1、第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波1第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波2 本章內容本章內容 3.1 靜電場分析靜電場分析 3.2 導電媒質中的恒定電場分析導電媒質中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析 3.4 靜態場的邊值問題及解的惟一性定理靜態場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法鏡像法 3.6 分離變量法分離變量法 靜態電磁場：靜態電磁場：場量不隨時間變化，包括：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關聯，構成統一的電磁場時變情況下，電場和磁場相互關聯，構成統一的電磁場 靜態情況下，電場和磁場由各自的

2、源激發，且相互獨立靜態情況下，電場和磁場由各自的源激發，且相互獨立 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波33.1 靜電場分析靜電場分析 學習內容學習內容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數電位函數 3.1.3 導體系統的電容與部分電容導體系統的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 3.1.5 靜電力靜電力第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波42. 邊界條件邊界條件0ED微分形式：微分形式：ED本構關系：本構關系：1. 基本方程基本方程0)()(2121EEeDDenSn0ddlEqSDCS積分形式：積分形式：0)(0)(212

3、1EEeDDenn02121ttSnnEEDD或或若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即S S0 0，則，則ttnnEEDD2121或或3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波5介質介質2 2介質介質1 121212E1Ene212211221121/tantannnntntDDEEEE 在靜電平衡的情況下，導體內部的電場為在靜電平衡的情況下，導體內部的電場為0，則導體表面的，則導體表面的邊界條件為邊界條件為 0EeDenSn0tSnED或或 場矢量的折射關系場矢量的折射關系 導體表面的邊界條件導體表面的邊界條件 介質介

4、質1 1111Ene導體第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波60E由由即即靜電場可以用一個標量函數的梯度來表示，靜電場可以用一個標量函數的梯度來表示，標量函數標量函數 稱為靜稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。電場的標量電位或簡稱電位。1. 電位函數的定義電位函數的定義E3.1.2 電位函數電位函數第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波72. 電位的表達式電位的表達式對于連續的體分布電荷，由對于連續的體分布電荷，由面電荷的電位：面電荷的電位： 1()( )d4VrrVCR故得故得點電荷的電位：點電荷的電位：( )4qrCR()1( )d4SSrrSCR()1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)

5、1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR線電荷的電位：線電荷的電位：rrR第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波83. 電位差電位差兩端點乘兩端點乘 ，則有，則有ldE將將d)ddd(ddyyyyxxllE上式兩邊從點上式兩邊從點P到點到點Q沿任意路徑進行積分，得沿任意路徑進行積分，得關于電位差的說明關于電位差的說明 P、Q 兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至點移至Q 點點 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處；所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處； 電位差也稱為電壓，可用電位差也稱為電

6、壓，可用U 表示；表示； 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關。電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關。)()(ddQPlEQPQPP、Q 兩點間的電位差兩點間的電位差電場力做電場力做的功的功第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波9 靜電位不惟一，可以相差一個常數，即靜電位不惟一，可以相差一個常數，即)(CC選參考點選參考點令參考點電位為零令參考點電位為零電位確定值電位確定值( (電位差電位差) )兩點間電位差有定值兩點間電位差有定值 選擇電位參考點的原則選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義；應使電位表達式有意義； 應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區域，

7、通常取無應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區域，通常取無 限遠作電位參考點；限遠作電位參考點； 同一個問題只能有一個參考點。同一個問題只能有一個參考點。4. 電位參考點電位參考點 為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即定值，所以該點的電位也就具有確定值，即第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波10在均勻介質中，有在均勻介質中，有5. 電位的微分方程電位的微分方程2在無源區

8、域，在無源區域，0EED02標量泊松方程標量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波116. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設設P1和和P2是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為別為 1和和 2。當兩點間距離當兩點間距離l0時時 若介質分界面上無自由電荷，即若介質分界面上無自由電荷，即 導體表面上電位的邊界條件：導體表面上電位的邊界條件：0dlim21021PPllESnDDe)(21D由由 和和12媒質媒質2媒質媒質121l2P1P0Snn1122常數，常數，Sn21Snn1122第3章 電磁場與電磁波電磁

