1、不等式恒成立問題“含參不等式恒成立問題把不等式、函數、三角、幾何等容有機地結合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題 者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉與的“函數與方程、“化歸與轉化、“數形結合、“分類討論等數學思想對鍛煉學生的綜合解題能力， 培養其思維的靈活性、創造性都有著獨到的作用。本文就結合實例談談這類問 題的一般求解策略。一、判別式法假設所求問題可轉化為二次不等式，那么可考慮應用判別式法解題。一般地,對于二次函數 f(x)ax2 bx c(a 0,x R),有1)f (x)0對x R恒成立2)f (x)0對x R恒成立例1.函數y lgx2 (a

2、 1)x a2的定義域為R,數a的取值圍。解：由題設可將問題轉化為不等式x2 (a 1)x a2 0對x R恒成立，即有1(a 1)2 4a2 0 解得 a 1 或 a 。3所以實數a的取值圍為(，1)(丄，)。3假設二次不等式中x的取值圍有限制，那么可利用根的分布解決問題例2.設f (x) x2 2mx 2，當x 1,)時，f(x) m恒成立，數m的取值 圍。解：設F(x) x2 2mx 2 m，那么當x 1,)時，F(x) 0恒成立4(m 1)(m 2)0即 2m 1 時，F(x)0顯然成立;0時，如圖，F(x) 0恒成立的充要條件為:0F( 1)0 解得 3 m 22m12綜上可得實數m

3、的取值圍為3,1) 二、最值法將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1) f(x) a 恒成立a f (x)min2) f(x) a 恒成立a f (x) max1 .兩個函數f(x) 8x2 16x k, g(x) 2x3 5x2 4x，其中k為實數.(1)假設對任意的x3,3，都有f(x) g(x)成立，求k的取值圍；假設對任意的x1 x23,3，都有f(xj g(x2)，求k的取值圍.(3)假設對于任意Xi 3,3,總存在Xo3,3使得g(xo) f (Xi)成立，求k的取值圍.分析與解(1)問題轉化為F(x) 0在x3,3上恒成立,即F(x)min 0即可

4、令 F(x) g(x) f (x) 2x28t g( 3)21,g(3) 111 , g( 1)1, g(-) 27 -g(X)min 21. 那么 120 k 21,解得 k 141. (3)假設對于任意X13,3，總存在X0 價于f x的值域是g x的值域的子集， 3x212x k,3,3使得g(x) f(xj成立，等由可知,f(x) 8x2 16x k在 3,3的值域為k 8, k 120 ,g(x) 2x3 5x2 4x在 3,3的值域為21,111 ,于是， k 8, k 12021,111 ,即滿足kk1；0 2111.解得 9k 13t F (x) 6x2 6x 126(x2 x

5、 2),由 F(x)0,得 x 2 或 x 1.t F( 3) k 45, F(3) k 9, F( 1) k 7, F(2) k 20,二 F(x)min k 45,由 k 450, 解得 k 45. 由題意可知當x 3,3時，都有f(X)maxg(X)min 由 f(x)16x 160 得 x 1.t f( 3)24 k, f( 1)8 k,f(3)120 k ,-f(X)maxk 120., 2 2由 g (x) 6x 10x 4 0 得 x1 或 x,340x，當x 3,3時，f (x) g(x)2. f (x) 7x2 28x a,g(x) 2x3 4x2恒成立，數a的取值圍。解：設

6、 F(x) f(x) g(x) 2x3 3x212x c,那么由題可知F(x) 0對任意x 3,3恒成立令 F(x)6x2 6x120,得 x1 或 x 2而 F( 1)7a,F(2)20a, F( 3)45 a,F(3)9 a,-F(x)max 45 a 0 a 45即實數a的取值圍為45,)3函數f(x) -a,x 1,)，假設對任意x 1,) , f(x) 0恒成立，數xa的取值圍。解：假設對任意x 1,) , f(x) 0恒成立，即對x 1,)，f(x)- 紅上0恒成立，x考慮到不等式的分母x 1,)，只需x2 2x a0在x 1,)時恒成立而得而拋物線g(x)x2 2x a在x 1,

