1、按秘密級事項管理啟用前2020年普通高等學(xué)校招生考試全國統(tǒng)一考試（模擬卷）數(shù) 學(xué)注意事項： 1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)集合A=(x,y)|x+y=2,B=(x,y)|y=x2,則AB=(). A.(1,1) B.(-2,4)

2、C.(1,1),(-2,4) D.【解析】首先注意到集合A與集合B均為點集,聯(lián)立x+y=2,y=x2,解得x=1,y=1或x=-2,y=4,從而集合AB=(1,1),(-2,4),故選C.【答案】C2.已知a+bi(a,bR)是1-i1+i的共軛復(fù)數(shù),則a+b=().A.-1 B.-12 C.12 D.1【解析】因為1-i1+i=(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)=-i,所以a+bi=i,由復(fù)數(shù)相等得a=0,b=1,從而a+b=1,故選D.【答案】D3.設(shè)向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-b)c,則=().A.3 B.2 C.-2 D.-3【解析】由題意,得a

3、-b=(1+,1-3),因為(a-b)c,所以2×(1+)+1×(1-3)=0,解得=3.故選A.【答案】A4.1x-x10的展開式中x4的系數(shù)是().A.-210 B.-120 C.120 D.210【解析】由二項展開式,知其通項為Tr+1=C10r1x10-r·(-x)r=(-1)rC10rx2r-10,令2r-10=4,解得r=7,所以x4的系數(shù)為(-1)7C107=-120.故選B.【答案】B5.已知三棱錐S-ABC中,SAB=ABC=2,SB=4,SC=213,AB=2,BC=6,則三棱錐S-ABC的體積是().A.4 B.6 C.43 D.63【解析】

4、由SB=4,AB=2,且SAB=2,得SA=23,由AB=2,BC=6,且ABC=2,得AC=210.因為SA2+AC2=SC2,所以SAC=2,即SAAC,所以SA平面ABC.又因為SABC=12×2×6=6,所以VS-ABC=13SABC·SA=13×6×23=43.故選C.【答案】C6.已知點A為曲線y=x+4x(x>0)上的動點,B為圓(x-2)2+y2=1上的動點,則|AB|的最小值是().A.3 B.4 C.32 D.42【解析】(法一)設(shè)Ax,x+4x,點A到圓(x-2)2+y2=1的圓心C的距離的平方為g(x),則g(x)

5、=(x-2)2+x+4x2=2x2+16x2-4x+12(x>0),求導(dǎo),得g'(x)=4·x-8x3-1=4·x4-x3-8x3,令g'(x)=0,得x=2.當(dāng)0<x<2時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>2時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.從而g(x)在x=2時取得最小值,最小值為g(2)=16,從而點A到圓心C的距離的最小值為g(2)=16=4,所以|AB|的最小值為4-1=3.故選A.(法二)由對勾函數(shù)的性質(zhì),可知y=x+4x4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號,結(jié)合圖象(圖略)可知當(dāng)點A運動到點

6、(2,4)時能使點A到圓心的距離最小,最小值為4,從而|AB|的最小值為4-1=3.【答案】A7.設(shè)命題p:所有正方形都是平行四邊形,則􀱑p為().A.所有正方形都不是平行四邊形 B.有的平行四邊形不是正方形C.有的正方形不是平行四邊形 D.不是正方形的四邊形不是平行四邊形【解析】“所有”改為“存在”(或“有的”),“都是”改不“不都是”(或“不是”),從而得答案為C.【答案】C8.若a>b>c>1,且ac<b2,則().A.logab>logbc>logcaB.logcb>logba>logac C.logbc>loga

7、b>logcaD.logba>logcb>logac 【解析】(法一)取a=5,b=4,c=3,代入驗證知選項B正確.(法二)對于選項A,C,因為a>b>c>1,所以logab<logaa=1,logbc<logbb=1,logca>logcc=1,從而選項A,C錯誤;對于選項B,D,因為logcb>logcc=1,logba>logbb=1,logac<logaa=1,所以logac最小,下面只需比較logcb與logba的大小即可,采用差值比較法,logcb-logba=lgblgc-lgalgb=(lgb)2-lga

