1、第八章 不完全信息靜態(tài)博弈這一章里我們討論不完全信息靜態(tài)博弈，也稱為貝葉斯博弈(Bayes)。不完全信息博弈中，至少有一個(gè)參與者不能確定另一參與者的收益函數(shù)。非完全信息靜態(tài)博的一個(gè)常見(jiàn)例子是密封報(bào)價(jià)拍賣(mài)(sealedbid auction)：每一報(bào)價(jià)方知道自己對(duì)所售商品的估價(jià)，但不知道任何其他報(bào)價(jià)方對(duì)商品的估價(jià)；各方的報(bào)價(jià)放在密封的信封里上交，從而參與者的行動(dòng)可以被看作是同時(shí)的。靜態(tài)貝葉斯博弈問(wèn)題的主要來(lái)源也是現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，許多靜態(tài)博弈關(guān)系都有不完全信息的特征，研究貝葉斯博弈不僅是完善博弈理論的需要，也是解決實(shí)際問(wèn)題的需要。8.1 靜態(tài)貝葉斯博弈和貝葉斯納什均衡為了更好的說(shuō)明不完全信息與完全信

2、息之間的差異，我們用一個(gè)典型靜態(tài)貝葉斯博弈作為例子，自然的引進(jìn)靜態(tài)貝葉斯博弈概念。8.1.1不完全信息古諾模型 考慮如下兩寡頭進(jìn)行同時(shí)決策的產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)模型。其中市場(chǎng)反需求函數(shù)由給出，這里為市場(chǎng)中的總產(chǎn)量。企業(yè)1的成本函數(shù)為，不過(guò)企業(yè)2的成本函數(shù)以的概率為，以的概率為，這里。并且信息是不對(duì)稱的：企業(yè)2知道自己的成本函數(shù)和企業(yè)1的成本函數(shù)，企業(yè)1知道自己的成本函數(shù)，但卻只知道企業(yè)2邊際成本為高的概率是，邊際成本為低的概率是(企業(yè)2可能是新進(jìn)入這一行業(yè)的企業(yè)，也可能剛剛發(fā)明一項(xiàng)新的生產(chǎn)技術(shù))。上述一切都是共同知識(shí)：企業(yè)1知道企業(yè)2享有信息優(yōu)勢(shì)，企業(yè)2知道企業(yè)1知道自己的信息優(yōu)勢(shì)，如此等等。現(xiàn)在我們來(lái)分

3、析這個(gè)靜態(tài)貝葉斯博弈。一般情況下，企業(yè)2的邊際成本較高時(shí)選擇較低的產(chǎn)量，邊際成本較低時(shí)，選擇較高的產(chǎn)量。企業(yè)1從自己的角度，會(huì)預(yù)測(cè)到企業(yè)2根據(jù)其成本情況將選擇不同的產(chǎn)量。設(shè)企業(yè)1的最佳產(chǎn)量選擇為，企業(yè)2 邊際成本為時(shí)的最佳產(chǎn)量選擇為，企業(yè)2 邊際成本為時(shí)的最佳產(chǎn)量選擇為，如果企業(yè)2的成本較高，它會(huì)選擇滿足：類似地，如果企業(yè)2的成本較低，應(yīng)滿足：從而，企業(yè)l為了使利潤(rùn)最大化，選擇應(yīng)滿足：三個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題的一階條件為：及 三個(gè)一階條件構(gòu)成的方程組的解為：及 把這里的、和與成本分別為和的完全信息古諾均衡相比較，假定和的取值可使得兩個(gè)企業(yè)的均衡產(chǎn)量都為正，在完全信息的條件下，企業(yè)的產(chǎn)出為。與之不同的，在

