1、-動點問題1. 如圖，在直角梯形 ABCD 中， AD BC ， B=90°， AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，動點 P從 A 開始沿 AD 邊向 D 以 1cm/s 的速度運動；動點 Q 從點 C 開始沿 CB 邊向 B 以 3cm/s 的速度運動 P、Q 分別從點 A 、C 同時出發，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動，設運動時間為 ts （ 1）當 t 為何值時，四邊形 PQCD 為平行四邊形？（ 2）當 t 為何值時，四邊形 PQCD 為等腰梯形？（ 3）當 t 為何值時，四邊形 PQCD 為直角梯形？點評：此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直

2、角梯形的判定，難易程度適中2. 如圖， ABC 中，點 O 為 AC 邊上的一個動點，過點 O 作直線 MN BC ，設 MN 交 BCA 的外角平分線 CF 于點 F，交 ACB 內角平分線 CE 于 E（ 1）試說明 EO=FO ；（ 2）當點 O 運動到何處時，四邊形 AECF 是矩形并證明你的結論；（ 3）若 AC 邊上存在點 O，使四邊形 AECF 是正方形，猜想 ABC 的形狀并證明你的結論點評：本題主要考查利用平行線的性質“等角對等邊 ”證明出結論（ 1），再利用結論（ 1）和矩形的判定證明-結論（ 2），再對（ 3）進行判斷解答時不僅要注意用到前一問題的結論，更要注意前一問題為

3、下一問題提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性質等的綜合運用3. 如圖，直角梯形 ABCD 中， AD BC ， ABC=90° ，已知 AD=AB=3 ，BC=4 ，動點 P 從 B 點出發，沿線段 BC 向點 C 作勻速運動；動點Q 從點 D 出發，沿線段 DA 向點 A 作勻速運動過Q點垂直于 AD 的射線交 AC 于點 M，交 BC 于點 N P、 Q 兩點同時出發，速度都為每秒1 個單位長度當 Q 點運動到 A 點， P、 Q 兩點同時停止運動設點Q 運動的時間為 t 秒（ 1）求 NC ， MC 的長（用 t 的代數式表示）；（ 2）當 t 為何值時，四邊形

4、PCDQ 構成平行四邊形；（ 3）是否存在某一時刻，使射線 QN 恰好將 ABC 的面積和周長同時平分？若存在，求出此時 t 的值；若不存在，請說明理由；（ 4）探究： t 為何值時， PMC 為等腰三角形點評：此題繁雜，難度中等，考查平行四邊形性質及等腰三角形性質考查學生分類討論和數形結合的數學思想方法4. 如圖，在矩形 ABCD 中，BC=20cm ，P，Q，M ，N 分別從 A，B ，C，D 出發沿 AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的邊上同時運動， 當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時， 運動即停止已知在相同時間內，若 BQ=xcm （x0），則 AP=2xcm ，CM=3x

5、cm ， DN=x2cm （ 1）當 x 為何值時，以 PQ ，MN 為兩邊，以矩形的邊（ AD 或 BC ）的一部分為第三邊構成一個三角形；（ 2）當 x 為何值時，以 P，Q，M， N 為頂點的四邊形是平行四邊形；（ 3）以 P， Q，M，N 為頂點的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，請說明理-由點評：本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點5.如圖，在梯形 ABCD 中， AD BC ， B=90°，AB=14cm ， AD=15cm ，BC=21cm ，點 M 從點 A 開始，沿邊 AD 向點 D 運動，速度為 1cm/s ；點 N 從點 C

6、開始，沿邊 CB 向點 B 運動，速度為 2cm/s 、點 M、 N 分別從點 A 、C 出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為 t 秒（1）當 t 為何值時，四邊形MNCD 是平行四邊形？（2）當 t 為何值時，四邊形MNCD 是等腰梯形？點評：考查了等腰梯形和平行四邊形的性質，動點問題是中考的重點內容6. 如圖，在直角梯形 ABCD 中， AD BC ， C=90°，BC=16 ，DC=12 ， AD=21 ，動點 P 從點 D出發，沿射線 DA 的方向以每秒 2 個單位長的速度運動， 動點 Q 從點 C 出發，在線段 CB 上以每秒 1 個單位長的速度向