9、場與電磁波12 例例 3.1.1 求電偶極子的電位求電偶極子的電位. . 解解 在球坐標系中在球坐標系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二項式展開，由于，得用二項式展開，由于，得dr ,cos21drr302020444cos)(rrpreprqdrr代入上式，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。dqp+q電偶極子電偶極子zodq2r1rr),(rP第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波13ErErrdd21sinCr 將將 和和 代入上式，代入

10、上式，解得解得E線方程為線方程為ErE 由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區電場強度由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區電場強度)sincos2(430eerqr)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位線等位線電場線電場線電偶極子的場圖電偶極子的場圖電場線微分方程電場線微分方程：等位線方程等位線方程：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波14 解解 選定均勻電場空間中的一點選定均勻電場空間中的一點o為坐標原點，而任意點為坐標原點，而任意點P 的的位置矢量為位置矢量為r，則，則000( )( )ddPPooPoElErE r rrrrrrggg若選擇

11、點若選擇點o為電位參考點，即為電位參考點，即 ，則，則( )0o0( )PE r rrg000( )coszPE re r EE r rrr rgg 在球坐標系中，取極軸與在球坐標系中，取極軸與 的方向一的方向一致，即致，即 ，則有，則有00zEe E0Ezree z000( )()cosxzPE re E ee zE rrrrgg 在圓柱面坐標系中，取在圓柱面坐標系中，取 與與x軸方向一致，即軸方向一致，即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E0ExzoPr 例例3.1.2 求均勻電場的電位分布。求均勻電場的電位分布。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波15xyzL-L( , , ) z

12、 zddlzRz 解解 采用圓柱面坐標系，令線電荷與采用圓柱面坐標系，令線電荷與 z 軸相重合，中點位于軸相重合，中點位于坐標原點。由于軸對稱性，電位與坐標原點。由于軸對稱性，電位與 無關。無關。在帶電線上位于在帶電線上位于 處的線元處的線元 ，它，它到點到點 的距離的距離 ，則則22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求長度為求長度為2L、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。的均勻帶電線的電位。0l第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波162

13、222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當，則可得到無限長直線電荷的電位。當 時，上式可寫為時，上式可寫為 LRL 當當 時，上式變為無窮大，這是因為電荷不是分布在有限區時，上式變為無窮大，這是因為電荷不是分布在有限區域內，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上域內，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上一個任意常數，則有一個任意常數，則有L 002( )ln2lLrC并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇= a 的點為電位參的點為電位參考點，

14、則有考點，則有002ln2lLCa 00( )ln2lar第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波17 例例3.1.4 兩塊無限大接地導體平板分別置于兩塊無限大接地導體平板分別置于x = 0和和 x = a 處，處，在兩板之間的在兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。示。求兩導體平板之間的電位和電場。0S 解解 在兩塊無限大接地導體平板之間，除在兩塊無限大接地導體平板之間，除 x = b 處有均勻面電處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數滿足一維拉普拉荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位

15、函數滿足一維拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解為方程的解為obaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( )x2( ) x第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波180110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用邊界條件，有利用邊界條件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx

16、 bxxxx 處，處，最后得最后得0 x 處，處，1(0)0 x a2( )0a 處，處，所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由此解得第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波19電容器廣泛應用于電子設備的電路中：電容器廣泛應用于電子設備的電路中： 在電子電路中，利用電容器來實現濾波、移相、隔直、旁在電子電路中，利用電容器來實現濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用；路、選頻等作用； 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜 電路電路； 在電力系統中，可利用電容器來改善系統的功率因數，以在電力系統中，可利用電容器來改善系統的

