1、例談初中數(shù)學(xué)思想方法東莞市可園中學(xué) 李永義【摘要】： 本文通過(guò)對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析來(lái)闡述了特殊與一般思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、化歸思想、幾何變換思想以及方程與函數(shù)思想等數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。【關(guān)鍵詞】：初中數(shù)學(xué)；思想方法；特殊與一般；分類討論；數(shù)形結(jié)合；整體思想；化歸思想；幾何變換思想；方程與函數(shù)思想數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)中錘煉升華的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁，是數(shù)學(xué)的精髓，是數(shù)學(xué)科學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)科固有的靈魂，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的集中

2、體現(xiàn)，只有充分掌握領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想才能有效提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。初中數(shù)學(xué)思想主要包括特殊與一般思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、整體思想、幾何變換思想、函數(shù)與方程思想等。1特殊與一般思想特殊與一般思想是指：對(duì)于在一般情況下難以求解的問(wèn)題，可以運(yùn)用特殊化思想，通過(guò)取特殊值、特殊圖形等，找到解題的規(guī)律和方法，進(jìn)而推廣到一般，從而使問(wèn)題順利求解，包含從“特殊到一般”和“一般到特殊”兩個(gè)相反方向的思路。例1(2007年青島中考題改編). 如圖1，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PBC與ABC和DBC的面積之間有什么關(guān)系？圖2ABCDP圖3ABCDPABCDP圖1解析：為了解決這個(gè)問(wèn)題

3、，我們可以先從一些簡(jiǎn)單的、特殊的情形入手：（1）當(dāng)APAD時(shí)（如圖2）：APAD，ABP和ABD的高相等，SABPSABD PDADAPAD，CDP和CDA的高相等，SCDPSCDA SPBC S四邊形ABCDSABPSCDPS四邊形ABCDSABDSCDAS四邊形ABCD(S四邊形ABCDSDBC)(S四邊形ABCDSABC)SDBCSABC （2）按照這種思路我們可以得到：當(dāng)APAD時(shí)（如圖3）SPBCSDBCSABC 當(dāng)APAD（n表示正整數(shù)）時(shí)，SPBCSDBCSABC 當(dāng)APAD（n表示正整數(shù)）時(shí)，SPBCSDBCSABC 本題從特殊情況入手，發(fā)現(xiàn)解題的思路技巧，并用此思路技巧解決更

4、一般的問(wèn)題，將結(jié)論進(jìn)行推廣，從而達(dá)到解決問(wèn)題的途徑。例2（2010年?yáng)|莞市中考題）閱讀下列材料：由以上三個(gè)等式相加，可得讀完以上材料，請(qǐng)你計(jì)算下各題：（1）（寫出過(guò)程）；（2）；（3） 本題先研究問(wèn)題的幾種特殊情形，再探索并歸納出一般性的結(jié)論或規(guī)律，然后運(yùn)用歸納出的規(guī)律解決具體問(wèn)題。2.分類討論思想分類討論的思想是指當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時(shí)，我們需要對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行必要的分類。將一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中求解，最后再將各種情況下得到的答案進(jìn)行歸納綜合。它體現(xiàn)了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法。例3（2010年福建寧德中考題改編）如圖4，

5、在梯形ABCD中，ADBC，B90，BC6，AD3，DCB30.點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng).已知F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊EFG設(shè)E點(diǎn)移動(dòng)距離為x（0x6）.若EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。圖4B E F CA DG解析：隨著E點(diǎn)移動(dòng)的距離不同，EFG與梯形ABCD重疊部分圖形也不同，因此我們要根據(jù)x的不同取值分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0x2時(shí)，EFG在梯形ABCD內(nèi)部，如圖4,所以yx2；當(dāng)2x3時(shí)，如圖5，點(diǎn)E、點(diǎn)F在線段BC上，EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，F(xiàn)NCFCN30,FNFC6

6、2x.GN3x6.由于在RtNMG中，G60，所以，此時(shí) yx2（3x6）2.當(dāng)3x6時(shí)，如圖6，點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在射線CH上，EFG與梯形ABCD重疊部分為ECP，EC6x,B E F CA DGNM圖5B E C FA DGPH圖6y（6x）2. 當(dāng)題目中滿足條件的圖形形狀不能確定時(shí)，就應(yīng)根據(jù)題意，構(gòu)造符合題意的各種圖形，動(dòng)中取靜，然后分情況加以討論。對(duì)于含有參數(shù)的方程、不等式及函數(shù)等問(wèn)題，通常要運(yùn)用分類討論的思想來(lái)處理。3. 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效途徑和重要策略，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美、統(tǒng)一美。數(shù)形結(jié)合不僅使幾何問(wèn)題獲得了有力的代數(shù)工具，同時(shí)也使許多代數(shù)問(wèn)題具有了顯

