1、2.22.2用樣本估計總體用樣本估計總體2.2.12.2.1用樣本的頻率分布估計總體分布用樣本的頻率分布估計總體分布 目標導航目標導航 課標要求課標要求1.1.體會分布的意義和作用體會分布的意義和作用. .2.2.掌握列頻率分布表掌握列頻率分布表, ,畫頻率分布直方圖、頻率分畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖的方法布折線圖、莖葉圖的方法, ,體會它們各自的特點體會它們各自的特點. .3.3.體會用樣本估計總體的思想體會用樣本估計總體的思想, ,會用樣本的頻率分會用樣本的頻率分布估計總體分布布估計總體分布. .4.4.能夠利用圖表解決實際問題能夠利用圖表解決實際問題. .素養達成素養達成通

2、過用樣本的頻率分布估計總體分布的學習通過用樣本的頻率分布估計總體分布的學習, ,逐步逐步提升學生的數學運算、直觀想象、數據分析等數學提升學生的數學運算、直觀想象、數據分析等數學核心素養核心素養. .新知導學新知導學素養養成素養養成1.1.用樣本估計總體用樣本估計總體用樣本的用樣本的 估計總體的分布估計總體的分布. .2.2.數據分析的根本方法數據分析的根本方法(1)(1)借助于圖形借助于圖形分析數據的一種根本方法是用圖將它們畫出來分析數據的一種根本方法是用圖將它們畫出來, ,此法可以到達兩個目的此法可以到達兩個目的, ,一是從數據中一是從數據中 , ,二是利用圖形二是利用圖形 . .(2)(2

3、)借助于表格借助于表格分析數據的另一方法是用緊湊的表格改變數據的排列方式分析數據的另一方法是用緊湊的表格改變數據的排列方式, ,此法是通過此法是通過改變數據的改變數據的 , ,為我們提供解釋數據的新方式為我們提供解釋數據的新方式. .頻率分布頻率分布提取信息提取信息傳遞信息傳遞信息構成形式構成形式3.3.作頻率分布直方圖的步驟作頻率分布直方圖的步驟(1)(1)求極差求極差: :即一組數據中即一組數據中 和和 的差的差; ;(2)(2)決定組距與組數決定組距與組數: :將數據分組時將數據分組時, ,組數應力求適宜組數應力求適宜, ,以使數據的分布以使數據的分布規律能較清楚地呈現出來規律能較清楚地

4、呈現出來. .這時應注意這時應注意: :一般樣本容量越大一般樣本容量越大, ,所分組所分組數數 ; ;為方便起見為方便起見, ,組距的選擇應力求組距的選擇應力求“取整取整; ;當樣本容當樣本容量不超過量不超過100100時時, ,按照數據的多少按照數據的多少, ,通常分成通常分成5 51212組組. .(3)(3)將數據分組將數據分組: :按組距將數據按組距將數據 , ,分組時分組時, ,各組均為左閉右開各組均為左閉右開區間區間, ,最后一組是閉區間最后一組是閉區間. .最大值最大值最小值最小值越多越多分組分組(4)(4) : :一般分四列一般分四列: :分組、頻數累計、頻數、頻率分組、頻數累

5、計、頻數、頻率, ,最后最后一行是合計一行是合計. .其中頻數合計應是樣本容量其中頻數合計應是樣本容量, ,各組內頻率各組內頻率= ,= ,頻率頻率合計是合計是1.1.小組頻數樣本容量列頻率分布表列頻率分布表思考思考1:1:我們初中學過的頻數分布圖和頻數分布表能清楚地知道數據分我們初中學過的頻數分布圖和頻數分布表能清楚地知道數據分布在各個小組的個數布在各個小組的個數, ,那么如何刻畫各個小組數據在樣本容量中所占的那么如何刻畫各個小組數據在樣本容量中所占的比例大小呢比例大小呢? ?答案答案: :利用頻率分布表和頻率分布直方圖利用頻率分布表和頻率分布直方圖. .思考思考2:2:將數據的樣本進展分組

6、的目的是什么將數據的樣本進展分組的目的是什么? ?答案答案: :從樣本中的一個個數字中很難直接看出樣本所包含的信息從樣本中的一個個數字中很難直接看出樣本所包含的信息, ,通過通過分組分組, ,并計算其頻率并計算其頻率, ,目的是通過描述樣本數據分布的特征估計總體的目的是通過描述樣本數據分布的特征估計總體的分布情況分布情況. .頻率組距4.4.頻率分布折線圖和總體密度曲線頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)(1)頻率分布折線圖頻率分布折線圖連接頻率分布直方圖中各小長方形連接頻率分布直方圖中各小長方形 , ,就得到頻率分布折線圖就得到頻率分布折線圖. .(2)(2)隨著樣本容量的增加隨著樣本容量的增

