1、第 六 章 彎 曲 變 形一、教學目標和教學內容1 教學目標 掌握求梁變形的兩種方法：積分法和疊加法，明確疊加原理的使用條件，掌握用變形比較法求解靜不定梁。2 教學內容有關彎曲變形的基本概念積分法和疊加法明確疊加原理力法求解靜不定梁。二、 重點難點梁的變形分析。撓曲軸近似微分方程。積分法求變形。疊加法求梁的變形。三、講課提綱 1、概述圖7.1關于梁的彎曲變形，可以從梁的軸線和橫截面兩個方面來研究。圖示一根任意梁，以變形前直梁的軸線為軸，垂直向下的軸為軸，建立直角坐標系。當梁在面內發生彎曲時，梁的軸線由直線變為面內的一條光滑連續曲線，稱為梁的撓曲線，或彈性曲線。第六章中曾經指出，梁彎曲后橫截面仍

2、然垂直于梁的撓曲線，因此，當梁發生彎曲時梁的各個截面不僅發生了線位移，而且還產生了角位移，如圖7.1所示。 橫截面的形心在垂直于梁軸（軸）方向的線位移，稱為橫截面的撓度，并用符號表示。關于撓度的正負符號，在圖示坐標系下，規定撓度向下（與軸同向）為正；向上（與軸反向）為負。應該指出，由于梁在彎曲時長度不變，橫截面的形心在沿梁軸方向也存在線位移。但在小變形條件下，這種位移極小，可以忽略不計。梁彎曲時，各個截面的撓度是截面形心坐標的函數，即有 上式是撓曲線的函數表達式，亦稱為撓曲線方程。 橫截面的角位移，稱為截面的轉角，用符號表示。關于轉角的正負符號，規定在圖示坐標系中從軸順時針轉到撓曲線的切線形成

3、的轉角為正的；反之，為負的。 顯然，轉角也是隨截面位置不同而變化的，它也是截面位置的函數，即 此式稱為轉角方程。工程實際中，小變形時轉角是一個很小的量，因此可表示為 綜上所述，求梁的任一截面的撓度和轉角，關鍵在于確定梁的撓曲線方程2、 撓曲線近似微分方程對細長梁，梁上的彎矩和相應截面處梁軸的曲率半徑均為截面位置的函數，因此，梁的撓曲線的曲率可表為即梁的任一截面處撓曲線的曲率與該截面上的彎矩成正比，與截面的抗彎剛度EI成反比。 另外，由高等數學知，曲線任一點的曲率為顯然，上述關系同樣適用于撓曲線。比較上兩式，可得 上式稱為撓曲線微分方程。這是一個二階非線性常微分方程，求解是很困難的。而在工程實際

4、中，梁的撓度和轉角數值都很小，因此，之值和1相比很小，可以略去不計，于是，該式可簡化為式中左端的正負號的選擇，與彎矩的正負符號規定及坐標系的選擇有關。根據彎矩的正負符號規定，當梁的彎矩時，梁的撓曲線為凹曲線，按圖示坐標系，撓曲線的二階導函數值；反之，當梁的彎矩時，撓曲線為凸曲線，在圖示坐標系中撓曲線的。可見，在圖示右手坐標系中，梁上的彎矩M與撓曲線的二階導數符號相反。所以，上式的左端應取負號，即上式稱為撓曲線近似微分方程。實踐表明，由此方程求得的撓度和轉角，對工程計算來說，已足夠精確。3、 積分法求彎曲變形積分法計算梁的變形積分一次：=再積分一次：C、D為積分常數，它由位移邊界與連續條件確定

5、邊界條件 ：（1）固定端約束：限制線位移和角位移AB (2)鉸支座：只限制線位移ABC連續條件 ：4、疊加法求梁的變形在第五章介紹用疊加法作彎矩圖時，曾介紹了材料力學的一個普遍原理疊加原理。在線彈性小變形前提下，構件的支反力、內力、應力和變形都可以用疊加法的方法計算。 彎曲變形時，梁的撓度與轉角都與載荷成線性關系。因此，可以用疊加法計算梁的彎曲變形。當梁上有幾個載荷共同作用時，可以分別計算梁在每個載荷單獨作用時的變形，然后進行疊加，即可求得梁在幾個載荷共同作用時的總變形。應用疊加法求梁的變形時，若已知梁在簡單載荷作用時的變形，是很方便的。5、 梁的剛度校核5.1剛度條件 或 q 構件的許用轉角、分別為構件的許用撓度、單位長度許用撓度 5.2剛度校核 剛度校核是檢查梁在荷載作用下產生的變形是否超過容許值，在機械工程中，一般對都進行校核；在建筑工程中，大多數只校核撓度。5.3提高梁剛度的措施從撓曲線的近似微分方程及其積分可以看出，彎曲變形與彎矩大小、跨度長短、支座條件，梁截面的慣性矩 、材料的彈性模量 有關。故提高梁剛度的措施為：（1）改善結構形式，減小彎矩 ；（2）增加支承，減小跨度 ；（3）