1、用心 愛心專心題目(選修H)第二章極限 函數的極限與連續性高考要求1 了解函數極限的概念2 掌握極限的四則運算法則；會求某些數列與函數的極限3 了解函數連續的意義，4 理解閉區間上連續函數有最大值和最小值的性質知識點歸納1 函數極限的定義：(1)當自變量x取正值并且無限增大時，如果函數f(x)無限趨近于一個常數a,就說當x趨向于正無窮大時，函數f(x)的極限是a記作：limf(x)=a,或者當xT+s時，f(x)Tax_):(2)當自變量x取負值并且絕對值無限增大時，如果函數f(x)無限趨近于一個常數a,就說當x趨向于負無窮大時，函數f(x)的極限是a記作limf(x)=a或者當xT_m時，f

2、(x)Tax-2 常數函數f(x)=c(x R)，有limf(x)=climf(x)存在，表示limf(x)和limf(x)都存在，且兩者相等X：X ,x-又有8的意義，而數列極限liman中的g僅有+8的意義*如果limf(x)=a且limf(x)=a,那么就說當x趨向于無窮大時，函數f(x)的極限是a,記作:limf(x)=a或者當f(x)Talim f i (x)Fx%特別地，limC=C；lim x = x0*XXXo4limf(x)= lim f(x)二lim f (x):=axx0 X旳其中lim f XX% 一)- a表示當x從左側趨近于X0時的左極限，lim f (x)XrXg

3、 二a表示當x從右側趨近于X0時的右極限y二f (x)無限趨近于一個常數a，就說當X趨向Xo時，函數5 對于函數極限有如下的運算法則:所以limf3 趨向于定值的函數極限概念：當自變量x無限趨近于X0(X = X0)時，如果函數用心 愛心專心如果lim f (x)二A, lim g(x)二B,那么lim f(x)g(x) =A B,xXoxXox JXoy =f (x)的極限是a，記作用心 愛心專心Iimf(x) g(x) = A B,xxo當 C 是常數，n 是正整數時，冗f(x)n=lim f(x)n這些法則對于x_.-的情況仍然適用6 函數在一點連續的定義：如果函數f(x)在點x=xo處

4、有定義，limf(x)存在，且limf(x)=f(xo)，那么函數f(x)在點x=xo處連續X Xo7 函數f(x)在(a，b)內連續的定義：如果函數f(x)在某一開區間(a,b)內每一點處連續，就說函數f(x)在開區間(a,b)內連續，或f(x)是開區間(a，b)內的連續函數8 函數f(x)在a,b上連續的定義：如果f(x)在開區間(a,b)內連續，在左端點x=a處有limf(x)=f(a)，在右端點x=b處十有limf(x)=f(b),就說函數f(x)在閉區間a，b 上連續，或f(x)是閉區間a，b上的連 x 一 b -續函數9 最大值f(x)是閉區間a，b上的連續函數，如果對于任意x a

5、，b，f(xf(x)，那么f(x) 在點X1處有最大值f(X1)10 最小值f(x)是閉區間a，b上的連續函數，如果對于任意x a，b，f(X2)wf(x)，那么f(x) 在點X2處有最小值f(X2)11 最大值最小值定理如果f(x)是閉區間a，b上的連續函數，那么 小值12 極限問題的基本類型：分式型，主要看分子和分母的首項系數；f(x)在閉區間a, b上有最大值和最0十0指數型(和口 一型)，通過變形使得各式有極限；0 根式型(型)，通過有理化變形使得各式有極限;題型講解例 1 求下列各極限:41(1)lim();x24 x 2(2)lim(, (x a)(x b)x)；(3)x lim

6、-X|x Icosxlim xnx . x2cos sin2 2用心 愛心專心用心 愛心專心分析：若f(x)在xo處連續，則應有lim f(x) =f(xo),故求f(x)在連續點xoTo處的極限時，只需求f(Xo)即可；若f(x)在xo處不連續，可通過變形，消去Xxo因式，轉化成可直接求f(xo)的式子解：(1)原式=lim 4-2)=lim =-XT2x24XT2x+242b即lim(4x+x+a+ ) =5,x-0X(2)(a b)x ab原式=lim _Jx2+(a +b)x +ab +x=a+b用心 愛心專心(3)因為lim =1,而=lim= 1,xT 十|x|xT_|x|x li