17、功率因數，以 減少電能的損失和提高電氣設備的利用率；減少電能的損失和提高電氣設備的利用率； 3.1.3 導體系統的電容與部分電容導體系統的電容與部分電容第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波20 電容是導體系統的一種基本屬性，是描述導體系統電容是導體系統的一種基本屬性，是描述導體系統 儲存電荷儲存電荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立導體的電容定義為所帶電量孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即qC 1. 電容電容 孤立導體的電容孤立導體的電容 兩個帶等量異號電荷（兩個帶等量異號電荷（ q）的導的導 體組成的電容器，其電容為體組成的電容器，其電容為12qqCU 電容

18、的大小只與導體系統的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質電容的大小只與導體系統的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質 的特性參數有關，而與導體的帶電量和電位無關。的特性參數有關，而與導體的帶電量和電位無關。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波21 (1) 假定兩導體上分別帶電荷假定兩導體上分別帶電荷+q 和和 -q ； (2) 計算兩導體間的電場強度計算兩導體間的電場強度E； 計算電容的步驟：計算電容的步驟：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。21dlEU (3) 由由 ，求出兩導體間的電位差；，求出兩導體間的電位差；第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波22 解解：設內導體的電荷

19、為設內導體的電荷為q q，則由高斯定理可求得內外導體間，則由高斯定理可求得內外導體間的電場的電場44rr22qqDe,EerrababqbaqrEUba004)11(4d同心導體間的電壓同心導體間的電壓ababUqC04球形電容器的電容球形電容器的電容aC04當當 時，時，babo 例例3.1.4 同心球形電容器的內導體半徑為同心球形電容器的內導體半徑為a、外導體半徑為、外導體半徑為b，其間填充介電常數為其間填充介電常數為的均勻介質。的均勻介質。求此球形電容器的電容。求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容孤立導體球的電容第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波23 例例 3.1.5 如圖所示的平行

20、雙線傳輸線，導線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a，兩導線，兩導線的軸線距離為的軸線距離為D，且，且D a，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。l 解解 設兩導線單位長度帶電量分別為設兩導線單位長度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應用高斯定理和疊加原導線的表面上。應用高斯定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點理，可得到兩導線之間的平面上任一點P 的電場強度為的電場強度為lDa011( )()2lxE xexDx兩導線間的電位差兩導線間的電位差210011d()dln2Dalla

21、DaUElxxDxa故單位長度的電容為故單位長度的電容為001F/mln()ln()lCUDaaD axyzxDa第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波24 例例3.1.6 同軸線內導體半徑為同軸線內導體半徑為a，外導體半徑為為，外導體半徑為為b，內外導體，內外導體間填充的介電常數為間填充的介電常數為 的均勻介質，的均勻介質，求同軸線單位長度的電容。求同軸線單位長度的電容。( )2lEe內外導體間的電位差內外導體間的電位差1( )dd2bblaaUEell 解解 設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為 和和 ，應用高斯定理可得到內外導體間任一點的電場強度

22、為應用高斯定理可得到內外導體間任一點的電場強度為故得同軸線單位長度的電容為故得同軸線單位長度的電容為12F/mln( / )lCUb aab同軸線同軸線ln( / )2lb a第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波252 部份電容部份電容在多導體系統中，任何兩個導體間的電壓都要受到其余導體在多導體系統中，任何兩個導體間的電壓都要受到其余導體 上的電荷的影響。因此，研究多導體系統時，必須把電容的上的電荷的影響。因此，研究多導體系統時，必須把電容的 概念加以推廣，引入部分電容的概念。概念加以推廣，引入部分電容的概念。 在由在由N個導體組成的系統中，由于電位與各導體所帶的電荷個導體組成的系統中，由于電

23、位與各導體所帶的電荷之間成線性關系，所以，各導體的電位為之間成線性關系，所以，各導體的電位為1(1, 2 ,)Nii jjjqiN式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自電位系數自電位系數()i jij 互電位系數互電位系數（1） 電位系數電位系數第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波26 i j 在數值上等于第在數值上等于第i 個導體上的總電量為一個單位、而其余個導體上的總電量為一個單位、而其余 導體上的總電量都為零時，第導體上的總電量都為零時，第 j 個導體上的電位，即個導體上的電位，即i j 只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的