7、點 B 運動， P、Q 分別從點 D、C 同時出發，當點 Q 運動到點 B 時，點 P 隨之停止運動，設運動時間為 t（ s）（ 1）設 BPQ 的面積為 S，求 S 與 t 之間的函數關系；（ 2）當 t 為何值時，以 B 、 P、Q 三點為頂點的三角形是等腰三角形？-點評：本題主要考查梯形的性質及勾股定理在解題（2）時，應注意分情況進行討論，防止在解題過程中出現漏解現象7. 直線 y=- 34x+6 與坐標軸分別交于 A、B 兩點，動點 P、Q 同時從 O 點出發，同時到達 A 點，運動停止點 Q 沿線段 OA 運動，速度為每秒 1 個單位長度，點 P 沿路線 O? B? A 運動（ 1）

8、直接寫出 A、 B 兩點的坐標；（ 2）設點 Q 的運動時間為 t （秒）， OPQ 的面積為 S，求出 S 與 t 之間的函數關系式；（ 3）當 S= 485 時，求出點 P 的坐標，并直接寫出以點 O、P、Q 為頂點的平行四邊形的第四個頂點 M 的坐標點評：本題主要考查梯形的性質及勾股定理在解題（ 2）時，應注意分情況進行討論，防止在解題過程中出現漏解現象答 案1.分析：（ 1）四邊形 PQCD 為平行四邊形時 PD=CQ （ 2）四邊形 PQCD 為等腰梯形時 QC-PD=2CE （ 3）四邊形 PQCD 為直角梯形時 QC-PD=EC 所有的關系式都可用含有 t 的方程來表示，即此題只

9、要解三個方程即可解答：-解：（ 1）四邊形 PQCD 平行為四邊形 PD=CQ 24-t=3t解得： t=6即當 t=6 時，四邊形 PQCD 平行為四邊形（ 2）過 D 作 DEBC 于 E則四邊形 ABED 為矩形 BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm四邊形 PQCD 為等腰梯形 QC-PD=2CE即 3t- （24-t ） =4解得： t=7 （ s）即當 t=7 （ s）時，四邊形 PQCD 為等腰梯形（ 3）由題意知： QC-PD=EC 時，四邊形 PQCD 為直角梯形即 3t- （24-t ） =2解得： t=6.5 （ s）即當 t=6.5 （ s）時，四邊形PQCD

10、為直角梯形2分析：（ 1）根據 CE 平分 ACB ，MN BC ，找到相等的角，即 OEC= ECB ，再根據等邊對等角得OE=OC ，同理 OC=OF ，可得 EO=FO （ 2）利用矩形的判定解答，即有一個內角是直角的平行四邊形是矩形（ 3）利用已知條件及正方形的性質解答解答：解：（ 1） CE 平分 ACB ， ACE= BCE ， MNBC ， OEC= ECB ， OEC= OCE ， OE=OC ，同理， OC=OF ， OE=OF （ 2）當點 O 運動到 AC 中點處時，四邊形 AECF 是矩形如圖 AO=CO ，EO=FO ，四邊形 AECF 為平行四邊形， CE 平分 A

11、CB ，- ACE= ACB ，同理， ACF=ACG ， ECF= ACE+ ACF=（ ACB+ ACG ）=×180°=90°，四邊形 AECF 是矩形（ 3） ABC 是直角三角形四邊形 AECF 是正方形， AC EN ，故 AOM=90° ， MNBC ， BCA= AOM ， BCA=90° ， ABC 是直角三角形3.分析：（ 1）依據題意易知四邊形ABNQ 是矩形 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC 、AD 已知， DQ就是 t ，即解； AB QN ， CMN CAB ， CM ：CA=CN ： CB ，（