7、m豐xo |x|x 0,x =0,試確定b的值,使lim f (x)存在;xTx : 0,xlim f(x) =lim(1+2) =2,x)0 -x Q -當且僅當b=2 時，lim f(x) =lim f(x)x)0 xj -故b=2 時,原極限存在可設f(x) =4x3+x2+ax+b(a、b為待定系數)32a=5,b=0,即f(x) =4x+x+5x點評：(1)函數在某點處有極限，與其在該點處是否連續不同(2)初等函數在其定義域內每點的極限值就等于這一點的函數值言,求極限就是求函數值，使極限運算大大簡化2X cos-si n2(4)原式=lim22=limnXXnX2cos-si nx訪

8、22所以lim不存在.x )0|x|(cos+sin 蘭)=22 2x lim -2x +b例 2(1)設f(x) =0(2)f(x)為多項式=1,limx )0f(x)=5,求f(x)的表達式x解: (1)lim fx )0 (X)lim(2x+b) =b,x )0 (2)由于f(x)是多項式，且lim WX )：:=1,用心 愛心專心又一X叫型=5,也就是對初等函數而用心 愛心專心分析：應先求出f(x)的解析式，再判斷連續性當x=1 時，f(x) =0 x(0*1),f(x) = 1 時,(x)=nimkx=limn_):x=x;=lim f(x) =f(0)x)0 mf(x) =1,2n

9、x用心 愛心專心-f(x)在區間0,3 上不連續用心 愛心專心(x：、0),當a為何值時,函數f(x)是連續的(x_0).解：lim f(x) =lim(a+x)=a,lim f(x) =limex=1,而f( 0) =a,故當a=1 時,limfx_ 0亠x_0亠x_0 . .x_0 . .x_.0(x) =f(0),即說明函數f(x)在x=0 處連續，而在x工 0 時,f(x)顯然連續，于是我們可判斷當a=1 時，f(X)在(一8，+8)內是連續的點評：分段函數討論連續性，一定要討論在“分界點”的左、右極限，進而斷定連續性例 6 求下列函數的極限：x2-1lim2-xXQ運算例 7 討論下

10、列函數在給定點處的連續性X2_ 4(1)f (x)，點x = 2；x 2rxe例 5 設f(x)=丿a +xd) lim3x1+1)3x2-1(3)lim2I 2x2_x _1x231 )(4)!叫x2_1 X1解: (1)3x3-1lim3x=(x 1)33-(丄)3x=limx匸13(1 )3x(2)x2-1limx 2x2x-2(xm)2-122-13(3)x2-11m(x2x2)一啊X)2+迪x-廠22+2-2lim2limx2x-x-1x 1(x 1)(x 1)(x-1)(2x 1)2x 1 2limx 1 2 1 1 3(x 1)x-2)(4)用心 愛心專心X 1,0 X蘭12x,

11、1_1 x r X 1(x -1)(x 1) li+f (X)=呵 土一-X 1X 1X亠1所lim f(x) - -2二f (-1),X 1-lim (x -1)2x 1 -lim(x-1) 2用心 愛心專心理只說明了最值的存在性，在何處獲得最值，可結合函數的圖象作出判斷小結：1lim f(x)=A=lim二f(x)lim f(x) =lim f(x) =AX)x0.X% 一処f(x)=Alim f(x)=A：=XrX0用心 愛心專心2 函數f(x)在xo處連續當且僅當滿足三個條件：(1 )函數f(x)在X=Xo處及其附近有定義；(2)lim f(x)存在；XYo(3)lim f(X)=f(