4、不完全信息條件下， 。之所以會(huì)出現(xiàn)這種情況，是因?yàn)槠髽I(yè)2不僅根據(jù)自己的成本調(diào)整其產(chǎn)出，同時(shí)還將考慮到企業(yè)l的情況選擇最優(yōu)反應(yīng)。如果企業(yè)2的成本較高，它就會(huì)因成本較高而減少產(chǎn)量，但同時(shí)又會(huì)生產(chǎn)稍多一些，因?yàn)樗榔髽I(yè)1將根據(jù)期望利潤(rùn)最大化的原則決定產(chǎn)出，從而要低于企業(yè)1確知企業(yè)2成本較高時(shí)的產(chǎn)量。8.1.2靜態(tài)貝葉斯博弈現(xiàn)在，我們要建立非完全信息同時(shí)行動(dòng)博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述，也稱為靜態(tài)貝葉斯博弈。首先要表示出非完全信息的關(guān)鍵因素，即每一參與者知道他自己的收益函數(shù)，但也許不能確知其他參與者的收益函數(shù)。令參與者i可能的收益函數(shù)表示為，其中稱為參與者i的類型（type），它屬于一個(gè)可能的類型集(亦稱為類型

5、空間(type pace)，每一類型都對(duì)應(yīng)著參與者i不同的收益函數(shù)的可能情況。作為具體的例子，考慮前面的的古諾博弈。企業(yè)的行動(dòng)是它們的產(chǎn)量選擇和。企業(yè)2有兩種可能的成本函數(shù)，從而有兩種可能的利潤(rùn)或收益函數(shù)：企業(yè)1只有一種可能的收益函數(shù)：我們說(shuō)企業(yè)2的類型空間為了，企業(yè)1的類型空間為了。在這樣定義參與者的類型之后，說(shuō)參與者i知道自己的收益函數(shù)也就等同于說(shuō)參與者i知道自己的類型，類似地，說(shuō)參與者i可能不確定其他參與者的收益函數(shù)，也就等同于說(shuō)參與者i不能確定其他參與者的類型，我們用表示其他參與者的類型。并用表示所有可能的值的集合，用概率)表示參與者在知道自己的類型是的前提下，對(duì)其他參與者類型的推斷，

6、即在自己的類型是的前提下，對(duì)其他參與者類型出現(xiàn)的條件概率。在完全信息靜態(tài)博弈的標(biāo)準(zhǔn)式的基礎(chǔ)上，增加類型和推斷兩個(gè)概念，得到靜態(tài)貝葉斯博弈的標(biāo)準(zhǔn)式概念。定義9.1 一個(gè)n人靜態(tài)貝葉斯博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表述包括：參與者的行動(dòng)空間和它們的類型空間，他們的推斷，以及他們的收益函數(shù)。參與者i的類型作為參與者i的私人信息，決定了參與者i的收益函數(shù)。參與者i的推斷描述了i在給定自己的類型時(shí)，對(duì)其他n1個(gè)參與者可能的類型的不確定性。我們用表示這一博弈。靜態(tài)貝葉斯博弈的一般表示法，對(duì)于由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象和建立靜態(tài)貝葉斯博弈模型，提供了思路和幫助，我們根據(jù)靜態(tài)貝葉斯博弈表達(dá)式中的幾個(gè)方面，來(lái)確定模型的主要內(nèi)容。不過(guò)最重要的

7、問(wèn)題是如何來(lái)分析問(wèn)題，那么用什么樣的方法來(lái)分析這類博弈呢？8.1.3海薩尼轉(zhuǎn)換信息的不完全使得博弈分析變的復(fù)雜，1967年以前，博弈論專家認(rèn)為這樣的不完全信息博弈是無(wú)法分析的，因?yàn)楫?dāng)一個(gè)參與人不知道在與誰(shuí)博弈時(shí)，博弈的規(guī)則是無(wú)效的。海薩尼（Harsanyi，1967-1968）提出了處理不完全信息博弈的方法，巧妙地引入一個(gè)“第三者”-自然，將復(fù)雜問(wèn)題的不完全信息博弈轉(zhuǎn)換為完全但不完美信息博弈，稱之為“海薩尼轉(zhuǎn)換”。海薩尼轉(zhuǎn)換的具體方法是：（1） 一個(gè)虛擬的參與人“自然”，自然首先決定參與人的類型，賦予各參與人的類型向量， 其中，；（2） 自然告知參與者i自己的類型，卻不告訴其他參與者的類型；（

