1、二次根式的運算編稿：莊永春審稿：邵劍英責編：張楊一、目標認知(1)理解二次根式的乘法法則和積的算術平方根的性質及二次根式的除法法則和商的算術平方根的性 質，并能利用它們進行計算和化簡；(2)了解最簡二次根式的概念，能運用二次根式的有關性質進行化簡；(3)理解同類二次根式的概念和二次根式的加減法法則，會合并同類二次根式，進行簡單的二次根式加 減運算；(4)會利用運算律和運算法則進行二次根式的混合運算.(1)理解，及利用它們進行計算和化 簡；(2)理解，及利用它們進行計算和化簡；(3)最簡二次根式的運用；(4)合并同類二次根式；(5)二次根式的混合運算.(1)發現規律，歸納出二次根式的乘除法則；(

2、2)會判定一個二次根式是否是最簡二次根式，及二次根式的化簡二、知識要點梳理知識點一：二次根式的乘法法則：，即兩個二次根式相乘，根指數不變，只把被開方數相乘.要點詮釋：(1)在運用二次根式的乘法法則進行運算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負數；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負數)(2)該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運算：(3)若二次根式相乘的結果能寫成的形式，則應化簡，如.知識點二、積的算術平方根的性質，即積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積.要點詮釋：(1)在這個性質中，a、b可以是數，也可以是代數式，無論是數，還是代數式，都必須滿足才能用此式進行計算或化簡，

3、如果不滿足這個條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化簡關鍵是將被開方數分解因數，把含有形式的a移到根號外面.知識點三、二次根式的除法法則：，即兩個二次根式相除，根指數不變，把被開方數相除.要點詮釋：(1)在進行二次根式的除法運算時，對于公式中被開方數a、b的取值范圍應特別注意，其中，因為b在分母上，故b不能為0.(2)運用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運算結果要盡量化簡，最后結果中分母不能帶根號.知識點四、商的算術平方根的性質，即商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根.要點詮釋：運用次性質也可以進行二次根式的化簡，運用時仍要注意

4、符號問題.知識點五：最簡二次根式1.定義：當二次根式滿足以下兩條：(1)被開方數不含分母；(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.我們把符合這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.在二次根式的運算中，最后的結果必須化為最簡二次根式或有理式.要點詮釋：(1)最簡二次根式中被開方數不含分母；(2)最簡二次根式被開方數中每一個因數或因式的次數都小于根指數2，即每個因數或因式從次數只能 為1次.2.把二次根式化成最簡二次根式的一般步驟：(1)把根號下的代分數或絕對值大于1的數化成假分數，把絕對值小于1的小數化成分數；(2)被開方數是多項式的要進行因式分解；(3)使被開方數不含分母；(4)將被開方數

5、中能開得盡方的因數或因式，用它們的算術平方根代替后移到根號外；(5)化去分母中的根號；(6)約分.知識點六、同類二次根式1.定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式.要點詮釋：(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數是否 相同；(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數及根指數有關，而與根號外的因式無關.2.合并同類二次根式合并同類二次根式，只把系數相加減，根指數和被開方數不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似)要點詮釋：(1)根號外面的因式就是這個根式的系數；(

6、2)二次根式的系數是帶分數的要變成假分數的形式；(3)不是同類二次根式，不能合并.知識點七、二次根式的加減二次根式的加減實質就是合并同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結果中.在進行二次根式的加減運算時，整式加減運算中的交換律、結合律及去括號、添括號法則仍然適用.二次根式加減運算的步驟：(1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；(2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結合為一組；(3)合并同類二次根式.知識點八、二次根式的混合運算二次根式的混合運算是對二次根式的乘除及加減運算法則的綜合運用.要點詮釋：

