1、1線性代數(shù)線性代數(shù)2數(shù)學(xué)好玩數(shù)學(xué)好玩. .陳省身陳省身但得此中味但得此中味, ,勿為醒者傳勿為醒者傳. .李白李白武林高手的最高境界武林高手的最高境界: :無招無招. .3數(shù)學(xué)的好玩之處數(shù)學(xué)的好玩之處, ,主要在于數(shù)學(xué)中有些極具實用意主要在于數(shù)學(xué)中有些極具實用意義的內(nèi)容義的內(nèi)容, ,包含了深刻的奧妙包含了深刻的奧妙, ,發(fā)人深思發(fā)人深思, ,使人驚訝使人驚訝. .比如以數(shù)學(xué)家比如以數(shù)學(xué)家Euler命名的一個公式命名的一個公式: :.12 ie 其中其中i是虛數(shù)單位是虛數(shù)單位, ,是圓周率是圓周率, ,e是一個無理數(shù)是一個無理數(shù), ,.597182818284. 2 e4主要內(nèi)容主要內(nèi)容第一章第

2、一章 行列式行列式第二章第二章 矩陣矩陣第三章第三章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性第四章第四章 線性方程組線性方程組第五章第五章 矩陣對角化矩陣對角化第六章第六章 二次型二次型5參考書目參考書目同濟大學(xué)同濟大學(xué) 線性代數(shù)線性代數(shù) 高等教育出版社高等教育出版社湘潭大學(xué)湘潭大學(xué) 線性代數(shù)線性代數(shù) 科學(xué)出版社科學(xué)出版社北京大學(xué)北京大學(xué) 高等代數(shù)高等代數(shù) 高等教育出版社（第三版）高等教育出版社（第三版）6線性代數(shù)簡史線性代數(shù)簡史線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。我們知道一次方線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。我們知道一次方程叫做程叫做線性方程線性方程，討論線性方程及線性運算的代數(shù)，討論線性方程及線性運

3、算的代數(shù)就叫做就叫做線性代數(shù)線性代數(shù)。 在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式行列式和和矩陣矩陣。 行列式和矩陣行列式和矩陣在十九世紀(jì)受到很大的注意在十九世紀(jì)受到很大的注意, ,而且寫了而且寫了成千篇關(guān)于這兩個課題的文章。成千篇關(guān)于這兩個課題的文章。 向量的概念向量的概念, ,從數(shù)學(xué)的觀點來看不過是有序三元數(shù)組的從數(shù)學(xué)的觀點來看不過是有序三元數(shù)組的一個集合一個集合, ,然而它以力或速度作為直接的物理意義然而它以力或速度作為直接的物理意義, ,并并且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫出物理上所說的事情。且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫出物理上所說的事情。 7線性代數(shù)學(xué)科和矩陣?yán)碚撌前殡S著線性代數(shù)學(xué)科

4、和矩陣?yán)碚撌前殡S著線性系統(tǒng)方程系線性系統(tǒng)方程系數(shù)研究數(shù)研究而引入和發(fā)展的。而引入和發(fā)展的。行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和關(guān)孝和提提出來的，他在出來的，他在 1683 1683 年寫了一部叫做年寫了一部叫做解伏題之法解伏題之法的著作，意思是的著作，意思是 “ 解行列式問題的方法解行列式問題的方法 ” ，書里，書里對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。歐洲歐洲第一個第一個提出行列式概念的是德國的數(shù)學(xué)家，微積分提出行列式概念的是德國的數(shù)學(xué)家，微積分學(xué)奠基人之一學(xué)奠基人之一萊布尼茲萊布尼茲（Leibn

5、itz,1693,1693年）。年）。81750 年年克萊姆克萊姆（ Cramer）發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程）發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的重要基本公式（既人們熟悉的的重要基本公式（既人們熟悉的 克萊姆法則）。克萊姆法則）。1764 年年 ,貝佐特貝佐特 (Bezout) 把確定行列式每一項的符把確定行列式每一項的符號的手續(xù)系統(tǒng)化了。對給定了含號的手續(xù)系統(tǒng)化了。對給定了含 n 個未知量的個未知量的 n 個個齊次線性方程齊次線性方程 , Bezout 證明了系數(shù)行列式等于零是證明了系數(shù)行列式等于零是這方程組有非零解的條件。這方程組有非零解的條件。9范德蒙范德蒙( Vandermonde ) 是第一個對行