8、·lgclgc·lgb(lgb)2-lga+lgc22lgc·lgb>(lgb)2-lg b222lgc·lgb=0,從而logcb>logba,選項B正確,D錯誤.【答案】B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。9.下圖為某地區(qū)2006年2018年地方財政預(yù)算內(nèi)收入、城鄉(xiāng)居民儲蓄年末余額折線圖.根據(jù)該折線圖可知,該地區(qū)2006年2018年().A.財政預(yù)算內(nèi)收入、城鄉(xiāng)居民儲蓄年末余額均呈增長趨勢 B.財政預(yù)算內(nèi)收入、城鄉(xiāng)居民儲蓄年

9、末余額的逐年增長速度相同C.財政預(yù)算內(nèi)收入年平均增長量高于城鄉(xiāng)居民儲蓄年末余額年平均增長量 D.城鄉(xiāng)居民儲蓄年末余額與財政預(yù)算內(nèi)收入的差額逐年增大【解析】由圖可以看出兩條曲線均在上升,從而選項A正確;圖中兩曲線間隔越來越大,說明增長速度不同,差額逐年增大,故選項B錯誤,選項D正確;又從圖中可以看出財政預(yù)算內(nèi)收入年平均增長量應(yīng)該小于城鄉(xiāng)儲蓄年末余額年平均增長量,所以選項C錯誤.故選AD.【答案】AD10.已知雙曲線C過點(3,2)且漸近線為y=±33x,則下列結(jié)論正確的是().A.C的方程為x23-y2=1B.C的離心率為3 C.曲線y=ex-2-1經(jīng)過C的一個焦點D.直線x-2y-1

10、=0與C有兩個公共點【解析】對于選項A,(法一)因為點(3,2)在漸近線y=33x的下方,所以雙曲線的焦點在x軸上,設(shè)雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由所給條件知ba=33,又雙曲線C過點(3,2),所以9a2-2b2=1,解得a=3,b=1,c=2,故選項A正確.(法二)由y=±33x,可得y2=13x2,從而可設(shè)雙曲線C的方程為13x2-y2=(0),又雙曲線C過點(3,2),所以13×32-(2)2=,解得=1,故選項A正確.對于選項B,由雙曲線方程可知a=3,b=1,c=2,從而C的離心率為e=ca=23=233,故選項B錯誤.

11、對于選項C,雙曲線的右焦點的坐標為(2,0),滿足y=ex-2-1,故選項C正確.對于選項D,聯(lián)立x-2y-1=0,x23-y2=1,整理得y2-22y+2=0,由=(22)2-4×2=0,且直線斜率大于漸近線斜率,知直線與雙曲線C只有一個交點,故選項D錯誤.【答案】AC11.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F,G分別為BC,CC1,BB1的中點.則().A.直線D1D與直線AF垂直B.直線A1G與平面AEF平行 C.平面AEF截正方體所得的截面面積為98D.點C與點G到平面AEF的距離相等【解析】對于選項A,以D點為坐標原點,DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸,

12、y軸,z軸,建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),F0,1,12,從而DD1=(0,0,1),AF=-1,1,12,所以DD1·AF=120,所以D1D與直線AF不垂直,選項A錯誤.對于選項B,取B1C1的中點為M,連接A1M,GM,則A1MAE,GMEF,所以平面A1MG平面AEF,從而A1G平面AEF,選項B正確.對于選項C,連接AD1,D1F,易知四邊形AEFD1為平面AEF截正方體所得的截面四邊形(如圖),且D1H=AH=5,A1D=2,所以SAD1H=12×2×(5)2-222=32,而S四邊形AEFD1=34SA

13、D1H=98,所以選項C正確.對于選項D,(法一)因為SGEF=12×1×12=14,SECF=12×12×12=18,VA-GEF=13SEFG·AB=112,VA-ECF=13SECF·AB=124,所以VA-GEF=2VA-ECF,即VG-AEF=2VC-AEF,所以點G到平面AEF的距離為點C到平面AEF的距離的2倍,故選項D錯誤. (法二)假設(shè)點C與點G到平面AEF的距離相等,即平面AEF將線段CG平分,則平面AEF必過CG的中點,連接CG交EF于點O,易知O不是CG的中點,故假設(shè)不成立,從而選項D錯誤.【答案】BC12.函

