穿透力強、能使照相底片感光、能熒光屏發光。特點：穿透力強、能使照相底片感光、能熒光屏發光。用途：醫療透視、金屬內部探測、晶用途：醫療透視、金屬內部探測、晶體結構分析體結構分析波長：波長：產生途徑：高溫物體、氣體放電、分子和原子的產生途徑：高溫物體、氣體放電、分子和原子的外層電子的躍遷所發射。外層電子的躍遷所發射。用途：有明顯的生理作用，用于殺菌誘捕蟲害、用途：有明顯的生理作用，用于殺菌誘捕蟲害、產生化學反應和熒光反應產生化學反應和熒光反應nmnm5400產生途徑：由原子核內部狀態變化產生產生途徑：由原子核內部狀態變化產生特點：比特點：比X射線穿透力更強、能量更高射線穿透力更強、能量更高以下nm0040波長：波長：用途：探測原子核內