7、)的最小值gmin (x)g(1) 3 a 0得a 3注：此題還可將f (x)變形為f (x) x -2，討論其單調性從而求出f(x)最小x4.f (x)x2 ax 3 a，假設x 2,2, f (x) 2恒成立，求a的取值圍.解析 此題可以化歸為求函數f(x)在閉區間上的最值問題，只要對于任意x 2,2, f (x)min 22,2, f(x) 2、立2,2, f(X)mina2 f (x) minf( 2) 73a 22 -或：f(X)minf(|)旦22f (x) min，即a的取值圍為f (2)7 a 25, 2 2 .2.值。三、別離變量法假設所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元別

8、離于不等式兩端，從而問 題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數圍。這種方法本質也還是求最值， 但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1) f (x) g(a)(a為參數)恒成立g(a) f (x) max2) f (x)g(a)(a為參數)恒成立g(a) f (x)max實際上，上題就可利用此法解決。略解：x2 2x a 0在x 1,)時恒成立，只要a x2 2x在x 1,)時恒 成立。而易求得二次函數h(x) x2 2x在1,)上的最大值為 3，所以a 3。1、函數f X lg x - 2，假設對任意x 2, 恒有f x 0 ,試確定a x的取值圍。上恒成立,解：根據題意得：x - 21在x

9、 2,x即：a x2 3x在x 2,上恒成立,設 f xx2 3x，貝U f x當x 2時，f x max 2所以a 22、x ,1時，不等式1 2x a a2 4x 0恒成立，求a的取值圍解：令 2x t，丁x,1 t 0,2所以原不等式可化為:要使上式在t0,2上恒成立，只須求出f tt 1卞在t 2上的最小值即可t mina21 1 2 t 23a -412323. 函數f (x) ax 4x x2, x (0,4時f(x) 0恒成立，數a的取值圍。4x x2解：將問題轉化為a 對x (0,4恒成立。x令 g(x) 4x X ，那么 a g(x)minxf 4x x24由g(x) .1可

10、知g(x)在(0,4上為減函數，故x V xg(x)min g(4)0 a 0即a的取值圍為(,0)注：別離參數后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。例4函數f(x) |x2 4x 5|，假設在區間1,5 上, y kx 3k的圖象位于函數f(x)的上方，求k 的取值圍.解析 此題等價于一個不等式恒成立問題，即對于x2 4x 5x 3x 1,5,kx 3kx2 4x 5恒成立，式子中有兩個變量，可以通過變量別離化歸為求函數的最值問題對于x 1,5,kx 3kx2 4x 5恒成立設 x 3 t,t 2,8,那么對于x 1,5恒成立,令y上孑,x 1,52 , k的取值圍是k2.變式假設此題

11、中將y kx 3k改為yk(x3)2，其余條件不變，那么也可以用變16y (t-J-) 10,t 2,8,當 t 4 ,即 x = 1 時 ymax量別離法解.由題意得，對于 x 1,5, k(x 3)2X24x 5恒成立k(xx2害對于3)x 1,5恒成立，2 .x 4x2(x 3)5 -,x1,5,設x 3 t,t2,81- 10 “/ 5、2y p 1()t2 tt 45,即 x 1 時，ymax452,8，196, k的取值圍是4.已知f(x)是定義在-1,1 上的奇函數,且f=1,1,1, m n 0時 f(m) f(n)m n恒成立，數t的取值圍.m, n 0,假設 f(x) t2

12、 2at 1 對于所有的 x 1,1,a 1,1解析 此題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉化的策略，先消去一個 變量，容易證明f(x)是定義在-1,1上的增函數，故f(x)在-1,1上的最大值為 f (1)=1,那么 f (x) t2 2at 1 對于所有的 x 1,1, a 1,1恒成立 1 t2 2at 1 對于所有的a 1,1恒成立，即2ta t20對于所有的a 1,1恒成立，令g(a) 2ta t2，只要g( 1)0g(1)0四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，假設能適時的把主元變量和參數變量 進行“換位思考，往往會使問題降次、簡化。2例1對于任意的a-1,1，函數f

13、 (x)= ax+(2a-4) x+3-a0恒成立， 求x的取值圍.解析 此題按常規思路是分a=0時f(x)是一次函數，a0時是二次函數兩 種情況討論，不容易求x的取值圍。因此，我們不能總是把 x看成是變量，把a 看成常參數，我們可以通過變量轉換，把 a看成變量，x看成常參數，這就轉化次函數問題，問題就變得容易求解。令g(a)=( x2+2x-1) a-4x+3在a-1,1時，g(a)0 恒成立，那么 g(D1)o0，得 3、13 x 3 -13.例2、假設不等式2x 1m x2解：設f mx22x1對滿足m1x2，對滿足m02x 12的所有m都成立，求x的取值圍。2 的 m，f m0恒成立,