14、數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+1)與f(x+2)都為奇函數(shù),則().A.f(x)為奇函數(shù) B.f(x)為周期函數(shù)C.f(x+3)為奇函數(shù) D.f(x+4)為偶函數(shù)【解析】由f(x+1)與f(x+2)都為奇函數(shù)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)與點(2,0)對稱,所以f(x) +f(2-x)=0,f(x)+f(4-x)=0,所以f(2-x)=f(4-x),所以f(x)是以2為周期的函數(shù),所以f(x)與f(x+3)均為奇函數(shù),故選ABC.【答案】ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.某元宵燈謎競猜節(jié)目,有6名守擂選手和6名復(fù)活選手,從復(fù)活選手中挑選1名選手作為攻擂者,從

15、守擂選手中挑選1名選手作為守擂者,則攻擂者、守擂者的不同構(gòu)成方式共有種. 【解析】從6名守擂選手中挑選1名選手,有C61=6種選法,從復(fù)活選手中挑選1名選手,有C61種選法,由分步乘法計數(shù)原理,知不同的構(gòu)成方式共有6×6=36種.【答案】3614.已知cos+6-sin =435,則sin+116=. 【解析】因為cos+6-sin =32cos -32sin =-3sin-6=-3sin+116=435,所以sin+116=-45.【答案】-4515.直線l過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F(1,0),且與C交于A,B兩點,則p=, 1|AF|+1

16、|BF|=.(本題第一空2分,第二空3分.) 【解析】由題意知p2=1,從而p=2,所以拋物線方程為y2=4x.(法一:特殊值法)將x=1代入y2=4x,解得y=±2,當(dāng)直線l與x軸垂直時,|AF|=|BF|=2,從而1|AF|+1|BF|=1.(法二)設(shè)直線l的方程為x=my+1,聯(lián)立x=my+1,y2=4x,消去x并整理得y2-4my-4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4,從而1|AF|+1|BF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=m(y1+y2)+4m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4m2

17、+4-4m2+8m2+4=1.(法三)利用書中結(jié)論:1|AF|+1|BF|=2p,即可得出結(jié)果.【答案】2116.半徑為2的球面上有A,B,C,D四點,且AB,AC,AD兩兩垂直,則ABC,ACD與ADB面積之和的最大值為. 【解析】如圖所示,將四面體A-BCD置于一個長方體模型中,則該長方體外接球的半徑為2.不妨設(shè)AC=x,AD=y,AB=z,則有x2+y2+z22=2,即x2+y2+z2=16. 設(shè)S=SABC+SACD+SADB=12yz+12xy+12zx.從而有2(x2+y2+z2)-4S=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)20,即4S32,從而S8,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z

18、,即該長方體為正方體時等號成立.從而所求最大值為8.【答案】8四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(10分)在b1+b3=a2,a4=b4,S5=-25這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的k存在,求k的值;若k不存在,請說明理由.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,bn是等比數(shù)列,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得Sk>Sk+1且Sk+1<Sk+2? 注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分。【解析】因為在等比數(shù)列bn中,b2=3,b5=-81,所以其公比q=-3,從而bn=b2(-3)n-2

19、=3×(-3)n-2,從而a5=b1=-1.(法一)若存在k,使得Sk>Sk+1,即Sk>Sk+ak+1,則ak+1<0;同理,若使得Sk+1<Sk+2,即Sk+1<Sk+1+ak+2,則ak+2>0.若選,則由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以an=3n-16,當(dāng)k=4時,滿足a5<0,且a6>0成立;若選,則a4=b4=27,且a5=-1,所以數(shù)列an為遞減數(shù)列,故不存在k,使得ak+1<0,且ak+2>0;若選,則由S5=-25=5(a1+a5)2=5a3,解得a3=-5,從而an=2n-11,所以當(dāng)k=