7、加, ,作圖時所分的作圖時所分的 增加增加, ,組距減小組距減小, ,相應的相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線, ,統計中稱這條光滑曲線為總體統計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線密度曲線, ,它反映了總體在各個范圍內取值的百分比它反映了總體在各個范圍內取值的百分比. .5.5.莖葉圖莖葉圖(1)(1)莖葉圖的適用范圍莖葉圖的適用范圍在樣本數據較在樣本數據較 時時, ,用莖葉圖表示數據的效果較好用莖葉圖表示數據的效果較好. .上端的中點上端的中點組數組數少少(2)(2)莖葉圖的優點莖葉圖的優點它不但可以保存所有信息它不但可以保存所有信息, ,而且可以隨時

8、記錄而且可以隨時記錄, ,這對數據的記錄和表示都這對數據的記錄和表示都能帶來方便能帶來方便. .(3)(3)莖葉圖的缺點莖葉圖的缺點當樣本數據較當樣本數據較 時時, ,枝葉就會很長枝葉就會很長, ,莖葉圖就顯得不太方便莖葉圖就顯得不太方便. .多多名師點津名師點津(1)(1)四種圖表的區別四種圖表的區別名稱名稱區別區別頻率頻率分布表分布表從數量上比較準確地反映樣本的頻率分布規律從數量上比較準確地反映樣本的頻率分布規律頻率分布頻率分布直方圖直方圖反映樣本的頻率分布情況反映樣本的頻率分布情況頻率分布頻率分布折線圖折線圖直觀地反映了數據的變化趨勢直觀地反映了數據的變化趨勢總體密總體密度曲線度曲線雖客

9、觀存在雖客觀存在, ,但要準確畫出難度較大但要準確畫出難度較大, ,只能用樣只能用樣本頻率分布估計本頻率分布估計, ,樣本容量越大樣本容量越大, ,估計越準確估計越準確(2)(2)四種圖表之間的聯系四種圖表之間的聯系(3)(3)莖葉圖的思路是將數組中的數按位數進展比較莖葉圖的思路是將數組中的數按位數進展比較, ,將高位數字作為將高位數字作為一個主干一個主干( (莖莖),),將低位數字作為分枝將低位數字作為分枝( (葉葉),),列在主干的一側列在主干的一側, ,這樣就可這樣就可以清楚地看到每個主干后面有幾個數以清楚地看到每個主干后面有幾個數, ,每個數具體是多少每個數具體是多少. .課堂探究課堂

10、探究素養提升素養提升題型一頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制題型一頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制 例例1 1 下面給出某單位職工的年齡下面給出某單位職工的年齡: :57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60

11、,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48.64,46,54,48.(1)(1)將數據進展適當地分組將數據進展適當地分組, ,并畫出相應的頻率分布直方圖并畫出相應的頻率分布直方圖; ;解解: :(1)(1)年齡分組年齡分組頻數頻數頻率頻率40,45)40,45)2 20.0450.04545,50)45,50)7 70.160.1650,55)50,55)13130.2950.29555,60)55,60)12120.270.2760,65)60,65)7 70.160.1665,7065,703 30.070.07合計合計44441.001.00頻率分布直方圖如下圖頻

12、率分布直方圖如下圖. .(2)(2)請你描述一下單位職工的年齡分布情況請你描述一下單位職工的年齡分布情況. .解解: :(2)(2)從頻率分布表中可以看出從頻率分布表中可以看出, ,一半以上的職工年齡在一半以上的職工年齡在50,60)50,60)歲歲之間之間,45,45歲以下及歲以下及6565歲以上所占的比例相對較小歲以上所占的比例相對較小.(.(答案不唯一答案不唯一) )方法技巧方法技巧頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟: :第一步第一步, ,求極差求極差; ;第二步第二步, ,確定組距與組數確定組距與組數; ;第三步第三步, ,分組分組; ;第四步第四