7、明的直觀性。數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)中十分重要的思想，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中具有數(shù)學(xué)獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。 解析：初中生直接去解這個(gè)問(wèn)題非常困難。但是若利用 “兩點(diǎn)間距離公式”，則這個(gè)問(wèn)題變成了一個(gè)幾何問(wèn)題。 解題思路： 把兩個(gè)根式進(jìn)行變形：它們分別表示平面直角坐標(biāo)系中位于x軸上的點(diǎn)M（x，0）到A（-2，3）的距離及點(diǎn)M（x，0）到B（1，1）的距離。（見圖7）圖7圖8 就是說(shuō) = |AM| + |MB|這樣原來(lái)的代數(shù)的問(wèn)題現(xiàn)在變成了一個(gè)幾何問(wèn)題：在x軸上找一點(diǎn)M使得|AM| + |MB| 最小，因?yàn)锳（-2，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)就是A（-2，-3）所以y的最小值= |AB| = = 5。（見圖8

8、）圖9F4.整體思想所謂整體思想，就是當(dāng)我們遇到問(wèn)題時(shí)，不著眼于問(wèn)題的各個(gè)部分，而是有意識(shí)地放大考慮問(wèn)題的視角，將需要解決的問(wèn)題看作一個(gè)整體，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體與局部的內(nèi)在聯(lián)系來(lái)解決問(wèn)題的思想。5化歸思想化歸思想,指的是轉(zhuǎn)化與歸結(jié).即把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問(wèn)題,通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過(guò)程,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行轉(zhuǎn)化,歸結(jié)到某個(gè)或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題,從而最終解決原問(wèn)題的一種思想. 如未知向已知轉(zhuǎn)化;復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化;命題之間的轉(zhuǎn)化;數(shù)與形的轉(zhuǎn)化;空間向平面的轉(zhuǎn)化;高次向低次的轉(zhuǎn)化;多元向一元的轉(zhuǎn)化;無(wú)限向有限的轉(zhuǎn)化等,都是化歸思想的體現(xiàn).圖10圖1

9、1例10（2006年?yáng)|莞市中考試題）如圖10，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2，AB、CD分別是兩底面的直徑，AD、BC是母線，若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)度是_(結(jié)果保留根式)。解析：將圓柱側(cè)面沿母線AD展開，得到如圖11所示的矩形，從而將曲面上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的問(wèn)題，最短路線即為線段AC的長(zhǎng)度，即為。6幾何變換思想幾何變換就是幾何圖形在平面上滿足某種條件的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用幾何變換可以把分散的點(diǎn)、線段、角等已知圖形轉(zhuǎn)移到恰當(dāng)?shù)奈恢茫瑥亩狗稚⒌臈l件都集中在某個(gè)圖形中，建立起新的聯(lián)系，從而使問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化解決。在初中數(shù)學(xué)中，幾何變換主要有平移變換、對(duì)稱變換和旋轉(zhuǎn)變

10、換等三種。圖12圖13圖14例14. （2008年?yáng)|莞市中考試題）（1）如圖15，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC求AEB的大小；CBOD圖15ABAODCE圖16（2）如圖16，OAB固定不動(dòng)，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（OAB和OCD不能重疊)，求AEB的大小. 7.方程與函數(shù)思想方程與函數(shù)的思想是處理常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)的重要思想，在解決一般數(shù)學(xué)問(wèn)題中具有重大的意義。對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題，常常只須尋找等量關(guān)系，列出一個(gè)或幾個(gè)方程（方程組）或函數(shù)關(guān)系式，就能很好地得到解決

11、。圖17例16. k為何值時(shí)，方程x2-3x+k=0的一根大于1，另一根小于1？圖27解析：運(yùn)用函數(shù)思想，將方程左邊看作一個(gè)二次函數(shù)y=x2-3x+k，則方程x2-3x+k=0的根就是使函數(shù)y=x2-3x+k的值為0的自變量的值，即拋物線與x軸的交點(diǎn)（如圖27）的橫坐標(biāo)。又因?yàn)閽佄锞€開口向上，所以只要滿足x=1時(shí)，y0即可。即-2+k0，得k2本題運(yùn)用函數(shù)思想來(lái)處理問(wèn)題方程的根的問(wèn)題，方法新穎，思路獨(dú)特，直觀明了，大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法和理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，具有普遍意義和相對(duì)穩(wěn)定的特征。數(shù)學(xué)思想方法確立后，便超越了具體的數(shù)學(xué)概念和內(nèi)容，只以抽象的形式而存在，控制及調(diào)整具體結(jié)論的建立、聯(lián)系和組織，并以其為指引將數(shù)學(xué)知識(shí)靈活地運(yùn)用到一切適合的范疇中去解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)思想方法不僅會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)、數(shù)學(xué)審美活動(dòng)起著指導(dǎo)作角，而且會(huì)對(duì)個(gè)體的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻影響，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的廣泛遷移，甚至包括從數(shù)學(xué)領(lǐng)域向非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的遷移，實(shí)現(xiàn)思維能力和思