1、1.1 一個簡單例子證明存在兩個無理數，使是有理數1傳統證明方法是，假設對于任何兩個無理數，都有是無理數。那么就有一定是無理數，進而也是無理數，而是有理數，所以假設不成立而我們如果令，我們已知和都是無理數，此時是有理數，問題得證。上面這個問題中我們用到的第二種方法就是中學中常用的構造法。構造法的發展歷史到底什么是構造法呢？構造法就是按照固定方式，經過有限步驟能夠實現的方法。引用韋爾（H.Weyl）在數學的思維方式一文中的一句話“當數學家們轉向抽象時，有一件最為門外漢所不能理解的事情，那就是直覺的圖像必須被轉化為一種符號構造。”2這表明構造法從數學產生時就已經存在，因為數學發展所必須具備的數學符

2、號就是用來構造對象的。除此之外，數學最初的定義有很多都是構造性的定義，比如：將線段繞其一個端點在平面內旋轉一周，它的另一端點所畫出的圖形叫圓。構造法起源于數學之初，但它的發展是在19世紀末。19世紀末，克羅內克和龐加萊基于數學的可信性，提出了“存在必須是被構造的”觀點，創立了早期的直觀數學學派。但是他們把直觀數學推崇到極致，反對一切非構造性數學內容，搞得數學復雜難懂。隨后馬爾科夫提出算法數學，把一切數學概念歸結為一個基本概念算法的構造性方法。但是算法數學以遞歸函數為基礎，大部分人同樣難以理解。直到1867年美國數學家比肖泊發表構造性分析一書，擺脫了算法數學對遞歸函數的依賴，宣告現代構造數學的形

3、成。時至今日，構造法不僅開創了組合數學、計算機科學等新領域，而且在數值分析，拓撲學領域也大有用武之地。31.3 中學數學需要數學構造法除了高等數學，現在的中學階段對于構造法也是相當重視的。高中數學教學大綱中就明確規定了學習數學不僅包括數學內容，數學語言，更重要是數學思想、方法。 在高中數學解題過程里，我們常常會遇到無從下手、常規的方法不能快速、有效解決的問題，這時我們可以另辟蹊徑，利用這種特殊的數學方法嘗試解決問題構造法。運用構造法解題常常是因為我們常規思維定式探求解題思路受阻，這時我們根據題設特點，用已知元素和關系式構造一個新的數學形式，如：函數、方程、圖形等，這樣可以繞過阻礙，得到解題的思

4、路和方法。中學階段應用構造法時所需要構造的新的數學形式很多，包括構造圖形、構造方程、構造函數、構造數列、構造命題、構造向量類、構造特殊模型等。我們就上面七種構造形式來一一探究，熟悉構造法解題過程中運用的構造技巧，以及構造法解題的本質，對問題的化歸。代數是數字和文字的組合，但是這并不代表代數和圖形完全沒有關系，對于一些代數的問題，我們如果能通過途徑構造相應的圖形，此時解題過程便十分直觀、清晰。 已知求證：.4因為所以，證明：構造如圖的直角三角形，根據定理，三角形兩邊之和大于第三邊，所以，而，所以綜上所述，上面這個問題因為出現了形如的式子，所以我們想到構造一個直角三角形，如果題目中沒有給出這么明顯

5、的唯一特征，我們能不能構造呢？正數，滿足條件，求證：由求證的不等式，我們想到這是不是和面積有關，于是我們構造一個三角形，并且題干中證明：構造一個如圖的等邊三角形，其中各個邊角的關系如下，考慮圖形中的面積關系，有，又，帶入，得+<,整理得：.5上面得解題方法中利用了三角形的面積公式，不等式兩邊的都是，所以約掉，最后化簡到的形式。考慮到面積更為簡單的形式可以是長方形的面積，此時我們可以構造一個矩形，又，我們不妨構造一個如圖1.3的正方形.方法二，證明：構造一個如圖所示的正方形PQRT，其中各邊關系如下，又正方形有如下關系，帶入數據得。雖然數與形是數學中不同的領域，但是這兩個領域不是相互獨立的