6、列式理是第一個對行列式理論進行系統(tǒng)的闡述論進行系統(tǒng)的闡述( (即把行列式理論與線性即把行列式理論與線性方程組求解相分離方程組求解相分離) )的人。并且給出了一條的人。并且給出了一條法則，用二階子式和它們的余子式來展開行法則，用二階子式和它們的余子式來展開行列式。就對行列式本身進行研究這一點而言，列式。就對行列式本身進行研究這一點而言，他是這門理論的奠基人。他是這門理論的奠基人。10拉普拉斯拉普拉斯 (Laplace) 在在 1772 年的論文年的論文對積分和世對積分和世界體系的探討界體系的探討中中 , 證明了證明了 Vandermonde 的一些規(guī)的一些規(guī)則則 , 并推廣了他的展開行列式的方法

7、并推廣了他的展開行列式的方法 , 用用 r 行中所含行中所含的子式和它們的余子式的集合來展開行列式，這個的子式和它們的余子式的集合來展開行列式，這個方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名。方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名。德國數(shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家雅可比雅可比（ Jacobi ）也于）也于 1841 年總結(jié)并年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。提出了行列式的系統(tǒng)理論。11另一個研究行列式的是法國最偉大的數(shù)學(xué)家另一個研究行列式的是法國最偉大的數(shù)學(xué)家 柯柯西西 (Cauchy), ,他大大發(fā)展了行列式的理論，在行他大大發(fā)展了行列式的理論，在行列式的記號中他把元素排成方陣并首次采用了列式的記號中他把元素排成方陣并首次采用了雙重

8、足標(biāo)的新記法，與此同時發(fā)現(xiàn)兩行列式相雙重足標(biāo)的新記法，與此同時發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進并證明了乘的公式及改進并證明了 Laplace 的展開定理。的展開定理。12 高斯高斯（Gauss）大約在）大約在 1800 1800 年提出了高斯消元法年提出了高斯消元法并用它解決了天體計算和后來的地球表面測量計算中并用它解決了天體計算和后來的地球表面測量計算中的最小二乘法問題。（這種涉及測量、求取地球形狀的最小二乘法問題。（這種涉及測量、求取地球形狀或當(dāng)?shù)鼐_位置的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支稱為測地學(xué)。）或當(dāng)?shù)鼐_位置的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支稱為測地學(xué)。） 雖然高斯由于這個技術(shù)成功地消去了線性方程的雖然高斯由于這個技術(shù)成功地

9、消去了線性方程的變量而出名，但早在幾世紀(jì)中國人的手稿中就出現(xiàn)了變量而出名，但早在幾世紀(jì)中國人的手稿中就出現(xiàn)了解釋如何運用解釋如何運用“高斯高斯”消去的方法求解帶有三個未知消去的方法求解帶有三個未知量的三方程系統(tǒng)。在當(dāng)時的幾年里，高斯消去法一直量的三方程系統(tǒng)。在當(dāng)時的幾年里，高斯消去法一直被認(rèn)為是測地學(xué)發(fā)展的一部分，而不是數(shù)學(xué)。被認(rèn)為是測地學(xué)發(fā)展的一部分，而不是數(shù)學(xué)。 13矩陣代數(shù)的豐富發(fā)展，人們需要有合適的符號矩陣代數(shù)的豐富發(fā)展，人們需要有合適的符號和合適的矩陣乘法定義。二者要在大約同一時和合適的矩陣乘法定義。二者要在大約同一時間和同一地點相遇。間和同一地點相遇。1848 1848 年英格蘭的