24、介質 參數有關，而與各導體的電位和帶電量無關；參數有關，而與各導體的電位和帶電量無關；具有對稱性，即具有對稱性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNii jjqqqqi jNqi j 0 ； 電位系數的特點：電位系數的特點：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波27若已知各導體的電位，則各導體的電量可表示為若已知各導體的電位，則各導體的電量可表示為 1(1, 2 ,)Nii jjjqiN 式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自電容系數或自感應系數自電容系數或自感應系數 ()i jij 互電容系數或互感應系數互電容系數或互感應系數 （2） 電容系數電容系數第3章 電磁場

25、與電磁波電磁場與電磁波28 i j 在數值上等于第在數值上等于第 j個導體上的個導體上的電位為一個單位、而其余導電位為一個單位、而其余導 體接地時，體接地時，第第 i 個導體上的電量，即個導體上的電量，即 i j 只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質 參數有關，而與各導體的電位和帶電量無關；參數有關，而與各導體的電位和帶電量無關；具有對稱性，即具有對稱性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNiijjqi jNi i 0 、 ；0()ijij 電容系數的特點：電容系數的特點：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁

26、波29將各導體的電量表示為將各導體的電量表示為 式中：式中：（3） 部分電容部分電容(1, 2 ,)iN()Nijiji iij iCC111()()NNNNii jjijjijiijiijijijijjj ijq 導體導體 i 與導體與導體 j 之間的部分電容之間的部分電容()ijijCij 導體導體 i 與地之間的部分電容與地之間的部分電容 NjjiiiC1第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波30 Ci i 在數值上等于全部導體的電位都為一個單位時，在數值上等于全部導體的電位都為一個單位時，第第 i 個導個導 體上的電量；體上的電量； Ci j 只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍

27、的介質只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質 參數有關，而與各導體的電位和帶電量無關；參數有關，而與各導體的電位和帶電量無關；具有對稱性，即具有對稱性，即Ci j = Cj i 。Ci j 0 ； Ci j 在數值上等于第在數值上等于第 j 個導體的電位為一個單位、其余個導體的電位為一個單位、其余 導體都接地時，導體都接地時，第第 i 個導體上的電量；個導體上的電量；()ij 部分電容的特點：部分電容的特點：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波31 在多導體系統中，把其中任意兩個在多導體系統中，把其中任意兩個導體作為電容器的兩個電極，設在這導體作為電容器的兩個電極，設在這兩個電極間

28、加上電壓兩個電極間加上電壓U，極板上所帶，極板上所帶電荷分別為電荷分別為 ，則比值，則比值 稱為這稱為這兩個導體間的等效電容。兩個導體間的等效電容。q/q U（4）等效電容等效電容如圖所示，有三個部分電容如圖所示，有三個部分電容112212CCC、導線導線 1 和和 2 間的等效電容為間的等效電容為11221121122C CCCCC導線導線 1 和大地間的等效電容為和大地間的等效電容為12222111222C CCCCC導線導線 2 和大地間的等效電容為和大地間的等效電容為12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地大地上空的平行雙導線大地上空的平行雙導線第3章

29、 電磁場與電磁波電磁場與電磁波32 如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所作的總功將全部轉換成電場能量，或者說電場能程中外加電源所作的總功將全部轉換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功。量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功。靜電場能量來源于建立電荷系統的過程中外源提供的能量靜電場能量來源于建立電荷系統的過程中外源提供的能量靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。能量。 任何形式的帶電系統，都要經過從沒有電

30、荷分布到某個最終任何形式的帶電系統，都要經過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立電荷分布的建立(或充電或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。電荷之間的相互作用力而作功。3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波331. 靜電場的能量靜電場的能量 設系統從零開始充電，最終帶電量為設系統從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為、電位為 。 充電過程中某一時刻的電荷量為充電過程中某一時刻的電荷量為q、電位為、電位為 。 (01) 當當增加為增加為(+ d)時，外電源做功為時，外電源做功為: (q d)

