1、集合中的常用數學思想第1講 函數11級函數概念的深入理解滿分晉級 函數10級集合中的常用數學思想函數9級函數與方程<教師備案> 可以調查一下班上學生上過暑期課的比例，以及學校當前的進度對于集合，學生應從內心深處把集合當作一個鍛煉的工具，集合從高中開始一直滲透到高中結束，甚至在有些過程中，我們都沒有意識到集合是數學的語言，是一個對話的平臺，語言的作用是為了溝通，集合的問題不在于基本的運算什么的你不會，而是給你一道集合相關的問題你根本讀不明白題意，或者當你試圖表達一個條件時，你沒有辦法用一套很嚴格的數學語言把它表達出來集合的中還滲透著很多數學思想，比如要想確定一個由描述法表示的集合，可

2、能需要對參數進行分類討論；理解一些集合的關系與運算需要借助韋恩圖與數軸，這便是集合中的數形結合；還有些集合問題直接解決比較困難，我們選擇看它的反面，正難則反這些數學思想在以后的高中數學學習中，還會常常遇到，也會貫穿我們這一講“給你一道集合相關的問題，你根本讀不明白題意”這句話可以結合下面的例子說明，可以用這個例子作為課堂的引入，調動學生的思維興趣：已知集合，若對于任意，中至少有1個在中，則稱集合具有性質判斷（不具有）、（具有）、（不具有）是否具有性質(更進一步的問題見華山論劍)1.1 元素與集合知識點睛1集合：一些能夠確定的不同的對象所構成的整體叫做集合構成集合的每個對象叫做這個集合的元素集合

3、一般用英文大寫字母表示元素一般用英文小寫字母表示；不含任何元素的集合叫做空集，記作2元素與集合的關系：、；3常見的數集的寫法：自然數集正整數集整數集有理數集實數集或4元素的性質：確定性、互異性、無序性5集合的表示法 列舉法 描述法（又稱特征性質描述法）：形如，稱為集合的特征性質，稱為集合的代表元素為的范圍，有時也寫為 圖示法，又叫韋恩（Venn）圖 區間表示法：用來表示連續的數集<教師備案> 元素的性質：元素的性質中最本質的屬性是確定性，集合是有邊界的，邊界確定了，才能判斷一個元素在還是不在集合中正是因為有確定性，所以可以定義空集，因為所有元素都不在這個集合中，所以這也能構成一個集

4、合，就是空集 集合的表示法： 列舉法一定要會用，當遇到陌生集合時，要會寫出其中的元素比如要想了解集合，的關系，可以用列舉法把一個個元素寫出來：，就知道是的真子集； 描述法是集合的一個重點與難點：，表達的外延，即的最大討論范圍，以及集合中元素的形式，到底是數還是點，并不一定能取到中的所有，只是一定是中的元素，表示的內涵，是對的精確描述如：集合，則， Venn圖是表達集合中的各種關系與運算的； 區間表示法課本上是在函數的三要素那一節出現的，我們為了方便與統一把它放到集合中，當一個連續數集寫成區間時，默認左端點是小于等于右端點的，如區間，就表示，即這與是有區別的，這個集合可以出現的情況，此時這個集合

5、是空集暑假知識回顧1由實數，所組成的集合里，所含元素個數最多有（ ）A個 B個 C個 D個【解析】 C2下列集合中恰有2個元素的集合是（ ）A. B. C. D. 【解析】 B3若，則集合中的元素共有（ ）A個 B個 C個 D個【解析】 A經典精講考點1：元素與集合的關系【例1】 已知，若，求實數的值已知，集合，且，求滿足條件的的值（目標班專用）已知，集合，點，但點，求的值已知是數集，且滿足：若，則，則當 時，中僅有1個元素若集合中有且僅有兩個元素，集合_ 或；備注：所有的【備選】在學生版都不出現，只在教師版與課件上出現，供老師選講【備選】設是非空數集，且滿足條件：若，則證明： 若，則中必還有

6、另外兩個元素； 集合不可能是單元素集； 集合中至少有三個不同的元素【解析】 若，則，于是，故集合中還含有，兩個元素 若為單元素集，則，即，此方程無實數解，與都為集合的元素，則不可能是單元素集 由是非空集合知存在現只需證明、三個數互不相等若，方程無解，；若，方程無解；若，方程無解，故集合中至少有三個不同的元素【備注】集合離不開元素，元素是集合的核心，所以解決有關集合中的探索性問題，可以先從元素入手，作為解題的切入點解此題關鍵在于由已知，得到，然后逐步探索，再根據集合中元素的互異性，從而將問題加以解決中用到反證法的解題思想下面的例3中會進一步提到正難則反的思想考點2：兩個集合相等<教師備案&