20、4時,能使a5<0,且a6>0成立.(法二)若選,則由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以公差d=a5-a23=3,a1=a2-d=-13,從而Sn=a1n+n(n-1)2×d=12(3n2-29n).Sk>Sk+1,Sk+1<Sk+2(3k-29)k2>3(k+1)-29(k+1)2,3(k+1)-29(k+1)2<3(k+2)-29(k+2)2,解得103<k<133,又kN*,從而k=4滿足題意.若選與若選(仿上可解決,略).18.(12分)在ABC中,A=90°,點D在BC邊上,在平面ABC內(nèi),過D作DFB

21、C且DF=AC.(1)若D為BC的中點,且CDF的面積等于ABC的面積,求ABC;(2)若ABC=45°,且BD=3CD,求cosCFB.【解析】(1)如圖所示,D為BC的中點,所以BD=CD,又因為SABC=SCDF,即12AB×AC=12CD×DF=14BC×AC,所以BC=2AB,又A=90°,所以ACB=30°,所以ABC=90°-30°=60°.(2)因為ABC=45°,所以AB=AC,設(shè)AB=AC=k,則BC=2k.因為BD=3CD,所以BD=34BC=324k,CD=24k.因為D

22、F=AC=k,所以BF=DF2+BD2=344k,CF=DF2+CD2=324k.(法一)由余弦定理,得cosCFB=CF2+BF2-BC22CF×BF=98k2+178k2-2k22×324k×344k=51751.(法二)cosDFB=DFBF=23417,sinDFB=BDBF=31717,cosDFC=DFCF=223,sinDFC=CDCF=13,所以cosCFB=cos(CFD+DFB)=51751.19.(12分)如圖,四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為矩形,SA平面ABCD,E,F分別為AD,SC的中點,EF與平面ABCD所成的角為45°

23、;.(1)證明:EF為異面直線AD與SC的公垂線.(2)若EF=12BC,求二面角B-SC-D的余弦值.【解析】(1)連接AC,BD交于點G,連接EG,FG.因為四邊形ABCD為矩形,且E,F分別是AD,SC的中點,所以EGCD,且FGSA.又SA平面ABCD,所以GF平面ABCD,所以GFAD,又ADGE,GEGF=G,所以AD平面GEF,所以ADEF.因為EF與平面ABCD所成的角為45°,所以FEG=45°,從而GE=GF,所以SA=AB.取SB的中點H,連接AH,FH,因為F,H分別為SC,SB的中點,所以FH 12BCAE,從而四邊形AEFH為平行四邊形.由SA=

24、AB,知AHSB.因為BC平面SAB,所以AHBC,又SBBC=B,所以AH平面SBC.從而EF平面SBC.因為SC平面SBC,所以EFSC.綜上可知,EF為異面直線AD與SC的公垂線.(2)設(shè)BC=2,則EF=1,從而GE=GF=22,所以SA=AB=2.以A為坐標原點,AB,AD,AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則B(2,0,0),D(0,2,0),S(0,0,2),C(2,2,0).從而SC=(2,2,-2),BC=(0,2,0).設(shè)平面BCS的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1·SC=0,n1·BC=0,令z1=1,從而得n1=(1,

25、0,1).同理,可求得平面SCD的一個法向量為n2=(0,1,2).設(shè)二面角B-SC-D的平面角為,由圖可知二面角B-SC-D為鈍角,則cos =-|n1·n2|n1|n2|=-22×3=-33.20.(12分)下面給出了根據(jù)我國2012年2018年水果人均占有量y(單位:kg)和年份代碼x繪制的散點圖和線性回歸方程的殘差圖(2012年2018年的年份代碼x分別為17).(1)根據(jù)散點圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系;(2)根據(jù)散點圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計算得=1074, =4517,求y關(guān)于x的線性回歸方程;(3)根據(jù)線性回歸方程的殘差圖,分析線性回歸方程的擬合效果.(精確到0.01)附:

26、回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為 b=,a=y-bx-.【解析】(1)由散點圖可以看出,當(dāng)x由小變大時,y也由小變大,從而y與x之間是正相關(guān)關(guān)系.(2)由題中數(shù)據(jù)可得x-=17(1+2+3+4+5+6+7)=4,y-=10747,從而b=4517-7×17×1074×412+22+32+42+52+62+72-7×42=221287.89.a=y-bx-=10747-22128×4121.86,從而所求y關(guān)于x的線性回歸方程為y=7.89x+121.86. (3)由殘差圖可以看出,殘差對應(yīng)的點均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi),且