6、。解題中亦是如此，如果在數學問題中我們給一些代數關系賦予幾何意義，那么問題往往變得形象、直觀。當然在利用圖形直觀分析解決問題時，我們構造的圖形也有簡單復雜之分，所以構造圖形時我們要注意一點，構造幾何圖形要有正確的思考方法，不能盲目去套用圖形。從上面兩個問題中我們可以簡單總結一下思考原則：首先尋找題目中的條件與所求結論中的幾何含義，然后考慮可以借用哪些有關的幾何概念和性質，最后根據這些選擇一個最好的幾何圖形。方程作為數學解題中一個很重要的工具，是因為方程能把未知和已知聯系在一起。遇到一些無從下手的問題時，構造方程可以把條件和結論之間聯系起來，使問題中隱藏的關系顯露出來，從而快速找到問題的突破口，

7、進而解決問題。例2.1 若，且，求證：題干中給出的是的具體值，要求的結論是的取值范圍，我們嘗試由出發，有，此時出現了要求的，但是多出來了，我們不妨利用方程，把解出來,這是和顯然是方程的兩個根，于是題目隱藏的關系暴露出來，解題思路也由此而生。證明：由，有，顯然，設，則構造二次方程，則為方程的兩個實根故，解得，即 上面的過程中構造了一個方程，然后我們要求的的取值范圍就變成了，二次方程有實根，解一個判別式大于等于零的不等式。例2.2 已知，滿足和，求證：中至少有一個不小于2。6和例2.1中類似，我們可以通過構造方程來發現隱藏的關系。證明：由，顯然中至少有個大于零，不妨設，則，構造二次方程，則為二次方

8、程的兩個實根，故，即，又，解得， 上面兩個問題都是通過構造二次方程，發現題目已知與結論之間的關系，然后利用二次方程的判別式解決問題。其實還有一種情況，題目中結論形式與二次方程的判別式極為相似，此時我們需要構造二次方程，從而使用二次方程的判別式。我們不妨把這類構造方程方法稱作構造判別式法。例2.3 設，且，這時要求證： 這個問題我們如果直接通過不等式方法去證明，難免會有些繁瑣，但是如果我們仔細思考不等式的形式，就會發現這和，即有類似之處，于是我們需要做得就是構造一個有實根的二次方程，因此解題思路就出現了。證明：構造方程因為，所以構造的方程是二次方程，又把帶入發現滿足方程，故為方程一實根，所以二次

9、方程判別式，代入數據，即有的時候，題干中不一定出現了判別式的形式，這時候要靠我們化簡來發現構造方程的前提。例2.4 設，求證：.7由于不等式中沒有出現判別式的形式，所以我們第一步需要構造一個判別式的形式，因為，所以我們在不等式兩邊同乘以，就出現了判別式的形式，解題思路便隨之而來。證明：因為，所以有，構造方程，方程經過配方，化簡為，顯然方程至多有一個實根，此時，代入數據，即也就是從這兩個例子中，我們看到構造判別式法其實也需要構造方程，只是這里構造二次方程有一定技巧，要結合結論要證明的不等式構造二次方程，還要確保二次方程有（或者沒有）實根。無論是一般的構造方程法還是特殊的構造判別式法，我們主體思路

10、就是利用方程思想把題目中要證明的未知結論和題干中已知結合起來，如果是二次方程，一般利用判別式進行解答。函數作為中學階段最重要的一個領域之一，是因為數學中存在大量的函數關系。如果我們研究的問題本質上屬于函數關系，那么我們可以構造一個（或多個）由已知條件構成的函數模型，通過研究函數的性質，進而解決要求的結論。例3.1 求證：這是個帶有絕對值的不等式，但是如果真的直接利用絕對值性質去證明，短時間內也無法下手。我們不妨整體把握，發現不等式中有一個我們常見的基本函數模型的身影，即，于是我們的解題思路就從的性質出發。證明：構造函數，同時，易知在上是遞增的，因為，所以，即上面構造函數之后利用了函數的單調性來

11、證明不等式，當然我們有時候還需要利用函數的其他性質。例 3.2 解方程 8解這個復雜的方程看似無從下手，但注意到方程中與有相同的結構，我們構造函數，則原方程就轉化為了，這時我們想到只要函數為奇函數且單調，此題就可以快速解決，于是我們要研究的就是的單調性和奇偶性。解：構造函數，原方程化為顯然，為奇函數下面證明具有單調性：設（1） 若，則所以 （2） 若，因為，所以，又，所以 （3） 若，顯然有，所以 由（1）（2）（3）可知，在上是單調遞增的函數，所以原方程等價于即 ，解得 上面的例子中，我們觀察題目中的形式共同點，然后構造了一個基本函數，然后通過研究這個函數單調性或奇偶性，來完成對結論的證明。