10、年英格蘭的西爾維斯特西爾維斯特( (J.J.Sylvester) )首先提首先提出了矩陣這個詞，它來源于拉丁語，代表一排數(shù)。出了矩陣這個詞，它來源于拉丁語，代表一排數(shù)。 1418551855年矩陣代數(shù)得到了年矩陣代數(shù)得到了凱萊凱萊( (Arthur Cayley) )的工的工作培育。作培育。Cayley研究了線性變換的組成并提出了研究了線性變換的組成并提出了矩陣乘法的定義，使得復(fù)合變換矩陣乘法的定義，使得復(fù)合變換ST的系數(shù)矩陣變的系數(shù)矩陣變?yōu)榫仃嚍榫仃嘢和矩陣和矩陣T的乘積。他還進一步研究了那些的乘積。他還進一步研究了那些包括矩陣逆在內(nèi)的代數(shù)問題。包括矩陣逆在內(nèi)的代數(shù)問題。15數(shù)學(xué)家試圖研究向

11、量代數(shù)，但在任意維數(shù)中并沒有兩個數(shù)學(xué)家試圖研究向量代數(shù)，但在任意維數(shù)中并沒有兩個向量乘積的自然定義。向量乘積的自然定義。 第一個涉及一個不可交換向量積（即第一個涉及一個不可交換向量積（即 v w 不等于不等于 w v ）的向量代數(shù)是由）的向量代數(shù)是由格拉斯曼格拉斯曼( (Hermann Grassmann) ) 在在1844年年他的他的線性擴張論線性擴張論一一 書中提出的。書中提出的。 他的觀點還他的觀點還被引入一個列矩陣和一個行矩陣的乘積中，結(jié)果就是現(xiàn)被引入一個列矩陣和一個行矩陣的乘積中，結(jié)果就是現(xiàn)在稱之為秩數(shù)為在稱之為秩數(shù)為 1 的矩陣，或簡單矩陣。的矩陣，或簡單矩陣。 19 世紀(jì)末美國數(shù)

12、學(xué)物理學(xué)家世紀(jì)末美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家吉布斯吉布斯( ( Willard Gibbs )發(fā)發(fā)表了關(guān)于表了關(guān)于向量分析基礎(chǔ)向量分析基礎(chǔ) 的著名論述。的著名論述。 16其后英國物理學(xué)家其后英國物理學(xué)家狄拉克狄拉克 ( ( P. A. M. Dirac 1902-1984)提出了行向量和列向量的乘積為標(biāo)量。提出了行向量和列向量的乘積為標(biāo)量。矩陣的發(fā)展是與線性變換密切相連的。矩陣的發(fā)展是與線性變換密切相連的。現(xiàn)代向量空間的定義是由現(xiàn)代向量空間的定義是由皮亞諾皮亞諾( ( Peano )于于 1888 年提年提出的。出的。 到到 19 世紀(jì)它還僅占線性變換理論形成中有限的空間。世紀(jì)它還僅占線性變換理論形成中有

13、限的空間。 我們習(xí)慣的列矩陣和向量都是在我們習(xí)慣的列矩陣和向量都是在 20 世紀(jì)由物理學(xué)家世紀(jì)由物理學(xué)家給出的。給出的。17二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計算機的發(fā)展，二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計算機的發(fā)展，矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣的數(shù)值分矩陣的數(shù)值分析析等方面。等方面。 由于計算機的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，由于計算機的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，許多實際問題可以通過離散化的數(shù)值計算得到許多實際問題可以通過離散化的數(shù)值計算得到定量的解決。于是作為處理離散問題的線性代定量的解決。于是作為處理離散問題的線性代數(shù)，成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計的科技人員數(shù)，成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計

14、的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 18阿貝爾阿貝爾(Abel) 與伽羅瓦與伽羅瓦(Galois) 挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾( (1802.8.51829.4.6) )，以證明五，以證明五次元方程的根式解的不可能性而聞名。次元方程的根式解的不可能性而聞名。 法國數(shù)學(xué)家厄米特（法國數(shù)學(xué)家厄米特（Hermite 18221901）在談到）在談到阿貝爾的貢獻時曾說過：阿貝爾的貢獻時曾說過：“阿貝爾留下的工作，可阿貝爾留下的工作，可以使以后的數(shù)學(xué)家足夠忙碌以使以后的數(shù)學(xué)家足夠忙碌150150年！年！” ” 在和阿貝爾同時期的一個法國少年讀到了他的著作，在和阿貝爾同時期的一個法國少年讀到

