1、垂直于弦的直徑課例與反思授課班級 九年級 授課時數 1一、 教學內容分析： 本節課主要研究的是圓的軸對稱性與垂徑定理及簡單應用，垂徑定理既是前面圓的性質的重要體現，是圓的軸對稱性的具體化，也是今后證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系的重要依據，同時也是為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據，所以它在教材中處于非常重要的位置。 二、 教學目標： 1 知識和技能：通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性；掌握垂徑定理，理解其證明，并會用它解決有關的證明與計算問題；掌握輔助線的作法過圓心作一條與弦垂直的線段。2 過程和方法：通過定理探究，培養學生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力；向學生滲透“由特殊到一

2、般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3 情感態度和價值觀：激發學生探究、發現數學問題的興趣和欲望，以及對學生進行數學美的教育 三、 教學重點和難點 1教學重點 垂徑定理及其應用： 通過動手操作，對比已有的知識，從一般到特殊的方法讓學生經歷了動手操作、觀察、猜想、歸納等方法 2 教學難點 垂徑定理的證明與垂徑定理的理解及靈活應用. 通過學生動手做“找圓心”的游戲再利用多媒體播放整個折疊過程 四、 教學環境要求 1每個學生準備若干張圓形紙片；2教師自制的多媒體課件；3上課環境為多媒體大屏幕環境。五、板書設計 課題：垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。已知（1）CD過圓心

3、（2）CD AB于E則 （a）AE=BE（b）AD=BD（c）AC=BC垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。已知（1）CD過圓心（2）AE=BE（AB不是直徑）則（a）CD AB于E (b）AD=BD（c）AC=BC2）垂徑定理的應用：（1）解決有關弦、弧、半徑等問題的計算、證明（和作圖） （2）解決某些實際問題（如拱橋等）強化應用意識。 （3）常用的輔助線：（1）作半徑； （2）過圓心作弦的垂線段。 （4）常用解法：（1）勾股定理 ；（2）解直角三角形 六、 教學過程：（一） 情景導入1 介紹和展示中國石拱橋中由隋代工匠李春建造的趙州橋（如掛圖）。2 該實

4、例中建立與本課題密切有關的數學問題 聆聽背景介紹和欣賞石拱橋的圖形，并思考教師提出的問題 掛圖 以同學們所熟知的趙州橋入手,并從該實例中建立與本課題密切有關的數學問題.這樣既能激發學生的興趣,又能引發學生更深層次的思考.使學生認識到數學總是與現實問題密不可分,將實際問題數學化,可讓學生從一些簡單實例中不斷體會從現實世界中尋找數學模型,建立數學關系的方法. （二 ） 嘗試誘導，發現定理1、活動1：讓學生拿出事先準備好的圓形紙片，想想能否通過折疊的方法找到該圓的圓心？為什么？2、教師演示線段AB的運動變換。3、讓學生大膽提出猜想。 學生通過找圓心的游戲復習了圓的軸對稱性學生通過線段AB的運動變換很

5、自然地渡到垂直于弦的直徑，經歷了由特殊到一般的探索過程，并通過實驗-觀察-分析-猜想，主動地探索垂徑定理的知識 利用多媒體播放折疊過程和線段AB的運動變換過程 教學內容重新整合，將圓的軸對稱性的學習變成了操作性強，又具有趣味性的“找圓心”問題，激發了學生的求知欲望，調動了學生學習的積極性，通過線段AB的運動變換很自然地渡到垂直于弦的直徑，讓學生經歷了由特殊到一般的探索過程，這符合學生的認知規律，引導學生通過實驗-觀察-分析-猜想，主動地探索垂徑定理的知識。這一過程突出知識地產生過程，教會學生動眼看、動手做、動腦想、動口說，主動參與到教學活動中，這樣做有利于發揮學生的主動性，發展他們的創造性，為

6、達到本課的教學目標奠定了堅實的基礎 （三） 引導探究，證明定理教師板書出已知、求證并引導學生從以下兩方面尋找證明思路，然后利用疊合法即可證出。根據上面的證明，請學生自己用文字語言和符號語言進行歸納，并將其命名為“垂徑定理”。讓學生觀察圖形中，AB是O的弦，CD是O的弦，它們是否適用于“垂徑定理”？若不適用，說明理由；若適用，能得到什么結論。 學生在教師的引導下進行定理的證明根據上面的證明，學生自己用文字語言和符號語言進行定理歸納學生觀察教師給出的定理的變式圖形，以強化對定理基本圖形的理解1、在學生動手操作折紙和課件演示的基礎上，利用圓的軸對稱性，采用疊合法證明垂徑定理是學生容易接受的，目的是既