8、3） 參與者同時(shí)選擇行動(dòng)，每一參與者i從可行集中選擇行動(dòng)方案；（4） 各方得到收益。借助于第一步和第二步中虛構(gòu)的參與者“自然”的行動(dòng)，我們可以把一個(gè)不完全信息的博弈表述為一個(gè)不完美信息的博弈。海薩尼轉(zhuǎn)換是處理不完全信息博弈的標(biāo)準(zhǔn)方法。8.1.4貝葉斯納什均衡靜態(tài)貝葉斯博弈轉(zhuǎn)化的都是兩階段有同時(shí)選擇的、特殊類型的不完美信息動(dòng)態(tài)博弈，對(duì)于這類博弈有專門(mén)的分析方法和均衡概念。為了定義貝葉斯納什均衡概念，首先定義此類博弈中參與者的戰(zhàn)略空間。動(dòng)態(tài)博弈中參與者的一個(gè)戰(zhàn)略是關(guān)于行動(dòng)的一個(gè)完整計(jì)劃，包括了參與者在可能會(huì)遇到的每一種情況下將選擇的可行行動(dòng)。在給定的靜態(tài)貝葉斯博弈的時(shí)間順序中，自然首先行動(dòng)，賦予每

9、一參與者各自的類型，參與者i的一個(gè)(純)戰(zhàn)略必須包括參與者i在每一可行的類型下選擇的一個(gè)可行行動(dòng)。定義如下：定義9.2 在靜態(tài)貝葉斯博弈中，參與者i的一個(gè)戰(zhàn)略是一個(gè)函數(shù)，其中對(duì)中的每一類型，包含了自然賦予i的類型為時(shí)，i將從可行集中中選擇的行動(dòng)。我們用不完全信息古諾模型來(lái)闡述戰(zhàn)略定義，從前面分析知道博弈的解由三個(gè)產(chǎn)量選擇組成：、和。用剛剛給出的關(guān)于戰(zhàn)略的定義，（，）就是企業(yè)2的戰(zhàn)略，是企業(yè)1的戰(zhàn)略，很容易想到企業(yè)2根據(jù)自己的成本情況會(huì)選擇不同的產(chǎn)量，但是還應(yīng)注意到的同樣重要的一點(diǎn)，是企業(yè)l在選擇產(chǎn)量時(shí)也應(yīng)同樣考慮企業(yè)2將根據(jù)不同的成本選擇不同的產(chǎn)量。從而，如果我們的均衡概念要求企業(yè)l的戰(zhàn)略是企

10、業(yè)2戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng)，則2的戰(zhàn)略必須是一對(duì)產(chǎn)量，分別對(duì)應(yīng)于兩種可能的成本類型，否則企業(yè)1就無(wú)法計(jì)算它的戰(zhàn)略是否確實(shí)是企業(yè)2戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng)，無(wú)法進(jìn)行博弈分析。給出貝葉斯博弈中關(guān)于戰(zhàn)略的定義之后，我們就可以定義貝葉斯納什均衡了。盡管定義中的符號(hào)十分復(fù)雜，但中心思路卻既簡(jiǎn)單又熟悉：每一參與者的戰(zhàn)略必須是其他參與者戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng)，亦即貝葉斯納什均衡實(shí)際上就是在貝葉斯博弈中的納什均衡。定義9.3 在靜態(tài)貝葉斯博弈中，戰(zhàn)略組合是一個(gè)純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡，如果對(duì)每一參與者i及對(duì)i的類型集中的每一，滿足定義中求最大值的和是對(duì)求和，即對(duì)其他參與人的各種可能的類型組合求和，“純策略”的意義與完全信息博弈相同。當(dāng)靜態(tài)