7、(1)二次根式的混合運算順序與實數中的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算 括號里面的；(2)在實數運算和整式運算中的運算律和乘法公式在二次根式的運算中仍然適用；(3)二次根式混合運算的結果應寫成最簡形式，這個形式應是最簡二次根式，或幾個非同類最簡二次根 式之和或差，或是有理式.三、規律方法指導二次根式的運算，主要研究二次根式的乘除和加減.(1)二次根式的乘除，只需將被開方數進行乘除，其依據是：；(2)二次根式的加減類似于整式的加減，關鍵是合并同類二次根式.通常應先將二次根式化簡，再把同類二次根式合并.二次根式運算的結果應盡可能化簡.經典例題透析類型一、二次根式的乘除運算1、

8、計算(1)×； (2)×； (3)×； (4)×.思路點撥：直接利用計算即可解：(1)×=； (2)×=； (3)×=9；(4)×=.2、計算：(1)； (2)； (3)； (4).思路點撥：直接利用便可直接得出答案解：(1)=2； (2)=×2=2； (3)=2； (4)=2.3、化簡(1)； (2)； (3)； (4)； (5).思路點撥：利用直接化簡即可解：(1)=×=3×4=12； (2)=×=4×9=36； (3)=×=9×10=90；

9、 (4)=×=××=3xy；(5)=×=3.舉一反三【變式1】判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正確改正：=×=2×3=6；(2)不正確改正：×=×=4.4、化簡：(1)； (2)； (3)； (4).思路點撥：直接利用就可以達到化簡之目的解：(1)=； (2)=；(3)=； (4)=.舉一反三【變式1】已知，且x為偶數，求(1+x)的值思路點撥：式子=，只有a0，b0時才能成立 因此得到9-x0且x-60，即6x9

10、，又因為x為偶數，所以x=8解：由題意得，即6x9，x為偶數，x=8原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=當x=8時，原式的值=65、計算(1)·(-)÷(m0，n0)；(2)-3÷()× (a0).解：(1)原式=-÷=-=-；(2)原式=-2=-2=-a.類型二、最簡二次根式的判別6、下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？請說明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路點撥：判斷一個二次根式是不是最簡二次根式，就看它是否滿足最簡二次根式的兩個條件：(1)被開方數不含分母；(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或

11、因式；不滿足其中任何一條的二次根式都不是最簡二次根式.解：和都是最簡二次根式，其余的都不是，理由如下：的被開方數是小數，能寫成分數，含有分母；和的被開方數中都含有分母；和的被開方數中分別含有能開得盡方的因數和因式.總結升華：對于最簡二次根式的判斷，一定要把握其實質，既要注意其中的“似是而非”，還要注意其中的“似非而是”，特別象這樣的式子，帶有很大的隱蔽性，更應格外小心.7、把下列各式化成最簡二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路點撥：把被開方數分解因數或分解因式，再利用積的算術平方根的性質及進行化簡.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .類型三、同類二次根式8、如

12、果兩個最簡二次根式和是同類二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C.a=1，b=-1 D.a=1，b=1思路點撥：根據同類二次根式的識別方法，在最簡二次根式的前提下，被開方數相同.解：根據題意，得 解之，得，故選D.總結升華：同類二次根式必須滿足兩個條件：(1)根指數是2；(2)被開方數相同；由此可以得到關于a、b的二元一次方程組，此類問題都可如此.舉一反三【變式1】下列根式中，能夠與合并的是( )A. B. C. D.思路點撥：首先要把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式，然后比較它們的被開方數是否相同，如果相同，就能進行合并，反之，則不能合并.解：合并，故選

13、B.總結升華：同類二次根式的判斷，關鍵是能夠熟練準確地化二次根式為最簡二次根式.【變式2】若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值思路點撥：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同； 事實上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成 |b|·，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b解：首先把根式化為最簡二次根式：=|b|·由題意得，a=1，b=1.類型四、二次根式的加減運算9、計算(1)+ (2)-思路點撥：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)

14、-=4-8=(4-8)=-4總結升華：一定要注意二次根式的加減要做到先化簡，再合并.舉一反三【變式1】計算(1)3-9+3； (2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=+-=4+2+2-=6+；(3) (4) 【變式2】已知2.236，求(-)-(+)的值(結果精確到0.01)解：原式=4-=×0.45.類型五、二次根式的混合運算10、計算:(1)(+)×； (2)(4-3)÷2.思路點撥：二次根式仍然滿足整式的運算規律，所以直接可用整式的運算規律解：(1)(+)×=×