27、寬度較窄,說明擬合效果較好.21.(12分)設(shè)中心在原點,焦點在x軸上的橢圓E過點1,32,且離心率為32.F為E的右焦點,P為E上一點,PFx軸,F的半徑為PF.(1)求E和F的方程.(2)若直線l:y=k(x-3)(k>0)與F交于A,B兩點,與E交于C,D兩點,其中A,C在第一象限,是否存在k使|AC|=|BD|?若存在,求l的方程;若不存在,請說明理由.【解析】(1)設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由e=32,得34=e2=a2-b2a2=1-b2a2,從而b2a2=14,即a2=4b2.又橢圓過點1,32,從而得1a2+34b2=1,解得a2=

28、4,b2=1,從而所求橢圓E的方程為x24+y2=1.所以F(3,0),令x=3,得 |PF|=12=r,所以F的方程為(x-3)2+y2=14.(2)不存在,理由如下:若|AC|=|BD|,則1=|AB|=|AC|+|CB|=|DB|+|CB|=|DC|.聯(lián)立y=k(x-3),x24+y2=1,消去y并整理得(4k2+1)x2-83k2x+12k2-4=0,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=83k24k2+1,x1x2=12k2-44k2+1,從而|CD|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k283k24k2+12-4·12k2-4

29、4k2+1=4k2+44k2+1.由|CD|=1,得4k2+4=4k2+1,從而4=1,矛盾.故滿足題設(shè)條件的直線l不存在.22.(12分)函數(shù)f(x)=a+x1+x(x>0),曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線在y軸上的截距為112.(1)求a;(2)討論g(x)=x(f(x)2的單調(diào)性;(3)設(shè)a1=1,an+1=f(an),證明:2n-2|2ln an-ln 7|<1.【解析】(1)由題意知切點坐標為1,1+a2,對f(x)求導(dǎo),得f'(x)=1-a(1+x)2,從而f'(1)=1-a4.所以切線方程為y-1+a2=1-a4(x-1),令x=0,得11

30、2=1+a2-1-a4,解得a=7.(2)由(1)知f(x)=x+7x+1(x>0),從而g(x)=x·x+7x+12(x>0),對g(x)求導(dǎo),得g'(x)=(x+7)(x2-4x+7)(x+1)3>0,故g(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.(3)(法一)欲證2n-2|2ln an-ln 7|<1,即證2n-1|ln an-ln 7|<1,只需證ln an7<12n-1.不妨設(shè)bn=an7,由此可得bn+1=bn+77bn+1.因此,欲證ln an7<12n-1,只需證|ln bn|<12|ln bn-1|.由于不動點為1,下面研

31、究bn與不動點的大小關(guān)系:bn+1-1=bn+77bn+1-1=(1-7)(bn-1)7bn+1,即bn+1-1與bn-1是異號的.由于b1=17<1,故b2n-1<1,b2n>1.當(dāng)n為奇數(shù)時,|ln bn|<12|ln bn-1|,此時bn<1,bn-1>1,故只需證1bn<bn-1,即證bn>1bn-1,即證bn=bn-1+77bn-1+1>1bn-1.當(dāng)n為偶數(shù)時,欲證|ln bn|<12|ln bn-1|,此時bn>1,bn-1<1,故只需證bn<1bn-1,即證bn=bn-1+77bn-1+1<1b

32、n-1.那么等價證明不等式x+77x+1>1x(x>1)與x+77x+1<1x(0<x<1)成立.構(gòu)造函數(shù)g(x)=xx+7x-7x-1,則g(1)=0,g'(x)=32x+72x-737-7>7·7-7=0,則g(x)單調(diào)遞增,由此可得|ln bn|<12|ln bn-1|.因此,|ln bn|<12n-1|ln b1|=12n-1ln 7<12n-1lne2=12n-1.故不等式得證.(法二)令f(x)=x+7x+1=x,解得x=±7.從而an+1-7=(1-7)(an-7)an+1,an+1+7=(1+7)(an+7)an+1,作商,得