12、Xo)X03 會熟練應用常見技巧求一些函數的極限4 在學習過程中，要弄清函數極限與數列極限的聯系與區別，借助于函數圖象弄清處連 續性的意義5 函數極限比數列極限復雜之處在于它有左、右極限，并有趨近于無窮大和趨近于常數兩 類，需給予關注與lim的區別X X學生練習1lim f(x) =lim f(x) =a是f(x)在xo處存在極限的X內X氏_A 充分不必要條件B必要不充分條件C 充要條件D既不充分也不必要條件答案:C2x x 31,丄人2f(x)= J下列結論正確的是0 X 1,Blim f (x)=2，lim f (x)不存在X1 X )1 -答案：C3 函數f(X)在X0處連續是f(X)在

13、點X0處有極限的A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D既不充分也不必要條件答案:A4 已知函數f(x)是偶函數，且Jim .f(x)=a,則下列結論一定正確的是又xHm f(x) =a,JmJ( X)=a,f(X)=f(-X),6 在求函數極限時,需觀察，對不能直接求的可以化簡后求,Alim f (x)=lim f(x)X1X.1一Clim fx_1 (x)工lim fX 1 -(x)Dlim fXj (x) =0,lim f (x)不存在A丿imJ(x)= -a丿 mf(X)Cxlm:f (x)=ialim f(x)X )-：:=|冋(x)是偶函數， f(-X)=f(X)但要注意

14、類似用心 愛心專心lim f(-x)=lim f(x)=aX , x .答案：BA-2x2x _2 (x _1)(x 2) x24x -5 (x-1)(x 5)2x 2xx - 21答案:A6f(X)在X=Xo處連續是f(x)在X=Xo處有定義的 _ 條件A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要D既不充分又不必要解析：f(X)在X=Xo處有定義不一定連續答案：Ancos7f(x)=x的不連續點為ncosXAx=0Bx=(k=0,1,2,)2k 1Cx=0 和x=2kn (k=0,1,2,)x 5* xn x24x一5 25|Xmix2x - 2x24x -5等于Dx=0 和x=(k=0, 1,

15、 2,)2k 1用心 愛心專心解析：由 cos=0,得=kn+(k Z) , .x= (k：=Z) xx22k+1又x=0 也不是連續點，故選 D答案：Dx22x -3 x乞18函數f(x)= x1：:x：:2,則有2x-2x_2,Cf(x)在x=1 和x=2 處不連續Df(x)處處連續解析：lim f(x) =0,lim f(x) =1,X=1 X：1.f(x)在X=1 處不連續答案：A9 若f(x)在定義域】a,b上有定義，則在該區間上A 一定連續 B 一定不連續 C 可能連續也可能不連續D 以上均不正確解析：有定義不一定連續答案：CAf(x)在x=1 處不連續Bf(x)在x=2 處不連續

16、用心 愛心專心2.x +x 2 lim廠x1xX2x x -2(x 1)(x2) x 2o解析：lim2=lim=lim=3x1x -xJ1X(X -1)x1x答案：32x - ax 311 右lim -2- =2,貝H a=_ .x1x232x ax 3 a 4解析：lim2=2, =2 a=4T x2+34答案：4_ _ 212 已知函數y=f(x)在點x=xo處存在極限，且lim f(x) =a- 2,lim f(x) =2a+1,xo +xo_則函數y=f(x)在點x=xo處的極限是 _ .解析： y=f(x)在x=xo處存在極限,lim f(x) =lim f(x),即a 2=2a+1 a= 1 或a=3*xo -lim f(x) =2a+仁1 或 7答案：1 或 713 若f(x) =： _ 在點x=o 處連續，則f(o) =_3x +1 -1解析： f(x)在點x=o 處連續，f(o) =lim f(x)(x)= lim1=limi(=m xT譏+1 1TJx+1 +12解：Tf(x) =ax2+bx+c是一偶函數,f(-x) =f(x)即ax2+bx+c=ax2-bx+c2 b=0 f(x)=ax +climax2+c=a+c=0,X1limf(x)=xax2+c=4a+c= 3,2a= 1,c=1f(x) = x+1f(x)ma=f( 0) =1 f(x