14、解得:2x 1x2 (ax的一元二次不等式，但假設把a看成主元，那么問 x2 4x 40在a 1,1上恒成立的問題。4x 4，那么原問題轉化為f (a)0恒成立例3.對任意a 分析：題中的不等式是關于題可轉化為一次不等式(x 2)a解：令 f (a) (x 2)a x2(a 1,1 )0當x 2時，可得f(a) 當x 2時，應有f(1)f( 1) 0故x的取值圍為(，1)(3,)。注：一般地，一次函數 f(x) kx b(k 0)在,上恒有f(x) 0的充1,1，不等式4)x4 2a0恒成立，求x的取值圍。0，不合題意。0解之得x 1或x 3。要條件為f( )0。f( ) 0四、數形結合法數學

15、家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，這充分說明 了數形結合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知 道，函數圖象和不等式有著密切的聯系：1) f (x) g(x) 函數f (x)圖象恒在函數g(x)圖象上方；2) f (x) g(x) 函數f (x)圖象恒在函數g(x)圖象下上方。例1、假設不等式3x2 logax 0在x 0,1恒成立，數a的取值圍31解：由題意知：3x2 loga x在x 0,-恒成立,3在同一坐標系，分別作出函數y 3x2和 y loga x1觀察兩函數圖象，當x 0,-時，3假設a 1函數y loga X的圖象顯然 在函數y 3x2圖象的

16、下方，所以不 成立；當0 a 1時，由圖可知，y logax的圖象必須過點13綜上得：1 a1或在這個點的上方，貝U，log a133127a丄1 a丄2727例2.設f (x)24x 4x , g(x) x 1 a,假設恒有g(x)成立,數a的取值圍分析：在同一直角坐標系中作出 如下列圖，f(x)的圖象是半圓(xg(x)的圖象是平行的直線系 要使f (x) g(x)恒成立， 那么圓心(2,0)到直線4x 3y8 3 3a|4x3y3a0的距離f(x)-23 3a 0。f (x)與g(x)的圖象2)2y24(y0)滿足 d解得a5或a53 (舍去)例3.設函數f(x)x2 4x ,g(x)ax

17、 a ,假設恒有f (x) g (x)成立,試數a的取值圍.題意得 f(x) g(x)x2 4x ax 2a ,令%、 x2 4x ,Y2ax2a.可化為(x 2)22 yi4(0 x 4,yi 0),它表示以(2,0)為圓心，2為半徑的上半圓；表示經過定點(-2,0)，以a為斜率的直線，要使f(x) g(x)恒成立，只需所表示的半圓在所表示的直線下方就可以了(如下列圖).當直線與半圓相切時就有|2a_2a| 2，；1 a2a ，由圖可知，要使f (x) g(x)恒成立，實數 3的取值圍是a空.3五. 分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊, 那么可利用分類討

18、論的思想來解決。例1、假設x 2,2時，不等式X2 ax 3 a恒成立，求a的取值圍。解：設f x x2 ax 3 a，那么問題轉化為當x 2,2時，f x的最小值非負(1)當2a不存在;2即：a4時，f x minf27 3a 0 a1又a4所以(2)當2a2即:4 a 4時2aa2f x if3 aa06a 2 又 4 a 44 a2min24(3)當 a22即:a4時，fx i f 27 amin0a7又a 47a4綜上所得:7 a21 解關于x的不等式 x2 4mx 4m2 m 3解：原不等式等價于|x2m | m3當m30即m3時,x 2mm3 或 x 2m(m 3)x3m3或 xm 3當m30即m3時,|x 6|0 .x 6當m30即m3時,x R2設aR ,函數f(x)2x ax2a2.假設 f(x)0的解集為A,B x|1x3 , AC1B，數a的取值圍。點評：二次函數與二次不等式和集合知識有很多聯系，不等式的解集、函 數的值域成為集合運算的載體，對于含參數問題要確定好分類的標準，做到不 重不漏。3. a是實數，函數f(x) 2ax2 2x 3 a ,如果函數y f (x)在區間 1, 上有零點，求