1、2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽受中國數(shù)學(xué)會委托，2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽由黑龍江省數(shù)學(xué)會承辦。中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會和黑龍江數(shù)學(xué)會負(fù)責(zé)命題工作。2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試命題范圍不超出教育部2000年全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，但在方法的要求上有所提高。主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況，以及綜合和靈活運(yùn)用的能力。全卷包括8填空題和3道大題，滿分100分。答卷時間為80分鐘。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試命題范圍與國際數(shù)學(xué)奧林匹克接軌，在知識方面有所擴(kuò)展，適當(dāng)增加一些競賽教學(xué)大綱的內(nèi)容。全卷包括4道大題，其中一道平面幾何題，試卷滿分200分。答卷時問為150分鐘。

2、、填空（每小題7分，共56分）1,若函數(shù)fxX且f（n）xfffLfx，則f1.1x214442444n2.22 .已知直線L:xy90和圓M:2x2y8x8y10,點(diǎn)A在直線L上，B,C為圓M上兩點(diǎn)， 在ABC中，BAC45,AB過圓心M,則點(diǎn)A橫坐標(biāo)范圍為.y03.在坐標(biāo)平面上有兩個區(qū)域M和N,M為yx,N是隨t變化的區(qū)域，它由6.若方程lgkx21gx1僅有一個實(shí)根，那么7 .一個由若干行數(shù)字組成的數(shù)表， 從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個數(shù)之和，最后一行僅有一個數(shù)，第一行是前100個正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是（可以用指數(shù)表示）8.某車站每天8：009：00,9：

3、0010：00都恰有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時間是相互獨(dú)立的，其規(guī)律為到站時刻8：109：108：309：308：509：50概率161213一旅客8：20到車站，則它候車時間的數(shù)學(xué)期望為（精確到分）二、解答題221.（14分）設(shè)直線l:ykxm（其中k,m為整數(shù)）與橢圓1交于不同兩161222點(diǎn)A,B,與雙曲線匕1交于不同兩點(diǎn)C,D,問是否存在直線l,使得向量412不等式txt1所確定，t的取值范圍是ft.八一1114.使不等式Lan1n22n1a的值為.22xy5.橢圓 F 與1ab0上任意兩點(diǎn)ab小值為y2x0t1,則M和N的公共面積是函數(shù)1,2007-對一切正整

4、數(shù)n都成立的最小正整數(shù)3P,Q,若OPOQ,則乘積OP|OQ的最k的取值范圍是ACBD0,若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.22.（15分）已知p,qq0是實(shí)數(shù)，萬程xpxq0有兩個實(shí)根，數(shù)列4滿足aip,a2p2q,anpan1qan2n3,4,L（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（用，表示）；1（n）右p1,q,求an的刖n項(xiàng)和.43.（15分）求函數(shù)y尿2703xJx的最大和最小值.加試一、解答題(共4小題，每小題50分，共200分)1、如圖，M,N分別為銳角三角形ABC(AB)的外接圓上弧BC、AC的中點(diǎn).過點(diǎn)C作PCIIMN交圓于P點(diǎn)，I為ABC的內(nèi)心，連接PI并延長交圓

5、于T.求證：MPMTNPNT；在弧AB(不含點(diǎn)C)上任取一點(diǎn)Q(QWA,T,B),記AQC,4QCB的內(nèi)心分別為Ii,I2,求證：Q,Ii,1,T四點(diǎn)共圓.2、求證不等式：nk1.-1lnn-,n1,2,k1k12X31X32X33X1k滿足下面的性質(zhì)(O):對于數(shù)表P中的任意一列X2k(k1,2,，9)均存在某個X3ki1,2,3使得Xikk,使得Cm與l互素.4、在非負(fù)數(shù)構(gòu)成的39數(shù)表XllX12Xi3X14Xi5X16X17X18X19X21X22X23X24X25X26X27X28X29X31X32X33X34X35X36X37X38X39中每行的數(shù)互不相同，前6列中每列的三數(shù)之和為1

