1、第十章 曲線積分與曲面積分1 對弧長的曲線積分計算公式：無論是對弧長還是對坐標的曲線積分重要的是寫出曲線的參數方程若，則若，則注意：上限一定要大于下限1 計算下列對弧長的曲線積分（1），其中為圓周；解：法一：法二：，（2），其中為圓周，直線及軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界；AB解：，其中，（或）故（3），其中為拋物線上介于與之間的一段弧；解：由，得（4），其中為擺線的一拱；解：（令）（5），其中為圓周；解：利用對稱性，其中（6），其中為曲線，上相應于從0變到2的弧段；解：（7），其中為空間圓周： .解：由，得，令故。故2 螺旋形彈簧一圈的方程為：，設它的線密度為，求：（1） 它關于軸的轉

2、動慣量；（2）它的重心坐標.（1）（2）（分子采用分部積分法）=2 對坐標的曲線積分無論是對弧長還是對坐標的曲線積分重要的是寫出曲線的參數方程1計算公式：若，（其中分別始點和終點對應的參數），則若，（其中分別始點和終點對應的參數），則注意：（1）對定向曲線才能說對坐標的曲線積；定向曲線的參數方程與未定向曲線的參數方程的不同： 定向曲線的參數表示為始點的參數到終點的參數而不管誰大誰小： 未定向曲線的參數方程的參數表示為不等式：（2）弧長的積分轉化為定積分時定積分的上限一定要大于下限對坐標的曲線積分轉化為定積分時定積分的上限一定是終點的參數，下限是始點的參數，而不管上限是否一定要大于下限2：兩類曲

3、線積分的關系（1） 定向曲線的切向量及其方向余弦若當時切向量為：；方向余弦為當時切向量為：；方向余弦為類似可以推廣到空間曲線。（2） 兩類曲線積分的關系其中為定向曲線切向量的方向余弦注意：把第二類曲線積分轉化為第一類曲線積分其關鍵是求出切向量。特別要注意始點參數與終點參數大小關系對切向量符號的影響。1 把對坐標的曲線積分化為對弧長的曲線積分，其中為：（1）從點（0，0）沿拋物線到點（1，1）；解：，由，故在處切向量為，所以，所以（2）從點（0，0）沿上半圓周到點（1，1）.解：，由，故在處切向量為，所以，所以（或）法二，由，故切向量為，即所以，所以2 計算下列對坐標的曲線積分：（1），其中為拋

4、物線上從點（0，0）到（2，4）的一段弧；解：由，得OAa（2），其中為圓周及軸所圍成的在第一象限內的區域的整個邊界曲線弧（按逆時針方向）；解：，其中，（注意此方程不是的極坐標方程，故不能說在極坐標系下的范圍，事實上極坐標方程為，故在極坐標系下的范圍為）故（3），為從點（1，0）到點（-1，0）的上半橢圓周；解：由，得（4），其中為圓周（按逆時針方向）；解：由，得（5），其中為橢圓周：，且從軸正方向看去，取順時針方向；解：由得，故（注意：易知，所以（6），其中是曲線：上由0到的一段弧.解：3計算，其中：（1）拋物線上從點（1，1）到點（4，2）的一段弧；（2）從點（1，1）到點（4，2）的直線

5、段；（3）曲線上從點（1，1）到點（4，2）的一段弧.解：（1）由，得（2）由，得（3）由，得4證明：其中為平面上光滑曲線的長度.（提示：轉化為對弧長的曲線積分）證明：其中是切向量的方向余弦，故滿足。法二：證明：其中是切向量的方向余弦，故滿足。設向量，則，故3 Green公式1 用曲線積分計算下列曲線所圍平面圖形的面積：（1）橢圓：；解：若：，則（2）星形線：，.解：若：，則2用格林公式計算下列曲線積分（1），其中為圓周，取逆時針方向；（2），其中為閉區域的正向邊界.解：（1），又逆時針方向，設，所以（注意，為什么？）（2）所以（其中所以）3計算積分，其中為圓周（按逆時針方向）；解（1）故當時

6、，在所圍的區域內有連續偏導，滿足格林公式條件。（2）故當時，所圍的區域含有點，故在區域有點沒有連續偏導，不滿足格林公式條件。不能直接用格林公式條件。做曲線（取得足夠小保證含在所圍區域）方向為逆時針，即。則曲線圍成復連通區域且為的正向邊界。故在復連通區域滿足格林公式條件，故即（注之所以取曲線是方便計算，若取則計算麻煩）4證明下列曲線積分在面上與路徑無關，并計算積分.（1）解：，所以單連通區域面有連續偏導，且A（1，2）C（3，4），所以曲線積分在面上與路徑無關。B（3，2）法一：其中法二設：則得0，故（2）解：，所以單連通區域面有連續偏導，且A（1，0）C（2，1）B（2，0），所以曲線積分在面