7、gt; 兩個集合相等是集合的關系中出現的概念，但對于由列舉法表示的集合來說，兩個集合相等就是指兩個集合中的元素完全相同，所以放在元素與集合這一板塊中講解更順一些下一板塊的集合相等的定義主要針對更復雜更抽象的集合，通過互相包含得到相等關系【例2】 若，集合，則_由三個實數構成的集合，既可以表示為，也可表示為，則_（目標班專用）已知集合，且，則_點評：根據兩集合的元素是相同的，可以列方程組分類討論，但顯然復雜又繁瑣，這時從特殊元素出發，如發現0這個特殊元素和中的不為0的隱含信息，就能得到簡便解法考點3：集合中涉及到的數學思想<教師備案> 本講的例題很多都涉及到數學思想，如例1與例2都涉

8、及到了分類討論的思想，例5與例6會涉及到數形結合的思想例3是對集合的思想的集中體現，可以在這里對集合中常用的數學思想作一個介紹與說明例3不同的方法對應不同的思考方式，直接解決需要分類討論，間接解決就是考慮問題的反面遇到至少有、至多有的問題，需要注意問題的反面的形式【鋪墊】已知集合中至多有一個元素，則實數的取值范圍是 【解析】 或解法一（按照的元素個數分類討論）：解法二（按照方程的次數分類討論）：解法三（先考慮問題的反面）：【例3】 （目標班專用）已知，且，中至少有一個不是空集，求實數的取值范圍分析：至少有1個不是空集，考慮方法有兩種：第1種：或或也就是，和取并集第2種，至少有1個不是空集的反面

9、是什么？如我們班至少有1個男生反面是不到1個男生，也就是沒有男生，“至少有1個不是空集”的反面是“全都是空集” “全都是空集”取，的公共部分也就是交集，再取個補集就行當遇到正面分類討論比較多時，不妨考慮問題反面若改成“至少有兩個是空集”，那么反面是什么？最多有1個空集比如某富二代說“我家至少有10棟房”，那么反面是他家至多有9棟房【拓展】已知集合，.若中至少有一個不是空集，求實數的取值范圍【解析】 或1.2集合之間的關系與運算知識點睛1子集：如果集合中的任意一個元素都是集合的元素，則是的子集，記作或；規定：是任意集合的子集如果集合中存在著不是集合中的元素，那么集合不包含于，記作或2真子集：如果

10、集合，且存在，但，我們稱集合是集合的真子集，記作（或），讀作真包含于（真包含）規定：是任意非空集合的真子集3集合相等：如果，且，我們說集合與集合相等，記作=4交集：；5并集：；6補集：全集：如果所研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集，常用表示補集：在中的補集的數學表達式是7<教師備案> 集合的關系與運算在同步時放在同一個板塊中講解，如果班上學生進度太慢，且沒有預習，老師可以對后面的順序進行調整，知識回顧1與例4是集合的關系，知識回顧2是集合的運算暑假知識回顧1 下列各個關系式中，正確的是（ ）A B C D 若集合，則下列關系成立的是（ ）A B C D 已

11、知兩個集合，這兩個集合的關系是（ ）ABCD 設，則下列關系正確的是（ ）A B C D【解析】 D B A C2 設集合，則_ 設集合，則=_ 已知全集，集合，則集合中元素的個數為（ ）A1 B2 C3 D4 B經典精講考點4：集合的關系【例4】 設集合，則下列說法正確的有_設集合，則（ ）ABCD已知集合，則、滿足的關系是（ ）A B C D B； B；考點5：集合的關系與運算<教師備案> 例5是具體的集合的關系與運算，其中涉及一元二次方程的解集，是有限集問題；從是連續數集問題，借助韋恩圖會更容易解決對于一般的集合問題，這里有個易錯點，即空集是任何集合的子集，考慮子集問題先想空

12、集！為了避免有部分學生沒有上過暑期班，所以這一節我們盡量避開了集合的區間表示法【例5】 已知，其中，如果，則實數的取值范圍是_已知集合，若，則實數的取值范圍是 已知集合，若，則實數的取值范圍是 設集合，若，則實數的取值范圍是_ (目標班專用)設集合，若，則實數的取值范圍是_；若，則實數的取值范圍是_【解析】 或； 或； 或；<教師備案> 對于具體集合的子集問題例5已經講得很明白，對于抽象的集合，要理解，需要從元素角度出發：即對任意的，有；這在證明抽象的集合的關系時很有用，見下面的德摩根律的證明集合的運算滿足德摩根律：；對于德摩根律，可以使用兩個集合相等的定義進行抽象的證明，如下：證

13、明： 對任意的，則，從而且；因為，所以；因為，所以，從而；從而有；對任意的，則且，從而，且故，即，故綜上有；對任意的，則，從而或；若，則，從而；若，則，從而；從而有；對任意的，則或，即或，從而，故，故綜上有，德摩根律的嚴格證明并不容易，學生需要時間慢慢適應高中的嚴格的推理有德摩根律的正確性借助于韋恩圖是很容易得到的，韋恩圖在表示集合的關系與運算時非常直觀見例6考點6：韋恩圖【例6】 設、均為非空集合，且，則下列各式中錯誤的是( )ABCD若全集，、為的子集，且，求、和（目標班專用）某班學生期中考試成績表明：人數學成績不低于80分；人物理成績不低于80分；人的數學、物理成績都不低于80分. 則這