13、步, ,列頻率分布表列頻率分布表; ;第五步第五步, ,繪制頻率分布直方圖繪制頻率分布直方圖. .即時訓練即時訓練1-1:1-1:某班英語考試得分情況如下某班英語考試得分情況如下: :考試考試成績成績/ /分分50,60)50,60)60,70)60,70)70,80)70,80)80,90)80,90)90,10090,100合合計計人數人數5 51111171711116 65050(1)(1)試列出頻率分布表試列出頻率分布表; ;解解: :(1)(1)分組分組頻數累計頻數累計頻數頻數頻率頻率50,60)50,60)60,70)60,70)70,80)70,80)80,90)80,90)9

14、0,10090,100正正正正一正正一正正正正正正正正一正正一正一正一5 51111171711116 60.100.100.220.220.340.340.220.220.120.12合計合計50501 1解解: :(2)(2)(2)(2)畫出頻率分布直方圖畫出頻率分布直方圖. .題型二頻率分布直方圖的應用題型二頻率分布直方圖的應用 例例2 (20212 (2021四川卷四川卷) )我國是世界上嚴重缺水的國家我國是世界上嚴重缺水的國家, ,某市政府為了鼓勵某市政府為了鼓勵居民節約用水居民節約用水, ,方案調整居民生活用水收費方案方案調整居民生活用水收費方案, ,擬確定一個合理的月用水擬確定一

15、個合理的月用水量標準量標準x(x(噸噸),),一位居民的月用水量不超過一位居民的月用水量不超過x x的局部按平價收費的局部按平價收費, ,超出超出x x的局的局部按議價收費部按議價收費. .為了了解居民用水情況為了了解居民用水情況, ,通過抽樣通過抽樣, ,獲得了某年獲得了某年100100位居民每位居民每人的月均用水量人的月均用水量( (單位單位: :噸噸),),將數據按照將數據按照0,0.5),0.5,1),4,4.50,0.5),0.5,1),4,4.5分分成成9 9組組, ,制成了如下圖的頻率分布直方圖制成了如下圖的頻率分布直方圖. .解解: :(1)(1)由頻率分布直方圖知由頻率分布直

16、方圖知, ,月均用水量在月均用水量在0,0.5)0,0.5)中的頻率為中的頻率為0.080.080.5=0.04,0.5=0.04,同理同理, ,在在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.50.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5中的頻率分別為中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由由0.04+0.08+0.50.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0

17、.02=1,a+0.06+0.04+0.02=1,解得解得a=0.30.a=0.30.(2)(2)由由(1),100(1),100位居民每人月均用水量不低于位居民每人月均用水量不低于3 3噸的頻率為噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.0.06+0.04+0.02=0.12.由樣本的頻率分布由樣本的頻率分布, ,可以估計全市可以估計全市3030萬居民中月均用水量不低于萬居民中月均用水量不低于3 3噸的人數為噸的人數為300 000300 0000.12=36 000.0.12=36 000.(1)(1)求直方圖中求直方圖中a a的值的值; ;(2)(2)設該市有設該市有3030萬居

18、民萬居民, ,估計全市居民中月均用水量不低于估計全市居民中月均用水量不低于3 3噸的人數噸的人數, ,并說明理由并說明理由; ;解解: :(3)(3)因為前因為前6 6組的頻率之和為組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880.85,0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880.85,而前而前5 5組的頻率之和為組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85,0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85,所以所以2.5x3.2.5x3.由由0.30.3(x-2.5)=0.8

19、5-0.73,(x-2.5)=0.85-0.73,解得解得x=2.9.x=2.9.所以所以, ,估計月用水量標準為噸時估計月用水量標準為噸時,85%,85%的居民每月的用水量不超過標準的居民每月的用水量不超過標準. .(3)(3)假設該市政府希望使假設該市政府希望使85%85%的居民每月的用水量不超過標準的居民每月的用水量不超過標準x(x(噸噸),),估計估計x x的值的值, ,并說明理由并說明理由. .方法技巧方法技巧(1)(1)頻率分布直方圖中頻率分布直方圖中, ,所有小長方形面積之和為所有小長方形面積之和為1.1.(2)(2)根據頻率分布直方圖求樣本落在某一區間的頻數時根據頻率分布直方圖