6、,X17X28X390,X27,X37,X18,X38,X19,X29均大于.如果P的前三列構(gòu)成的數(shù)表X11X12X13X21X22X23(ii)存在數(shù)表P中唯一的一列2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1 .評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)，選擇題只設(shè)7分的0分兩檔；其它各題的評閱，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次。2 .如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參照本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，解答題中至少4分為一個檔次，不要增加其它中間檔次。xff(x)2,12x29-a),則圓心M到直線AC的距離d=AM|sin45,

7、由直線AC與圓M342、填空(共1、若函數(shù)f8小題，每小題7分，共56分)_x目f(n)xfffLfx，則f994424n110解:(1)/f(x)f(x)x1x2產(chǎn)(x)x99x2故f(99)2、 已知直線為圓M上兩點(diǎn)，3,6110L:x在0和圓M:2x22y28x8y10,點(diǎn)A在直線L上，B,CABC中，BAC45,AB過圓心M,則點(diǎn)A橫坐標(biāo)范圍為解得3a6.3、在坐標(biāo)平面上有兩個區(qū)域M和N,M2ftt2t1所確定，t的取值范圍是1戶0為ywxy20t1,N是隨t變化的區(qū)域，它由不M和N的公共面積是函數(shù)2解：由題意知f(t)s加影部分面積SAOBSOCDSBEFt12f(x)解：設(shè)A(a,

8、相交，得4、使不等式_n的值為2009.1212n20071對一切正整數(shù)n都成立的最小正整數(shù)a3解：設(shè)f(n)12n1.顯然f(n)單調(diào)遞減.則由f(n)的最大值,1f(1)a2007,可得25、橢圓32009.小值為a2a2b解：設(shè)b0上任意兩點(diǎn)P,Q,若OPOQ,則乘積OP|OQ的最P(OPcos,OPsin),Q(OQcos(-),OQsin(23)由P、Q在橢圓上,OP2cos-2a.2sin(1)(1)+(2)得時，OP|OQ達(dá)到最小值2a2b2b2,OQ.2sin2a2cos(2)OPOPOQ11-27-2.ab6、若方程lgkx21g解：僅有一個實(shí)根, 那么k的取值范圍是k0或k

9、4當(dāng)且僅當(dāng)對(3)由求根公式得XI,X2kxkxkxx1(x(2k)x111k221)2(1)(2)(3),k24k(4)2一一.，k24k0k0或k4(i)當(dāng)k0時，由(3)得Kx2k20XfX210所以X1X2同為負(fù)根。又由(4)知，Xi10X210所以原方程有一個解Xi。k(ii)當(dāng)k4時，原方程有一個解X-11.2(iii)當(dāng)k4時，由(3)得KX2k20為X210所以X1,X2同為正根，且X1X2,不合題意，舍去。綜上可得k0或k4為所求。7、一個由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個數(shù)之和，最后一行僅有一個數(shù)，第一行是前100個正整數(shù)按從小到大排成的行，

10、則最后行的數(shù)是_101298(可以用指數(shù)表示)解：易知：(i)該數(shù)表共有100行；(ii)每一行構(gòu)成一個等差數(shù)列，且公差依次為d11,d22,d322,.,d99298(iii)a100為所求。設(shè)第n(n2)行的第一個數(shù)為an,則22an22n3(n1)2n故而。101298.到站時刻8：109：108：309：308：509：50概率161213anan1(an12n2)2an12n222嘰32n423an332n21)2n8、某車站每天8：009：00,9：0010：00都恰有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時間是相互獨(dú)立的，其規(guī)律為(精確到分)一旅客8：20到車站，則它候

11、車時間的數(shù)學(xué)期望為解：旅客候車的分布列為27候車時間（分）1030507090概率11111111P-23662636候車時間的數(shù)學(xué)期望為101230111709027361218二、解答題1、（14分）設(shè)直線l:ykxm（其中2k,m為整數(shù)）與橢圓162y121交于不同兩點(diǎn)A,UULTAC2y121交于不同兩點(diǎn)C,D,問是否存在直線UUTBD0,若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.解:（本小題滿分14分）設(shè)直線l:ykxm（其中k,m為整數(shù)）與橢圓使得向量22于不同兩點(diǎn)A,B,與雙曲線王匕1交于不同兩點(diǎn)C,uurAC412LUTBD0,若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存