7、使學生重視證明表述，又加深對它的發現與理解。2、讓學生經歷了實驗觀察猜想證明，學生的思維逐步被展開，現在可以引導學生證明并歸納定理，歸納定理時采用了文字語言和符號語言兩種形式3、強化對基本圖形的理解，從特殊到一般，培養學對幾何圖形的化歸思維能力。幾何定理中文字語言、符號語言，圖形語言的相互聯系與轉換也是學生應具備的能力。 （四） 例題示范，變式練習1、教師出示例題：例1 如圖，已知在O中，弦AB的長8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑.講完例1后，教師總結：半徑、圓心到弦的距離及弦長三者有何關系？ 例2 在例1圖形的基礎上，以O的圓心再畫一個圓交弦AB于C、D，則AB與CD可能存在的

8、關系？試證明教師總結：在圓中，解弦的有關問題時，常常需要作“垂直于弦的直徑”作為輔助線，實際上，往往只須從圓心作一條與弦垂直的線段。 在教師的分析引導下學會利用垂徑定理解決相關的數學問題把握解決此類問題的關鍵點將例2作為例1的延伸，滲透了從“特殊”到“一般”解題思想方法，使學生體會到由淺到深，由表及里的學習過程 ，符合學生的認知規律，引導學生的解法要突出“七字口訣”的重要性及垂徑定理的優越性，.通過題組訓練使學生對垂徑定理有了更進一步認識，并掌握了有關計算、證明等方面的簡單應用，教師教學時應突出作圓心到弦的垂線段，是應用垂徑定理時常用的添加輔助線方法。（ 五 ） 鞏固練習 化疑解難 教師出示課

9、前所留的有關趙州橋橋拱半徑的問題。 趙州橋的橋拱呈圓弧形的，它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米，拱高（弧的中點到弦AB的距離，也叫弓高）為7.2米。請問：橋拱的半徑（即AB所在圓的半徑）是多少？ 學生獨立思考，當堂練習 數學來源于實踐，又應用于實踐。在例題中，老師把新課引入的實際問題，在結束前引導學生運用所學知識加以解決，注重培養學生解決實際問題的能力。首尾呼應，形成一個課堂教學的整體。 （六 ） 課堂回顧 畫龍點睛 通過本節課的學習你有哪些想法和收獲？ 小組討論后師生共同小結師生共同回顧學習內容，有助于學生將知識系統化，條理化，幫助學生全面理解、掌握所學知識，同時可說明弦的中點、弧的中點都

10、集中在垂直于弦的直徑上，對學生進行數學美育教育。 （七） 課后作業 結合學生的實際情況，為了更好地因材施教，作業題分為必做題與選做題， 及時鞏固知識，達到課堂內容的延伸，調動學生學習積極性，提高學生思維的廣度，培養學生良好的學習習慣及思維品質。 個性化教學 為學有余力的學生所做的調整:為了更好地因材施教，作業題分為必做題與選做題，選做題：有一石拱橋是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當洪水泛濫時，水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施？請說明問題為需要幫助的學生所做的調整:教師參與到討論當中，做弱勢小組的組織者和指導者 形成性檢測 1 理解：讓學生拿出

11、事先準備好的圓形紙片，想想能否通過折疊的方法找到該圓的圓心？為什么？ 2 應用 根據上面的證明，請學生自己用文字語言和符號語言進行歸納，并將其命名為“垂徑定理”. 3 遷移、思考、探究趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1），它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米，拱高（弧的中點到弦AB的距離，也叫弓高）為7.2米。請問：橋拱的半徑（即AB所在圓的半徑）是多少？ 形成性評價 形成性練習題中的基礎題完成得很好，但對于知識遷移的思考題，部分學生解答得不是特別好。通過課堂教學發現學生的知識點掌握較好，學習中投入性與主動性非常高，也樂于發表自己的見解，取得了很好的教學效果。多媒體課件能較好的解決教學的重難點，既提高了教學效率，學生又非常感興趣。 七、教學反思 數學源于生活，而又服務于生活。本節課的內容與生活是息息相關的，因此學生反映很