11、貝葉斯博弈中參與人的一個(gè)戰(zhàn)略組合是貝葉斯納什均衡時(shí)，沒(méi)有參與者愿意改變自己的戰(zhàn)略，即使這種改變只涉及一種類型下的一個(gè)行動(dòng)。 貝葉斯納什均衡是分析靜態(tài)貝葉斯博弈的核心概念，一個(gè)有限的靜態(tài)貝葉斯博弈(即博弈中n是有限的，并且和都是有限集)理論上存在貝葉斯納什均衡，包括采用混合戰(zhàn)略的情況。8.2 應(yīng)用舉例海薩尼(1973)提出這樣的一個(gè)結(jié)論：完全信息靜態(tài)博弈的混合戰(zhàn)略納什均衡，幾乎總是可以解釋為與之密切相關(guān)、存在少量不完全信息的博弈中的純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡。混合戰(zhàn)略納什均衡的重要特征，不是參與者以隨機(jī)地方法選擇一個(gè)戰(zhàn)略，而是參與者不能確定其他參與人的選擇，這種不確定性既可產(chǎn)生于隨機(jī)因素，又可能(更為

12、合理地)因?yàn)樯倭坎煌耆畔ⅲ缦旅娴睦印?.2.1混合策略和不完全信息前面所講的性別戰(zhàn)博弈，存在兩個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡(歌劇，歌劇)和(拳擊，拳擊)及一個(gè)混合戰(zhàn)略納什均衡，其中妻子以23的概率選擇歌劇，丈夫以23的概率選擇拳擊。圖9-1 性別戰(zhàn)現(xiàn)在假設(shè)盡管兩人已經(jīng)認(rèn)識(shí)了相當(dāng)一段時(shí)間，但不能完全肯定地把握對(duì)方的想法。假定如果雙方都選擇歌劇妻子的收益為，其中的值是妻子的私人信息，雙方都去觀看拳擊時(shí)丈夫的收益為，其中的值為丈夫的私人信息；和相互獨(dú)立，并服從0，x區(qū)間上的均勻分布，(和的值是指原博弈收益的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，我們可以認(rèn)為x是一個(gè)很小的正數(shù))。所有其他情況下的收益不變。表述為標(biāo)準(zhǔn)式則為：靜態(tài)貝葉斯

13、博弈中，行動(dòng)空間為=歌劇，拳擊，類型空間為，關(guān)于類型的推斷為對(duì)所有的和，收益情況如圖9-2。圖9-2 非完全信息性別戰(zhàn)我們構(gòu)建這個(gè)性別戰(zhàn)博弈的純戰(zhàn)略貝葉斯（Bayes）納什均衡。其中超過(guò)某臨界值w時(shí)妻子選擇歌劇，否則選擇拳擊；丈夫在超過(guò)某臨界值h時(shí)選擇拳擊，否則選擇歌劇。在這一均衡中，妻子以的概率選擇歌劇，丈夫則以的概率選擇拳擊。假設(shè)妻子和丈夫都采用上面所給出的戰(zhàn)略，對(duì)一個(gè)給定的x，我們計(jì)算相應(yīng)的w和h，以使雙方的戰(zhàn)略符合貝葉斯納什均衡的條件。給定丈夫的戰(zhàn)略，妻子選擇歌劇和選擇拳擊的期望收益分別為和從而，當(dāng)且僅當(dāng)，選擇歌劇是最優(yōu)的。同樣，假定妻子采用了臨界值w戰(zhàn)略，丈夫選擇拳擊和選擇歌劇的期望