12、 2） CB 、 CN 已知，根據勾股定理可求 CA=5 ，即可表示 CM ；四邊形 PCDQ 構成平行四邊形就是PC=DQ ，列方程 4-t=t 即解；（ 3）可先根據 QN 平分 ABC 的周長，得出 MN+NC=AM+BN+AB ，據此來求出 t 的值然后根據得出的 t 的值，求出 MNC 的面積，即可判斷出 MNC 的面積是否為 ABC 面積的一半，由此可得出是否存在符合條件的 t 值（ 4）由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進行討論：當 MP=MC 時，那么 PC=2NC ，據此可求出t 的值當 CM=CP 時，可根據 CM 和 CP 的表達式以及題設的等量關系來求出t 的值

13、當 MP=PC 時，在直角三角形MNP 中，先用 t 表示出三邊的長，然后根據勾股定理即可得出t 的值綜上所述可得出符合條件的t 的值解答 :解：（ 1） AQ=3-t CN=4- （3-t ） =1+t在 Rt ABC 中， AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5在 Rt MNC 中， cos NCM=，CM=（ 2）由于四邊形PCDQ 構成平行四邊形 PC=QD ，即 4-t=t解得 t=2 （ 3）如果射線 QN 將 ABC 的周長平分，則有：MN+NC=AM+BN+AB即： （1+t ）+1+t=（3+4+5 ）-解得： t=（5 分）而 MN= NC= （ 1+t ） SMNC

14、=（ 1+t ） 2=（1+t ）2當 t= 時， S MNC= （ 1+t ）2= ×4×3不存在某一時刻t ，使射線 QN 恰好將 ABC 的面積和周長同時平分（ 4）當 MP=MC 時（如圖 1）則有： NP=NC即 PC=2NC 4-t=2 （ 1+t ）解得： t=當 CM=CP 時（如圖 2）則有：（ 1+t） =4-t解得： t=當 PM=PC 時（如圖 3）則有：在 Rt MNP 中， PM2=MN2+PN2而 MN= NC= （ 1+t ）PN=NC-PC= （1+t ）-（4-t ） =2t-3 （1+t ） 2+ （2t-3 ）2= （4-t ）2解得

15、： t1=，t2=-1 （舍去）當 t=，t=，t=時， PMC 為等腰三角形4.分析：以 PQ ，MN 為兩邊，以矩形的邊（ AD 或 BC ）的一部分為第三邊構成一個三角形的必須條件是點P、N 重合且點 Q、M 不重合，此時 AP+ND=AD 即 2x+x2=20cm ，BQ+MC BC 即 x+3x 20cm；或者點 Q、M 重合且點 P、N 不重合，此時 AP+NDAD 即 2x+x220cm ，BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm 所-以可以根據這兩種情況來求解x 的值以 P，Q，M，N 為頂點的四邊形是平行四邊形的話， 因為由第一問可知點 Q 只能在點 M 的左側當點 P 在點

16、 N 的左側時， AP=MC ，BQ=ND ；當點 P 在點 N 的右側時， AN=MC ，BQ=PD 所以可以根據這些條件列出方程關系式如果以P， Q， M， N 為頂點的四邊形為等腰梯形，則必須使得AP+NDAD即 2x+x220cm ，BQ+MC BC 即 x+3x 20cm，AP=ND 即 2x=x2 ，BQ=MC 即 x=3x ，x0這些條件不能同時滿足，所以不能成為等腰梯形解答：解：（ 1）當點 P 與點 N 重合或點 Q 與點 M 重合時，以 PQ ， MN 為兩邊，以矩形的邊（ AD 或 BC ）的一部分為第三邊可能構成一個三角形當點 P 與點 N 重合時，由 x2+2x=20