12、還有一些特殊情況，我們成功構造函數后，利用的并不是函數單調性或是奇偶性，而是根據恒等式性質來完成結論的證明。我們可以把這種特殊的構造函數法稱作構造恒等式法，下面兩個問題的解答就是利用了構造恒等式法。 已知是互不相等的實數，求證：如果把式子左邊展開來證，顯然是非常復雜繁瑣的，注意到互不相等這一特點，我們可以構造一個函數證明這個問題。證明：構造函數由互不相等知，也互不相等，顯然是關于的不超過二次的函數，而，即恒成立也就是恒成立同樣的問題：已知是互不相等的實數，求證：和例3.3一樣，直接展開左式來證是十分復雜的，我們還是構造一個函數來證明結論，不過這次構造的函數需要一些技巧，要綜合式子左右兩邊來考慮

13、構造的函數。證明：構造一個函數，顯然是關于的不超過二次的函數，對于，帶入函數，有，故恒成立即恒成立令，帶入上式，得綜合構造恒等式法，我們把構造函數法所應用的地方加以擴展，包括：不等式證明，方程的求解，以及恒等式的證明。運用構造方程法我們必須要做的是根據題目中給出的形式共同點，需找其函數本質，然后構造函數，對函數的性質（單調性，奇偶性，特殊的如恒等性）進行研究，以獲得解答最終問題的所需的目的性質。細數最近幾年高考有關數列的綜合問題，一般考察數列問題所給出的數列不會是一般的等差、等比數列，這時候需要我們根據題目要求，構造出一個特殊數列（等差數列、等比數列、常數列或者是單調數列），9利用這些數列的性

14、質，來解決有關計算或證明。 設，證明：拿到問題，第一時間想到的是，這個問題和上面提到的構造函數法有雷同地方。但是數列和函數是有區別的，我們這時候可以構造兩個數列，通過單調性來考慮證明最后的不等式。證明：構造數列，因為，即為遞增數列且，故，即，也就是再構造數列，即為遞減數列，且故，即，也就是綜上可知，當然，構造數列法不僅僅局限為數列問題中，除了在數列問題里構造一個新數列，一些與自然數有關的問題，我們也是可以通過數列（數組）來求解的。例4.2 已知為兩兩各不相同的正整數，證明：為正整數，這和不等式右邊的有相似之處，我們可以通過構造一個數列，來將左右兩邊聯系起來。證明：構造兩個數列：，由柯西不等式，

15、有又題目中有，為兩兩各不相同的正整數，所以的一個最小取法為：，反過來，的一個最大取法為：即綜合柯西不等式，知由這個問題，我們看到與自然可數有關的問題，是可以通過構造數列來簡化形式的。和構造函數相似，最終都是通過研究數列的性質，來完成求解或證明。在解答數學問題時，如果缺乏現成的依據，使我們不能從條件簡單迅速得到結論，那么我們不妨構造一個與原命題基本等價的輔助命題，這樣只要輔助命題得證，原命題自然得證，一般把這種方法稱作構造輔助命題法。例5.1 設，且，求證：10要證明，即要證，因為， 所以，而條件中，有，即這是我們根據條件能夠完成的步驟，這距離結論還有，我們是不是可以分兩步來證明。若能證明，則必

16、有，若還能證明，則必有，由此命題得證。證明：構造一個待證的輔助命題：若，證明：，且任何自然數均可表示為1、若，則于是他們都不是7的整數倍，即，2、若，則于是，同樣不是7的整數倍，即，3、若，則于是，同樣都不是7的整數倍，即，4、若，則于是，也都不是7的整數倍，即，綜上，我們輔助命題得到證明，。再由題目知， 所以，而條件中，有，即，輔助命題中我們證明了，因此也就是我們對于一些運用數學歸納法證明的結論，在從這一步驟時往往需要利用放縮來從等式轉化到不等式，但是存在的問題就是，題目中沒有給我們放縮的條件，也就是不等式沒有上限或者下限，這時我們就要考慮是不是題目的結論太弱了，我們可不可以構造一個命題的加