14、收益分別為和所以，當(dāng)且僅當(dāng)，選擇拳擊是最優(yōu)的。解聯(lián)立方程組 得 解二次方程得 當(dāng)x趨于0時(shí)，該式的值趨于23。也就是說(shuō)，隨著不完全信息的消失，參與者在此不完全信息博弈純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡下的行動(dòng)趨于其在原完全信息博弈混合戰(zhàn)略納什均衡下的行動(dòng)。8.2.2暗標(biāo)拍賣(mài)我們用貝葉斯納什均衡的思想，來(lái)討論暗標(biāo)拍賣(mài)問(wèn)題。基本的暗標(biāo)拍賣(mài)規(guī)則是各投標(biāo)人密封標(biāo)書(shū)投標(biāo)，統(tǒng)一時(shí)間開(kāi)標(biāo)，標(biāo)價(jià)最高者中標(biāo)。如果出現(xiàn)標(biāo)價(jià)相同的情況，用拋硬幣或類似方法決定中標(biāo)者。假設(shè)有兩個(gè)投標(biāo)人，分別為1、2，投標(biāo)人i對(duì)商品的估價(jià)為即如果投標(biāo)人i付出價(jià)格p得到商品，則i的收益為。兩個(gè)投標(biāo)人的估價(jià)相互獨(dú)立，并服從0，1區(qū)間上的均勻分布。投標(biāo)價(jià)格

15、不能為負(fù)，且雙方同時(shí)給出各自的投標(biāo)價(jià)。出價(jià)較高的一方得到商品，并支付他報(bào)的價(jià)格；另一方的收益和支付都為0。投標(biāo)方是風(fēng)險(xiǎn)中性的，所有以上都是共同信息。 為把這一問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)式的靜態(tài)貝葉斯博弈，我們必須確定行動(dòng)空間、類型空間、推斷及收益函數(shù)。參與者i的行動(dòng)是給出一個(gè)非負(fù)的投標(biāo)價(jià)，其類型即他的估價(jià)(在抽象博弈中表示為，行動(dòng)空間，類型空間)。由于估價(jià)是相互獨(dú)立的，參與者i推斷服從0，1區(qū)間上的均勻分布，而不依賴于的值。最后，參與者i的收益函數(shù)為為推導(dǎo)這一博弈的貝葉斯納什均衡，我們首先建立參與者的戰(zhàn)略空間。在靜態(tài)貝葉斯博弈中，一個(gè)戰(zhàn)略是由類型到行動(dòng)的函數(shù)。參與者i的一個(gè)戰(zhàn)略為函數(shù)，據(jù)此可以決定i在每一種

16、類型(即對(duì)商品的估價(jià))下選擇的投標(biāo)價(jià)格。在貝葉斯納什均衡下，參與者1的戰(zhàn)略與參與者2的戰(zhàn)略互相是對(duì)方的最優(yōu)反應(yīng)。若戰(zhàn)略組合是貝葉斯納什均衡，那么每個(gè)類型，滿足 我們尋找該問(wèn)題的一組線性均衡解，即假設(shè)和都是線性函數(shù)。及，并據(jù)此對(duì)上式進(jìn)行簡(jiǎn)化。但應(yīng)注意我們不是限制了參與者的戰(zhàn)略空間，使之只包含了線性戰(zhàn)略；而是允許參與者任意地選擇戰(zhàn)略，而只看是否存在線性的均衡解。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)由于參與者的估價(jià)是均勻分布的，這樣的線性均衡解不僅存在。而且是惟一的。其結(jié)果為，也就是說(shuō)，每一參與者以其對(duì)商品估價(jià)的l2作為投標(biāo)價(jià)。這樣，一個(gè)投標(biāo)價(jià)格反映出投標(biāo)方在拍賣(mài)中遇到的最基本的得失權(quán)衡：投標(biāo)價(jià)格越高，中標(biāo)的可能性越大；投標(biāo)價(jià)格越低，一旦中標(biāo)所得的收益就越大。假設(shè)參與者j采取戰(zhàn)略，對(duì)一個(gè)給定的值，參與者i的最優(yōu)反應(yīng)為下式的解因?yàn)榉木鶆蚍植迹?服從均勻分布，。由于i的投標(biāo)價(jià)應(yīng)高于參與者j最低的可能投標(biāo)價(jià)格，否則沒(méi)有意義，同時(shí)應(yīng)低于j最高的可能投標(biāo)價(jià)格，我們有