20、求樣本落在某一區間的頻數時, ,需先求該區需先求該區間的頻率間的頻率. .(3)(3)此題中此題中, ,求求85%85%的居民用水量時的居民用水量時, ,利用了比例法利用了比例法, ,這也是求解頻率分這也是求解頻率分布直方圖中非端點值時常用的方法布直方圖中非端點值時常用的方法. .題型三頻率分布折線圖與總體密度曲線題型三頻率分布折線圖與總體密度曲線 例例33 有一容量為有一容量為200200的樣本的樣本, ,數據的分組以及各組的頻數如下數據的分組以及各組的頻數如下: :-20,-15),7;-15,-10),11;-10,-5),15;-5,0),40;0,5),49;-20,-15),7;-

21、15,-10),11;-10,-5),15;-5,0),40;0,5),49;5,10),41;10,15),20;15,20),175,10),41;10,15),20;15,20),17(1)(1)列出樣本的頻率分布表列出樣本的頻率分布表; ;解解: :(1)(1)頻率分布表如下頻率分布表如下: :分組分組頻數頻數頻率頻率-20,-15)-20,-15)7 70.0350.035-15,-10)-15,-10)11110.0550.055-10,-5)-10,-5)15150.0750.075-5,0)-5,0)40400.20.20,5)0,5)49490.2450.2455,10)5,

22、10)41410.2050.20510,15)10,15)20200.10.115,20)15,20)17170.0850.085合計合計2002001 1解解:(2):(2)頻率分布直方圖和折線圖頻率分布直方圖和折線圖, ,如下圖如下圖. .(2)(2)畫出頻率分布直方圖和折線圖畫出頻率分布直方圖和折線圖; ;(3)(3)求樣本數據缺乏求樣本數據缺乏0 0的頻率的頻率. .(3)(3)樣本數據缺乏樣本數據缺乏0 0的頻率為的頻率為0.035+0.055+0.075+0.2=0.365.0.035+0.055+0.075+0.2=0.365.方法技巧方法技巧(1)(1)頻率分布折線圖與橫軸相連

23、頻率分布折線圖與橫軸相連, ,是為了看圖方便是為了看圖方便, ,橫軸上的左右兩端橫軸上的左右兩端點沒有實際的意義點沒有實際的意義; ;(2)(2)頻率分布折線圖反映了數據的變化趨勢頻率分布折線圖反映了數據的變化趨勢, ,可用來對數據進展估計和可用來對數據進展估計和預測預測; ;(3)(3)如果樣本容量不斷增加如果樣本容量不斷增加, ,分組的組距不斷縮小分組的組距不斷縮小, ,那么折線圖就趨向那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線于總體分布的密度曲線. .即時訓練即時訓練3-1:3-1:甲、乙兩個城市甲、乙兩個城市20212021年年4 4月中旬月中旬, ,每天的最高氣溫統計圖如每天的最高氣溫統計

24、圖如下圖下圖, ,這這9 9天里天里, ,氣溫比較穩定的城市是氣溫比較穩定的城市是. . 解析解析: :從折線統計圖中可以很清楚地看到乙城市的氣溫變化較大從折線統計圖中可以很清楚地看到乙城市的氣溫變化較大, ,而甲而甲城市的氣溫相對來說較穩定城市的氣溫相對來說較穩定, ,變化根本不大變化根本不大. .答案答案: :甲甲題型四莖葉圖的畫法及應用題型四莖葉圖的畫法及應用 例例44 有關部門從甲、乙兩個城市所有的自動售貨機中隨機抽取了有關部門從甲、乙兩個城市所有的自動售貨機中隨機抽取了1616臺臺, ,記錄了上午記錄了上午8:008:0011:0011:00之間各自的銷售情況之間各自的銷售情況( (

25、單位單位: :元元):):甲甲:18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41;:18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41;乙乙:22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.:22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.試用條形統計圖及莖葉圖表示上面的數據試用條形統計圖及莖葉圖表示上面的數據, ,并簡要說明各自的優點并簡要說明各自的優點. .解解: :從題目中的數據不易直接看出各自的分布情況從題目中的數

26、據不易直接看出各自的分布情況, ,為此我們將以上數為此我們將以上數據用條形統計圖表示據用條形統計圖表示, ,如圖如圖. .畫莖葉圖如圖畫莖葉圖如圖,“,“莖表示甲、乙銷售額的十位數莖表示甲、乙銷售額的十位數, ,兩邊的兩邊的“葉表示葉表示甲、乙銷售額的個位數甲、乙銷售額的個位數. .可以看出條形統計圖能直觀地反映數據分布的大致情況可以看出條形統計圖能直觀地反映數據分布的大致情況, ,并且能夠清并且能夠清晰地表示出各個區間的具體數目晰地表示出各個區間的具體數目; ;用莖葉圖表示有關數據用莖葉圖表示有關數據, ,對數據的記對數據的記錄和表示都帶來方便錄和表示都帶來方便. .誤區警示誤區警示繪制莖葉