17、強命題。所謂一個命題的加強命題，是指它的結論是原命題結論的充分條件。我們可能存在一個思維定勢，一個命題的加強命題不是應該比這個命題更難解決嗎?一般是這樣，但有時也并非如此。例 5.2 設，定義，求證：對于一切，有因為，則，但若利用數學歸納法證明，設當，則很難推出，因為，我們僅從是不能求出大于多少的，但是如果原來小于一個數，那么由我們就可以知道大于多少了。又，于是我們構造一個加強命題：對于一切，有，這樣就可以用數學歸納法來解決了。證明：我們構造一個加強命題：設，定義，求證：對于一切，有我們利用數學歸納法來證明加強命題：（1）當時，由知，所以當時命題成立（2）假設當時，有成立，則當時，還有，所以時

18、命題也成立由（1）（2）知對于一切，有成立加強命題得證，同樣原命題也得證向量有其幾何意義，但又有著代數的運算性質，所以它注定是幾何和代數之間的橋梁，這也是向量最近幾年在中學崛起的原因。向量不僅在解析幾何、立體幾何中的重要作用，有些看似與向量無關的問題，也可以通過構造向量來解決。引入向量我們可以通過其幾何意義或者運算性質，將問題化繁為簡，看清問題的本質，迅速解決問題。 已知函數的最大值為，最小值為，求的值拿到這一道題的一般解法應該是平方法，這樣一來將這個函數轉化為的形式，然后研究復合函數的內層函數在定義域上性質，求出最大值和最小值。這里涉及到是函數最值問題，看似與向量無關，但是仔細觀察函數的解析

19、式，我們能不能通過向量的坐標形式把解析式簡化呢？于是我們可以構造兩個向量，原來的解析式化簡為，我們要求的就是，思路很清楚了，就是利用數形結合思想來解決問題。解：構造兩個向量，原來的解析式化簡為，又， ，帶入解析式得到，我們根據向量的幾何意義及特點，知道表示的是半徑為2的圓，于是得到圖形6.1：當時，當時，所以要求的除了運用到向量的坐標表示，很多時候我們還需要用到向量的一個重要性質：例 6.2 已知，并且，求證：我們由已知 （1）化簡得即 （2）從（1）（2）兩個等式我們發現可以組合為結論所需的形式，于是我們構造兩個向量，然后利用向量的性質，問題迎刃而解。證明：由已知可得構造向量，由，那么帶入得

20、即，故這類問題的解題步驟，一般是構造向量，然后利用向量的性質解決問題。其實復數也有類似性質，又因為復數在幾何意義和代數運算上與向量有很多相似之處，所以我們把構造復數法并入構造向量法中，統稱為構造向量類。例 6.3 設，且，求證：11顯然這個問題直接平方來做會有一定的運算量，我們如果能夠巧妙構造兩個復數那么是不是能使問題迅速解決呢？又問題中與復數的模形式類似，于是我們構造的復數為，這樣一來，答案很容易得到。證明：構造兩個復數，則由，帶入得即也就是結論得證2.7 構造特殊模型其實以上所有構造法都可以視作構造模型，比如構造圖形模型，構造函數模型，構造方程模型等。下面介紹兩個特殊的模型，通過構造特殊模

21、型，我們把抽象的純數學問題巧妙轉換為易解的實際問題。 已知是正整數，求滿足的正整數解的對數關于不定方程解的個數是大學組合數學里涉及的內容，但是在高中數學里我們完全可以通過構造模球、放球、插空等模型來解決這類問題。解：方程的解可以轉化為這樣的模型：有9個完全相同的球，放入4個盒子內，要求每個盒子內必須有球，有多少種不同放法？為了求這種模型的放法，我們再次構造模型：有9個完全相同的球并排放置，我們需要插5個空，每兩個空之間球的個數代分別表4個盒子中球的個數。12其中A，B兩個空必須選中，所以就相當于從剩下的8個空里選取3個空于是這種插空法就共有種，也就是我們的答案，滿足的正整數解的對數有對例 7.2 的三個內角都是的整數倍，且三個內角不全相等，這樣的三角形有多少個？由三角形內角和為，