1、充分條件與必要條件編稿：張希勇 審稿：李霞【學習目標】1理解充分條件、必要條件、充要條件的定義；2會求某些簡單問題成立的充分條件、必要條件、充要條件；3會應用充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件表達命題之間的關系.4.能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要性的證明.【要點梳理】要點一、充分條件與必要條件 充要條件的概念符號與的含義 “若，則”為真命題，記作：；“若，則”為假命題，記作：.充分條件、必要條件與充要條件若，稱是的充分條件，是的必要條件.如果既有，又有，就記作，這時是的充分必要條件，稱是的充要條件.要點詮釋：對的理解：指當成立時，一定成立，即由通過推理

2、可以得到.“若，則”為真命題；是的充分條件；是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關系的表達.要點二、充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關系看命題“若，則”，其條件p與結論q之間的邏輯關系若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；若，且，即，則、互為充要條件；若，且，則是的既不充分也不必要條件.從集合與集合間的關系看若p：xA，q：xB， 若AB，則是的充分條件，是的必要條件；若A是B的 真子集，則是的充分不必要條件；若A=B，則、互為充要條件；若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件.要點詮釋：充要條件

3、的判斷通常有四種結論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.判斷方法通常按以下步驟進行：確定哪是條件，哪是結論；嘗試用條件推結論，再嘗試用結論推條件，最后判斷條件是結論的什么條件.要點三、充要條件的證明 要證明命題的條件是結論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）要點詮釋：對于命題“若，則”如果是的充分條件，則原命題“若，則”與其逆否命題“若，則”為真命題；如果是的必要條件，則其逆命題“若，則”與其否命題“若，則”為真命題；如果是的充要條件，則四種命題均為真命題.【典型例題】類型一：充分條件、必要條件、充要條

4、件的判定例1.指出下列各題中，是的什么條件？(1) : ， : ；(2) : ，: 拋物線過原點(3) : 一個四邊形是矩形，: 四邊形的鄰邊相等【解析】(1): 或, : 且,是的必要不充分條件；(2)且,是的充要條件；(3)且，是的既不充分條件也不必要條件.【總結升華】判定充要條件的基本方法是定義法，即“定條件找推式下結論”.有時需要將條件等價轉化后再判定.舉一反三：【變式1】指出下列各題中，是的什么條件？（1）：，：和是對頂角.（2），；【答案】（1）且，是的必要不充分條件，是的充分不必要條件.（2），但，是的充分不必要條件，是的必要不充分條件.【變式2】判斷下列各題中是的什么條件.（1

5、）:且, :（2）:, : .【答案】（1）是的充分不必要條件.且時，成立；反之，當時，只要求、同號即可.必要性不成立.（2）是的既不充分也不必要條件在的條件下才有成立.充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清課堂：充分條件與必要條件394804例2】例2. 已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，則p是q的（ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件XO3-112PQ【解析】q：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q：-1<x<3.如圖，在數軸上畫出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，從圖中看P

6、ÜQ， pq，但qp，所以選擇（A）.【總結升華】先對已知條件進行等價轉化化簡，然后由定義判斷；不等式（解集）表示的條件之間的相互關系可以借助集合間的關系判斷.舉一反三：【高清課堂：充分條件與必要條件394804例3】【變式1】設，則條件“”的一個必要不充分條件為（ ） A. B. C. D.【答案】A【變式2】（2015 天津文）設xR，則“1x2”是“|x2|1”的（ ）A 充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件【答案】由|x2|1 1x211x3，可知“1x2”是“|x2|1”的充分而不必要條件.故選:A.【變式3】 (2015 福建)若l，m

7、是兩條不同的直線，m垂直于平面，則“lm”是“l的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】若lm，因為m垂直于平面，則l或l；若l，又m垂直于平面，則lm，所以“lm”是“l”的必要不充分條件，故選B 類型二：充要條件的探求與證明例3. 設x、yR，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么x=0，y0；x0，y=0；x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy0，即x0，y0或x0，y0，當x0，y0時，|x+y|=x+y=|x|+|y|.當x0，y0時，|x+y|=(x+y)=

8、x+(y)=|x|+|y|.總之，當xy0時，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、yR，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，xy0.綜上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy0.【總結升華】充要條件的證明關鍵是根據定義確定哪是已知條件，哪是結論，然后搞清楚充分性是證明哪一個命題，必要性是證明哪一個命題.判斷命題的充要關系有三種方法：（1）定義法；（2）等價法，即利用與；與；與的等價關系，對于條件或結論是不等關系（否定式）的命題，一般運用等價法.（3）利用集合間的包含關系判斷，若

9、，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件.舉一反三：【變式1】已知a, b, c都是實數，證明ac<0是關于x的方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件.【答案】（1）充分性:若ac<0，則=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有兩個相異實根，設為x1, x2, ac<0, x1·x2=<0，即x1,x2的符號相反，即方程有一個正根和一個負根.（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根，設為x1,x2,且x1>0, x2<0，則x1·x2=<0，ac<0綜

10、上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件.【變式2】求關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件.【答案】（1）a=0時適合.（2）當a0時，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號的實根，則必須滿足；若方程有兩個負的實根，則必須滿足綜上知，若方程至少有一個負的實根，則a1；反之，若a1，則方程至少有一個負的實根，因此，關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件是a1類型三：充要條件的應用例4. 已知p：AxR|x2ax10，q：BxR|x23x20，若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍【解析】BxR|x23x20x|1x2，p是q的充分不必要條件，即AÜB，可知或方程x2ax10的兩根要在區間1,2內a24<0或，得2a2.【總結升華】解決這類參數的取值范圍問題，應盡量運用集合法求解，即先化簡集合A、B，再由它們的因果關系，得到A與B的包含關系，進而得到相關不等式組，解之即可.舉一反三：【變式1】已知命題p：1c<x<1c(c>0)，命題q：x>7或x<1，并且p是q的既不充分又不必要條件，則c的取值范圍是_【答案】0<c2【解析】命題p對應的集合Ax|1c<x&l