15、了他的著作，于是在不到于是在不到2020歲的時候在代數(shù)方程論歲的時候在代數(shù)方程論推陳出新推陳出新創(chuàng)立了創(chuàng)立了一門新的數(shù)學(xué)理論一門新的數(shù)學(xué)理論伽羅瓦理論伽羅瓦理論，這個發(fā)現(xiàn)者伽羅，這個發(fā)現(xiàn)者伽羅瓦還建立了群論的基礎(chǔ)理論。瓦還建立了群論的基礎(chǔ)理論。19法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦( (1811.10.25- -1832.5.31) )，與阿貝，與阿貝爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人。爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人。伽羅瓦理論伽羅瓦理論是當(dāng)代代數(shù)與數(shù)論的基本支柱之一。它直是當(dāng)代代數(shù)與數(shù)論的基本支柱之一。它直接推論的結(jié)果十分豐富：接推論的結(jié)果十分豐富：3. 3. 他解決了古代三大作圖問題中的兩個：他解決了古代三

16、大作圖問題中的兩個：“不能不能任意三等分角任意三等分角”，“倍立方不可能倍立方不可能”。 2. 2. 它漂亮地證明高斯的論斷：若尺規(guī)作圖能作出它漂亮地證明高斯的論斷：若尺規(guī)作圖能作出正正p邊形，邊形，p為質(zhì)數(shù)且此同時為質(zhì)數(shù)且此同時 。122 kp1. 1. 它系統(tǒng)化地闡釋了為何五次以上之方程式?jīng)]有公它系統(tǒng)化地闡釋了為何五次以上之方程式?jīng)]有公式解，而四次以下有公式解。式解，而四次以下有公式解。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強20第一章第一章 行列式行列式第一節(jié)第一節(jié) 二階與三階行列式二階與三階行列式21用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxa

17、bxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x一、二階行列式的引入其中其中21, xx是未知量，其它字母是已知量。是未知量，其它字母是已知量。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強22;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時，時，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112

18、112aaaaabbax 由方程組的四個系數(shù)確定由方程組的四個系數(shù)確定.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強23 由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表稱列）的數(shù)表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數(shù)數(shù)表表（表表達達式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強2411a12a22a12a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計算二階行列式的計算其中元素

19、其中元素 aij 的第一個下標(biāo)的第一個下標(biāo) i 為行指標(biāo)為行指標(biāo)，第二個下第二個下標(biāo)標(biāo) j 為列指標(biāo)為列指標(biāo)。即即 aij 位于行列式的第位于行列式的第 i 行第行第 j 列列。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強25 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD 若記若記,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組對于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強26 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111b

20、xaxabxaxa,22211211aaaaD 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強27 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強28則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.2221121122111122aaaababaDDx 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強29 . 12,12232121xxxx求解二元線性方

21、程組求解二元線性方程組解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強30二、三階行列式二、三階行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的數(shù)表列的數(shù)表行行個數(shù)排成個數(shù)排成設(shè)有設(shè)有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式稱為數(shù)表（）式稱為數(shù)表（5 5）所確定的）所確定的. .湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院

22、 王文強31323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三階行列式的計算三階行列式的計算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)333231232221131211aaaaaaaaaD 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強32333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負(fù)號元素的

23、乘積冠以負(fù)號說明說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強33 如果三元線性方程組如果三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方程組 2 2. . 三階行列式包括三階行列式包括3!3!項項, ,每一項都是位于不同行每一項都

24、是位于不同行, ,不同列的三個元素的乘積不同列的三個元素的乘積, ,其中三項為正其中三項為正, ,三項為三項為負(fù)負(fù). .湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強34 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若記若記333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強35 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaaba

25、abD 記記,3332323222131211aabaabaabD 即即湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強36 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強37 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa33323

26、1232221131211aaaaaaaaaD 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強38 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強39,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 則三元線性方程組的解為則三元線性

27、方程組的解為:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 3 , 2 , 1, iDi是將是將D的第的第i列換成右端項得到。列換成右端項得到。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強402-43-122-4-21 D計算三階行列式計算三階行列式按對角線法則，有按對角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強41. 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解得解得由由0652 xx3.2 xx或或湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強42例例4. .利用對角線法則計算下列三階行列式：利用對角線法則計算下列三階行列式： 381141102 1 bacacbcba 2 222111 3cbacba yxyxxyxyyxyx 4 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 王文強43 381141102811)1()