12、在,解：由D,問是否存在直線請說明理由。x12x16L,21交12使得向量y2x16kxmv2消去y化簡整理得工11222(34k2)x2設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x21(8km)24(34k2)(4m248)c,，28kmx4m8km34k2.048(1)kxmy2消去y化簡整理得112(322k2)x2設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),則x32因?yàn)閄2x42kmx2km2.3k12_2_22(2km)24(3k2)(m2uuirACUUITBD0,所以（x412)0 x2)(x3x1)(y，(2)丫2)(y3y1)8分0.由8km34k22km3k2.所以2km0,或

13、(2)得23m434k212.由上試解得k3k2M.因m是整數(shù)，所以m的值為（1）和（2）得3k禽.因k是整數(shù)，所以k3,2,0.當(dāng)k0時,1,0,1,2,3.當(dāng)m由（1）0時,1,0,1.于滿足條件的直線共有9條。2、（15分）已知p,qq0是實(shí)數(shù)，方程x2pxq0有兩個實(shí)根14分,數(shù)列3n滿足a1p,a2p2q,anpan1qan2n3,4,L（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（用表不）；(n)若p1,1q一，求練的刖n項(xiàng)和.解法一：（I）4由韋達(dá)定理知anpxn1qxn0,又)an1P,所以an2,(n3,4,5.)整理得anan1(an1令bn數(shù)列an1an，則bnbn(n1,2,.).所以a

14、n2).bn是公比為的等比數(shù)列.，的首項(xiàng)為:所以bnb1a22n1a1n1an)21(n(1,2,.).所以an當(dāng)an4q1(n1,2,.).0,2,an1ann1(n1,2,.)變?yōu)閍n1ann1(n1,2,.).整理得,an1n1aanna1,(n1,2,.).所以，數(shù)列anna成公差為的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為所以當(dāng)an的通項(xiàng)公式為an（n2p4q。時，an1an整理得,an所以，數(shù)列ana1于是數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann1)21(n1)nn1,，一、(n1,2,.).2一(an成公比2一.所以1.),(n1,2,.).的等比數(shù)列，其首an1，一一，E一.由第（I）步的結(jié)果得，數(shù)2,x27.1

15、32.,x(13x).27.133313當(dāng)x0時等號成立。故y的最小值為3J3而又由柯西不等式得y2(xx2713x)211(111)(2x(x27)3(13x)121,23列an的通項(xiàng)公式為an(n1、nn11)(二)，所以，22234an的前n項(xiàng)和為以上兩式相減，整理得所以8n解法二:sn158n2-3222232223、 、 、 、 、 、由由韋達(dá)定理知特征方程當(dāng)a1q0的兩個根為解得A1A2當(dāng)解得A1（II3、解：0時，通項(xiàng)an1.故時，通項(xiàng)anA1,A2.故an(AiAiAi4n)(A(AanA2）同解法一。（15分）求函數(shù)yJx27函數(shù)的定義域?yàn)?,13。因?yàn)?24n2nln2nn

16、1-2n12n12n10,又2p,所以2n(n1,2,.).由a12,a232得A2)2A2)(1n(nn)151,2,.).由a1A2A2210分13x.x的最大和最小值.(11)若p1,q2p4q0,此時yxx2713x所以y1110分由柯西不等式等號成立的條件，得4x9(13x)x27,解得x9.故當(dāng)x9時等號成立。因此y的最大值為11.15分2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1 .評閱試卷時，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分；2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參照本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，10分為一個檔次，不要增加其它

17、中間檔次。一、解答題（共4小題，每小題50分，共200分）1、如圖，M,N分別為銳角三角形ABC（AB）的外接圓上弧BC、AC的中點(diǎn).過點(diǎn)C作PCIIMN交圓于P點(diǎn)，I為ABC的內(nèi)心，連接PI并延長交圓于T.求證：MPMTNPNT；在弧AB（不含點(diǎn)C）上任取一點(diǎn)Q（QWA,T,B）,記AQC,AQCB的內(nèi)心分別為I1,I2,MICMACACIMCBBCIMCI所以MC=MI同理NC=NI.于是NP=MJPM=NI.故四邊形MPNI為平行四邊形。因此SPMTSPNT（同底，等高）20分又P,N,T,M四點(diǎn)共圓，故TNPPMT180.由三角形面積公式1SPMT-PMMTsinPMT2求證：Q,Ii