7、上與路徑無關。法一：其中法二設：，得0，所以，故=5用適當的方法計算下列曲線積分OBADA（1），其中為圓周上從點依逆時針方向到點的弧段；解：由，有其中，B（1，2）A（2，1）C（1，1）（2），其中為從點到點的直線段.解：由，有積分與路徑無關，則其中，（注意：若應用積分與路徑無關，則必須保證在添加的曲線與原曲線所圍的區域是單連通的，和在區域有連續偏導數，如該題中區域就不能含原點）6解下列全微分方程（1）；解：，在面有，得方程為全微分方程。法一，故O（0，0）B（x，y）A（x，0），得，即所以方程通解為法二，令其中所以方程通解為（2）.解：，在面有，得方程為全微分方程。法一，故O（0，0）

8、B（x，y）A（x，0），得，即所以方程通解為法二，令其中所以方程通解為7計算曲線積分，其中：（1）閉區域的正向邊界；，則顯然在內有連續偏導數，滿足格林公式條件，故（2）圓周按逆時針方向；解：圓周所圍區域含原點，故在其內沒有連續偏導，數，不能用格林公式。直接計算，故(0, p)E(p,-p),B(-p,-p)A(- p, p),C(p, p),D（3）從點沿曲線到點的弧段.解：由，則積分路徑無關，故：，其中，故：8利用曲線積分與路徑無關的條件，求待定參數或函數.（1）確定的值，使曲線積分與路徑無關；解：，欲使曲線積分與路徑無關當且僅當，即，即得（2）求可微函數，使曲線積分 在的開區域內與積分路

9、徑無關.解：，積分與路徑無關當且僅當，即，得，（這是以自變量為未知函數的一階線性微分方程）又得9證明的充分必要條件為： 其中是單連通開域內的一條簡單閉曲線，在內具有連續的二階偏導數證明：對曲線積分，故的充分必要條件為，又，故的充分必要條件為，即4 對面積的曲面積分1計算下列曲面積分（1），其中為拋物面在面上方的部分;解：則故（2），其中為錐面及平面所圍成閉區域的邊界曲面.解：如圖，其中，故=+=+（3），其中為錐面被柱面所截得的部分;解：則故（區域關于軸對稱，函數，是關于奇函數）（4），其中為上半球面.解：，則故：3 計算曲面殼的質量，面密度.解：質量其中，則4 求密度為常數的均勻半球殼對于O

10、z軸的轉動慣量.解：在面上的投影區域：5對坐標的曲面積分計算聯合形式法一：直接計算：則分別計算，（1） 計算時（）將曲面投影在面（且只能投影面，即使投影為曲線而非區域，此時）為區域，即根據方程解出：，并確定曲面是朝上還是朝下1計算下列對坐標的曲面積分（1），其中是柱面被平面及所截下的第一卦限內部分的前側;解：（1）計算在面投影為0，故（2） 計算曲面朝投影為故，前側故（令（3） 計算曲面朝投影為故，右側故故=（2），其中是拋物面介于平面及之間的部分的下側;yzx解：法一（直接計算）：計算，將投影到面為，朝下，故yZ=2計算將投影到面為，如圖，其中，朝前，朝后，故（其中令）故法二（投影面轉換法）

11、因為，：，朝下，所以（其中利用對稱性：，由于：易知：，即）2把對坐標的曲面積分化為對面積的曲面積分：（1）：平面被柱面所截部分的下側;解：曲面在處的法向量為，故：，故（注意對于非定向曲面可為，或，但對于定向曲面朝下則第三個分量應為負）（2）：拋物面被平面所截的部分的左側.解：曲面在處的法向量為，故：，故（注意對于非定向曲面可為，或，但對于定向曲面朝做則第二個分量應為負）3計算曲面積分其中為連續函數，是平面在第四卦限內的上側.解：由是平面在第四卦限內的上側，故曲面在處的法向量為故，則（其中平面的面積為）5 計算，為錐面上滿足，的那部分曲面的下側.解：（采用投影面轉換法計算較為簡單）由，有又為錐面

12、：，朝下，6 Gauss公式與Stokes公式1利用高斯公式計算下列曲面積分.（1）其中是球面的外側.解（本題中若寫成是錯誤的，為什么？）2）其中為由曲面與所圍立體的表面的外側.解：（若采用先二后一的方法計算三重積分），其中（若采用柱坐標方法計算三重積分）2計算下列曲面積分：（1），是球面的上側.解；作曲面，朝下。則其中（先二后一）由，朝下，有，故（2），為拋物面被平面所截下的部分的下側.解；作曲面，朝上。則其中（用柱坐標）由，朝上有故（其中利用定積分的幾何意義有）3：計算曲面積分其中為和所圍曲面外側.解：4設是連續可導函數，計算曲面積分其中為錐面與兩球面及所圍立體表面的外側.解：5利用斯托克斯公式計算下列曲線積分:（1），為圓周：，從z軸正向看去，取逆時針方向.解：原積分=（其中如圖它是在球內的部分，朝上。）的法向量為，故（2），為橢圓，從z軸正向看去，取逆時針方向.解：原積分=（其中它是在圓柱內的部分，朝上）的法向量為，故