17、 ，得 x1=-1 ， x2=-1（舍去）因為 BQ+CM=x+3x=4 （-1） 20，此時點 Q 與點 M 不重合所以 x=-1 符合題意當點 Q 與點 M 重合時，由 x+3x=20 ，得 x=5 此時 DN=x2=25 20，不符合題意故點 Q 與點 M 不能重合所以所求 x 的值為-1（ 2）由（ 1）知，點 Q 只能在點 M 的左側，當點 P 在點 N 的左側時，由 20- （x+3x ） =20-（2x+x2 ），解得 x1=0 （舍去），x2=2 當 x=2 時四邊形 PQMN 是平行四邊形當點 P 在點 N 的右側時，由 20- （x+3x ） =（ 2x+x2 ） -20，

18、解得 x1=-10 （舍去），x2=4 當 x=4 時四邊形 NQMP 是平行四邊形所以當 x=2 或 x=4 時，以 P，Q，M， N 為頂點的四邊形是平行四邊形（ 3）過點 Q ，M 分別作 AD 的垂線，垂足分別為點 E， F由于 2x x ，所以點 E 一定在點 P 的左側若以 P， Q，M， N 為頂點的四邊形是等腰梯形，則點 F 一定在點 N 的右側，且 PE=NF ，即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0 （舍去），x2=4 由于當 x=4 時，以 P， Q，M，N 為頂點的四邊形是平行四邊形，所以以 P，Q， M， N 為頂點的四邊形不能為等腰梯形5.解答：解：（ 1） MD

19、 NC ，當 MD=NC ，即 15-t=2t ，t=5 時，四邊形 MNCD 是平行四邊形；（ 2）作 DE BC ，垂足為 E，則 CE=21-15=6 ，當 CN-MD=12 時，即 2t- （15-t ）=12，t=9 時，四邊形 MNCD 是等腰梯形6.分析：-（ 1）若過點 P 作 PM BC 于 M，則四邊形 PDCM 為矩形，得出 PM=DC=12 ，由 QB=16-t ，可知：s=PM× QB=96-6t ；（ 2）本題應分三種情況進行討論， 若 PQ=BQ ，在 Rt PQM 中，由 PQ2=PM2+MQ2 ，PQ=QB ，將各數據代入，可將時間 t 求出；若 B

20、P=BQ ，在 Rt PMB 中，由 PB2=BM2+PM2 ，BP=BQ ，將數據代入，可將時間 t 求出；若 PB=PQ ，PB2=PM2+BM2 ，PB=PQ ，將數據代入，可將時間 t 求出解答：解：（ 1）過點 P 作 PM BC 于 M，則四邊形 PDCM 為矩形 PM=DC=12 ， QB=16-t ， s=?QB?PM=（16-t ） ×12=96-6t （0t ）（ 2）由圖可知， CM=PD=2t ，CQ=t ，若以 B、 P、Q 為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：若 PQ=BQ ，在 Rt PMQ 中， PQ2=t2+122 ，由 PQ2=BQ2 得

21、t2+122= （16-t ）2，解得；若 BP=BQ ，在 Rt PMB 中， PB2= （16-2t ）2+122 ，由 PB2=BQ2得（ 16-2t ） 2+122= （ 16-t ）2，此方程無解， BP PQ若 PB=PQ ，由 PB2=PQ2 得 t2+122= （16-2t ）2+122 得， t2=16 （不合題意，舍去）綜上所述，當或時，以 B 、P、Q 為頂點的三角形是等腰三角形7.分析：（ 1）分別令 y=0 ， x=0 ，即可求出 A、B 的坐標；（ 2）因為 OA=8 ，OB=6 ，利用勾股定理可得 AB=10 ，進而可求出點 Q 由 O 到 A 的時間是 8 秒，點 P 的速度是 2，從而可求出，-當 P 在線段 OB 上