14、兩科成績至少有一科不低于80分的人數為_【解析】 B；【點評】對于任意兩個集合、，記有限集合的元素個數為，有限集合的元素個數為，上面的結論就是容斥原理，而且可以推廣到三個或更多的集合：備注：【練習】學生版也出現，一般在介紹一種新的方法或題型時，會配上練習讓學生鞏固一下【練習】已知全集中有個元素，集合中有個元素，中有個元素，有個元素，則集合中的元素個數是_考點7：子集個數問題若集合中有個元素，則集合的子集有個，真子集有個，非空真子集有個<教師備案> 這個結論可以歸納得到：當中有兩個元素時，記為，的子集有個；當中有三個元素時，記為，的四個子集仍然為的子集，且這些子集中加入元素后會得到四

15、個新的互不相同的子集，且的每個子集都可以歸在這兩類中，從而的子集個數是的兩倍，從而有個子集，可以歸納得到(含有個元素的集合)有個子集如果利用乘法原理（奧數學介紹過，在高二會進行系統學習），會很容易得到這個結論，要得到的子集，只需考慮的每個元素在或不在這個子集中，對個元素，可以通過步得到，每步有兩種不同的方法，故共對應個子集【鋪墊】已知，則滿足上述條件的集合的個數是（ ）A8 B32 C16 D4【解析】 A【例7】 已知，若是的子集，且，則子集共有_個若集合滿足：對任意，都有，就稱是“和諧”集合則在集合的所有非空子集中，“和諧”集合有_個（目標班專用）已知集合，是的若干個不同的二元子集，對任意

16、的，設，滿足，則的最大值為_ 15【拓展】求集合的所有子集的元素之和的和（規定空集的元素和為零）【解析】 先分析特殊情形，發現元素出現的規律之后再研究集合一般地：如果（），則的子集共有個，所有子集的元素和之和為考點8：集合的新定義問題（目標班專用）【例8】 定義集合運算：，設，則集合的所有元素之和為（ ）ABC D對任意兩個集合、，定義：，且，設，則 集合，是的一個子集，當時，若，且，則稱為的一個“孤立元素”，那么無“孤立元素”的元子集的個數是_的所有的有“孤立元素”的子集個數是_設符號“”是數集中的一種運算(如：減法運算、乘法運算)，如果對于任意的，都有，則稱集合對于運算“”是封閉的(除法運

17、算時，要求)下列說法正確的是_ 整數集對于實數的加法與乘法都是封閉的； 有理數集關于實數的四則運算都是封閉的； 對于實數的乘法運算是封閉的； 集合對實數的乘法是封閉的； 集合對實數的乘法是封閉的已知為數集，且至少含有兩個數，若此數集關于四則運算封閉，那么稱為數域，如有理數集就是一個數域，數集也為數域，下列說法正確的是 整數集為數域若，則為數域數域一定是無限集存在無窮多個數域【解析】 D；<教師備案> 關于集合對運算的封閉性，在上定義“”，關于加法封閉：即任意兩個自然數相加仍為自然數自然數對于減法是否封閉？不封閉，從拓展到數域的拓展都是由于對運算的不封閉所造成的對于乘法運算是封閉的，

18、但對于除法運算卻是不封閉的，于是從拓展到；而從是由于對于乘方的逆運算不封閉，包括后面的也是由于一些運算的不封閉【練習】設是整數集的一個非空子集，對于，如果，且，那么稱是的一個“孤立元”給定，由的個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個【拓展】對于集合，將按由大到小的順序排好，并在它們中間填入 符號，計算得到的數稱為集合的特征，記為；例如：，則；若，則；定義的特征為0. 計算集合與的特征； 證明：對于，則 若，請計算的所有子集的特征和【解析】 的特征是；的特征是； 分析：可以找個具體的集合先研究一下，如，由于前一個總比后一個大，分類考慮當有偶數個元素和奇數個元素時，；再如，把讓出來，

19、后面兩兩組對，每對都是小于0的數，此題說明，當想證明某式大于0時，可以采用分組的方法說明每個部分都大于0，當想證明小于某數時，可以先將這個數踢出去，證明剩余部分小于0，這種思想在以后學數列和不等式時會用的上證明：對分奇偶討論： 若為偶數，（時取等號） 當為奇數，綜上知， 先用一個簡單的考慮：，有4個子集，特征和為； 再考慮可以偷懶，凡是的子集都是的子集，只需寫與 不同的子集，怎樣寫不同子集？只需在子集上加一個元素3，每增加1個元素，子集個數一定會擴大一倍。 特征為：0 特征為： 3 1 2 我們發現上面每行的特征和都為的特征和為；現在我們考慮，仍然通過的子集進行拓展考慮：原集合特征新集合特征4我們得到的特征和為對于1，4，12，32，結合上面的過程，容易找到規律： 為什么是 ，特征為；，特征為；這兩個集合的特征和為7，因為隨著增加一個數后，前面的所有數變號，相加后抵消 對于集合，共個子集，將其分成有和無兩類，兩類之間一一對應 特征和為， 特征和為 特征和為共組，每兩組對應的特征和為，故所有的子集的特征和為故的所有子集的特征和為(從這里可以進一步思考，證明一個集合