15、;+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、計算(1)(+6)(3-)； (2)(+)(-).思路點撥：二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.類型六、化簡求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值思路點撥：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3其次，根據二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同

16、類二次根式，最后代入求值解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 (2x-1)2+(y-3)2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 當x=，y=3時，原式=×+6=+3.舉一反三【變式1】先化簡，再求值(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，當x=，y=27時，原式=-=-.【變式2】已知=2-，其中a、b是實數，且a+b0，化簡+，并求值思路點撥：由于(+)(-)=1，因此對代數式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數的一元一次方程得到x的值，代入

17、化簡得結果即可解：原式=+=+=(x+1)+x-2+(x+1)+x+2=4x+2=2-b(x-b)=2ab-a(x-a)bx-b2=2ab-ax+a2(a+b)x=a2+2ab+b2(a+b)x=(a+b)2a+b0x=a+b原式=4x+2=4(a+b)+2.類型七、二次根式的應用與探究13、一個底面為30cm×30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現將一部分水倒入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米？解：設底面正方形鐵桶的底面邊長為x， 則x2×10=30×30×20，x2=30×

18、;30×2， x=×=30 答：鐵桶的底面邊長是30厘米.14、如圖所示的RtABC中，B=90°，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動問：幾秒后PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？(結果用最簡二次根式表示)思路點撥：設x秒后PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根據三角形面積公式就可以求出x的值解：設x 后PBQ的面積為35平方厘米則有PB=x，BQ=2x依題意，得：x·2x=35，x2=35，x=所以秒后PBQ的面積為35平方厘米PQ=5答：秒后P

19、BQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5厘米15、探究過程：觀察下列各式及其驗證過程(1)2=驗證：2=×= =(2)3=驗證：3=×=同理可得：45，通過上述探究你能猜測出： a=_(a0)，并驗證你的結論解：a=驗證：a=.總結升華：解答此類問題的特點是根據題目給出的條件，尋找內在聯系和一般規律，然后猜想所求問題的結果，有利于提高綜合分析能力.學習成果測評基礎達標一、選擇題1.下列根式是最簡二次根式的是（ ）A B C D2. 下列各式不是最簡二次根式的是（ ）A. B. C. D. 3.下列根式中，與是同類二次根式的為（ ）A B C D4.(江蘇省無錫市)下列各式中

20、，與是同類根式的是（ ）A B C D與是同類二次根式，則a=（ ）A1 B2 C D26. 下面說法正確的是（ ）A. 被開方數相同的二次根式一定是同類二次根式B. 與是同類二次根式C. 與不是同類二次根式D. 同類二次根式是根指數為2的根式7. 與不是同類二次根式的是（ ）A. B. C. D. 8. 若，則化簡的結果是（ ）A. B. C. 3 D. -39. 若，則的值等于（ ）A. 4 B. C. 2 D. 10.(遼寧省大連市) 計算的結果是（ ）A B2 C D1.411.(四川省攀枝花市) 下列計算中，正確的是（）A BC D12.(山東省東營市)下列計算正確的是( )A B=

21、1C D13. 下列式子中正確的是（ ）A. B. C. D. 二、填空題與根式是同類二次根式，則a = _.2. 計算：.3. 計算：.4.(廣東省) 化簡= _.5.(安徽省) 計算的結果是_.6.(南昌) 計算：_.7.(重慶市) 化簡： = _.8.計算：_.9.計算：=_.10.計算：，則.三、解答題1. 計算： 2. 計算： 3.計算：(1)； (2).能力提升一、選擇題1. 已知，化簡二次根式的正確結果為（ ）A. B. C. D. 2. 對于所有實數，下列等式總能成立的是（ ）A. B. C. D. 3. 和的大小關系是（ ）A. B. C. D. 不能確定4.(山東省濟南市)已知，則代數式的值為（ ）A B C D5.(山東省臨沂市) 計算的值為( ) A2 B