18、,I2,T四點(diǎn)共圓.證明：（1）連NI,MI.由于PC/MNP,CMN共圓,PM/NC故PCM睡等腰梯形。因此NP/MC10分連AMCI,則AMWCI交于I,因?yàn)閏1SPNT-PNNTsinPNT211PNNTsinPMT2是PMMTPNNT(2)因?yàn)楣蔔TI1MTI2.從而I1QI2NQMNTMI1TI2.因此Q,I1,I2,T四點(diǎn)共圓2、求證不等式：nk11lnnk,使得cm與l互素.證法一：對任意正整數(shù)t,令mkt設(shè)p是l的任一素因子，只要證明：p/若p/k!,則由l(k!).我們證明(cm，l)1.cm.k!Cmk(mki)i1k(itl(k!)i1kii1k!(modp).即p不整除

19、上式，故p/cm若p|k!,設(shè)1使p|k!,但p1/k!.則p1|l(k!).故由20分k!C；(mki)i1k(itl(k!)i1kii11k!(modp).1_k1_k_k及p|k!,且p/k!,知p|k!Cm且p/k!Cm.從而p/Cm50分證法二：對任意正整數(shù)t,令mktl(k!)2.我們證明(Cm,l)1.設(shè)p是l的任一素因子，只要證明：p/Cm.若p/k!,則由kkk!Cm(mki)i1k2(itl(k!)i1kii1k!(modp).即p不整除上式，故p/Cm若p|k!,設(shè)1使p|k!,但p1/k!.p1|l(k!)2.故由k1kk!Cm(mki)i1k2(itl(k!)i1ki

20、i11k!(modp).一1_k1_k._k及p|k!,且p/k!,知p|k!Cm且p/k!Cm.從而p/Cm分4、在非負(fù)數(shù)構(gòu)成的39數(shù)表x11x12x13x14x15x16x17x18X19Px21x22x?3x24*25x26*27*28x29x32x33x34x35x36x37x38x39中每行的數(shù)互不相同，前6列中每列的三數(shù)之和為1,“x28x390,x27,*37,飛，38,XI9,x29均大于.如果P的前三列構(gòu)成的數(shù)表x11x12x13SX21X22X23x31x32x3320分50 x31i1,2,3使得Xik&UiminXii,Xi2,X3.求證：(i)最小值UiminXii,

21、X2,X3,iXik*2卜，k*w1,2,3使得33數(shù)表XiiX12X1k*SX21X22X2k*X31X32X3k*仍然具有性質(zhì)(O).證明：(i)假設(shè)最小值UiminXi1，X2，Xi3,i1,2,3不是取自數(shù)表S的不同列。則存在一列不含任何 5.不妨設(shè)uiXi2,i1,2,3.由于數(shù)表P中同一行中的任何兩個元素都不等，于是uiXi2,i1,2,3.另一方面，由于數(shù)表S具有性質(zhì)()，在(3)中取k=2,則存在某個io1,2,3使得&2Ui0.矛盾10分(ii)由抽屜原理知minXii,Xi2,minX21,X22,minX31,X32中至少有兩個值取在同一列。不妨設(shè)minX21,X22X2

22、2,minX31,X32X32.X31X32X33記M=1,2,.,9,令集合IkM|XikminXii,*,i1,3顯然1kM|XikX11,X3kX32且1,2,31.因?yàn)閄18,X381X11,X32，所以8故I.于是存在kI使得X2k*maXX2k|kI.顯然，k1,2,3.卜面證明33數(shù)表X11X12X1k*SX21X22X2k*X31X32X3k*具有性質(zhì)().從上面的選法可知U；:minXi1,Xi2,Xik*minXi1,2,(i1,3).這說明X1k*minX1I,X12U，X3k*minX31,X32U3又由S滿足性質(zhì)()，在(3)中取kk，推彳Xx2k*u2,于是u2minx21,x22,x2k*x2k*._.下證對任意的kM,存在某個i1,2,3使得Ujxk.假若不然，則Xik滿足下面的性質(zhì)(O):對于數(shù)表P中的任意一列x2k(k1,2,9)均存在某個X3k1,2,3一定自數(shù)表S的不同歹U.(ii)存在數(shù)表P中