1、1 1、 階子式階子式k 階行列式，階行列式， 稱為稱為 的一個的一個 階子式階子式. .kAk064212100321A6231100101 位于這些位于這些任取任取 行行 列，列，Akknm 在在 矩陣矩陣 中中, ,定義定義2階子式：階子式：1300212603階子式：階子式：0 保持原來的位置不變而構成的保持原來的位置不變而構成的行與列交叉處的元素，行與列交叉處的元素， 定義：設定義：設 是是 行行 列矩陣，如果列矩陣，如果 中中不為零不為零的子式的最高階數的子式的最高階數為為 ，即，即 中存在中存在 階子式階子式不為零，而所有不為零，而所有 階子式全為零階子式全為零, ,則稱則稱 為

2、矩為矩陣陣 的秩的秩. . 2 2、矩陣的秩、矩陣的秩記作：秩記作：秩 , ,或或 . .132 2021 32 015A 1 1階子式階子式: :132002 2 2階子式階子式: :110 例例1 1 設設 求求( )r AAmnAAAAr r( )Ar rr1r r132 2021 32 015A 132021201 132023205 322213015 122013215 2r A 3 3階子式階子式: :0 0 0 0 ( )min(, )r Am n ( )r An（3 3）()(), Tr Ar A （2 2）（4 4）An( )min(, )r Am n 稱為降秩的稱為降秩的

3、（1 1）()0r O A()( ),r kAr A ),min()(nmAr稱為滿秩的稱為滿秩的AA滿秩滿秩A可可逆逆0A 對于對于 階方陣階方陣 ，2 2、初等變換求秩法、初等變換求秩法定理定理 階梯形矩陣的秩等于其非零行個數階梯形矩陣的秩等于其非零行個數證：設證：設 是一個階梯形矩陣是一個階梯形矩陣, ,非零行個數為非零行個數為 11121122220000000000000knknkkknaaaaaaaaa 顯然顯然, ,有一個有一個 階階子式不為零子式不為零. .而所有而所有 階子式階子式全為零全為零. .A (0 , 1,2, )iiaik r Ak Ak即即且且k1k 2 2、初

4、等變換求秩法、初等變換求秩法定理定理 階梯形矩陣的秩等于其非零行個數階梯形矩陣的秩等于其非零行個數 3r A 12310314002100000000A 定理定理 初等變換不改變矩陣的秩初等變換不改變矩陣的秩定理定理 任意矩陣都可以只通過初等行變換任意矩陣都可以只通過初等行變換這三個定理解決了一般矩陣求秩的問題這三個定理解決了一般矩陣求秩的問題化成階梯形矩陣化成階梯形矩陣. .解解例例2 2 設設32050323612015316414A ，求矩陣的秩，求矩陣的秩，A把矩陣用初等行變換變成階梯形矩陣：把矩陣用初等行變換變成階梯形矩陣：A32050323612015316414 16414 32

5、05004 311 A012971101612812 000 48 000 48 0000 0( )3.r A 11，44(-1)1+2(-1)1+2(-2)1+3(-2)1+3(-3)1+4(-3)1+4(-3)2+3(-3)2+3(-4)2+4(-4)2+4(-1)3+4(-1)3+4例例3 3 設設A A 為為n n 階可逆矩陣，階可逆矩陣，B B為為n n m m 矩陣，矩陣，證明證明)()(BrABr證證A A可逆可逆12sAP PP 12sABP PP B 即即AB AB 是是B B 經過經過S S 次初等變換后得到的，次初等變換后得到的，初等變換不改變矩陣的秩初等變換不改變矩陣的

6、秩, ,因此因此).()(BrABr同理可證：同理可證：()( )r BCr B 其中其中C C是是m m階可逆矩陣階可逆矩陣. .結論結論：任何矩陣與可逆矩陣相乘其秩不變：任何矩陣與可逆矩陣相乘其秩不變.()()()()r Br ABr BCr ABC 例例4 4 已知已知 求證求證 1212 A Or Arr BrrrO B （），（），分塊對角陣的秩等于各子塊的秩之和分塊對角陣的秩等于各子塊的秩之和即即12sAAAA 12( )()()()sr Ar Ar Ar A例例5 5設設n n 階矩陣階矩陣1111)11aaAr Aa 求求 ( (解：解：111111aaAa 111010(1)001anaa 11111(1)11anaa 1(1)(1)nnaa 1(1)(1)nAnaa 討論：討論：0 A ，1a 111111111nnAn （1 1）當）當 且且 時，時，1a 1an ()r An 故故 （2 2）當）當 時，時，111111111A ()1r A 顯然顯然（3 3）當）當 時，時，1an 111111111nnAn 111111111000nn 各行