27、圖的本卷須知繪制莖葉圖的本卷須知(1)(1)繪制莖葉圖關鍵是分清莖和葉繪制莖葉圖關鍵是分清莖和葉. .一般地說一般地說, ,當數據是兩位數時當數據是兩位數時, ,十位十位上的數字為上的數字為“莖莖, ,個位上的數字為個位上的數字為“葉葉; ;如果是小數如果是小數, ,通常把整數通常把整數局部作為局部作為“莖莖, ,小數局部作為小數局部作為“葉葉. .解題時要根據數據的特點合理解題時要根據數據的特點合理地選擇莖和葉地選擇莖和葉. .(2)(2)莖葉圖只適用于樣本數據較少的情況莖葉圖只適用于樣本數據較少的情況. .即時訓練即時訓練4-14-1:(1):(1)給出某人給出某人1414個月的收入如下個

28、月的收入如下( (單位單位: :萬元萬元):):9.3,8.7,6.9,8.5,8.1,7.5,8.4,8.6,10.9,12.1,13.0,13.1,14.5,15.6,9.3,8.7,6.9,8.5,8.1,7.5,8.4,8.6,10.9,12.1,13.0,13.1,14.5,15.6,用莖葉圖表示這個人用莖葉圖表示這個人1414個月的收入個月的收入. .解解: :(1)(1)用莖葉圖表示這個人用莖葉圖表示這個人1414個月的收入個月的收入, ,如圖如圖(1)(1)所示所示, ,其中豎線左其中豎線左側的數字表示整數位上的數字側的數字表示整數位上的數字, ,豎線右側的數字表示小數位上的數

29、字豎線右側的數字表示小數位上的數字. .(2)(2)給出甲、乙兩人給出甲、乙兩人6 6個月的收入情況個月的收入情況( (單位單位: :萬元萬元),),怎樣設計莖葉圖怎樣設計莖葉圖? ?由由莖葉圖比較兩人的收入大小莖葉圖比較兩人的收入大小. .甲甲:6.5,7.4,7.1,7.3,8.3,8.9;:6.5,7.4,7.1,7.3,8.3,8.9;乙乙:6.1,6.2,6.3,7.0,7.1,8.2.:6.1,6.2,6.3,7.0,7.1,8.2.解解:(2):(2)用莖葉圖表示甲、乙兩人用莖葉圖表示甲、乙兩人6 6個月的收入情況如圖個月的收入情況如圖(2)(2)所示所示, ,其中其中中間一列的

30、數字表示月收入整數位上的數字中間一列的數字表示月收入整數位上的數字, ,兩側的數字表示月收入兩側的數字表示月收入小數位上的數字小數位上的數字. .由圖由圖(2)(2)可知可知, ,甲與乙相比甲與乙相比, ,莖為莖為7,87,8時時, ,甲對應的葉子甲對應的葉子數比乙多數比乙多, ,且莖一樣時的相應數字都比較大且莖一樣時的相應數字都比較大, ,所以甲的收入高一些所以甲的收入高一些. .學霸經歷分享區學霸經歷分享區用頻率分布直方圖解決相關問題時用頻率分布直方圖解決相關問題時, ,應正確理解圖表中各個量的意義應正確理解圖表中各個量的意義, ,識圖掌握信息是解決該類問題的關鍵識圖掌握信息是解決該類問題

31、的關鍵. .頻率分布直方圖有以下幾個要頻率分布直方圖有以下幾個要點點:(1):(1)縱軸表示頻率縱軸表示頻率/ /組距組距;(2);(2)頻率分布直方圖中各長方形高的比也頻率分布直方圖中各長方形高的比也就是其頻率之比就是其頻率之比;(3);(3)直方圖中每一個矩形的面積是樣本數據落在這個直方圖中每一個矩形的面積是樣本數據落在這個區間上的頻率區間上的頻率, ,所有的小矩形的面積之和等于所有的小矩形的面積之和等于1.1.即頻率之和為即頻率之和為1.1.課堂達標課堂達標1.1.一個容量為一個容量為3232的樣本的樣本, ,某組樣本的頻率為某組樣本的頻率為0.125,0.125,那么該組樣本的頻數那么該組