31、。 對對從從0 到到 1 積分，即得到外電源所做的總功為積分，即得到外電源所做的總功為101d2qq 根據能量守恒定律，此功也就是電量為根據能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電的帶電體具有的電場能量場能量We ，即，即12eWq 對于電荷體密度對于電荷體密度為的體分布電荷，體積元為的體分布電荷，體積元dV中的電荷中的電荷dV具具有的電場能量為有的電場能量為1dd2eWV第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波34VWVed21SWSSed21故體分布電荷的電場能量為故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，對于面分布電荷，電場能量為電場能量為111dd222iiiieSiiSiiSS

32、iiiWSSq 對于多導體組成的帶電系統，則有對于多導體組成的帶電系統，則有iq 第第i個導體所帶的電荷個導體所帶的電荷i 第第i個導體的電位個導體的電位式中：式中：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波352. 電場能量密度電場能量密度 從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。EDwe21電場能量密度：電場能量密度：1d2eVWD E V電場的總能量：電場的總能量：積分區域為電場積分區域為電場所在的整個空間所在的整個空間2111ddd222eVVVWD E VE E VEV 對于線性、各向同性介質，則有對于線性、各向同性介質，

33、則有2111222ewD EE EE 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波36由于體積由于體積V外的電荷密度外的電荷密度0，若將上，若將上式中的積分區域擴大到整個場空間，結式中的積分區域擴大到整個場空間，結果仍然成立。只要電荷分布在有限區域果仍然成立。只要電荷分布在有限區域內，當閉合面內，當閉合面S無限擴大時，則有無限擴大時，則有211 O( O()DRR)、2111d O(.d ) O()0SSDSSR RR故故11dd22SVDSE D V 推證：推證：()DDD ()ddVSD VDSE D R0S11dd22eVVWVDV1()d2VDDV第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波37 例例

34、3.1.7 半徑為半徑為a 的球形空間內均勻分布有電荷體密度為的球形空間內均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場能量。荷，試求靜電場能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 計算計算 VeVEDWd21 根據高斯定理求得電場強度根據高斯定理求得電場強度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVed21d21d2121220210第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波38)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 計算

35、計算 VeVWd21 先求出電位分布先求出電位分布 故故5202022021154d4)3(221d21arrraVWaVe第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波39 已知帶電體的電荷分布，原則上，根據庫侖定律可以計算帶電已知帶電體的電荷分布，原則上，根據庫侖定律可以計算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復雜的帶電系統，根據庫體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復雜的帶電系統，根據庫侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計算靜電力。計算靜電力。 虛位移法虛位移法：假設第假設第i個帶電個帶電導體在電場力導體在電場力Fi的作

36、用下發生位移的作用下發生位移dgi，則電場力做功，則電場力做功dAFidgi，系統的靜電能量改變為，系統的靜電能量改變為dWe。根據根據能量守恒定律，該系統的功能關系為能量守恒定律，該系統的功能關系為dddSiieWF gW其中其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。 具體計算中，可假定各帶電導體的電位不變，或假定各帶電具體計算中，可假定各帶電導體的電位不變，或假定各帶電導體的電荷不變。導體的電荷不變。3.1.5 靜電力靜電力第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波401. 各帶電導體的電位不變各帶電導體的電位不變 此時，各帶電導體應分別與外電壓源

37、連接，外電壓源向系統此時，各帶電導體應分別與外電壓源連接，外電壓源向系統提供的能量提供的能量11dd()dNNSiiiiiiWqq1111dd()d22NNeiiiiiiWqq系統所改變的靜電能量系統所改變的靜電能量即即d2dSeWW此時，所有帶電體都不和外電源相連接，則此時，所有帶電體都不和外電源相連接，則 dWS0，因此，因此2. 各帶電導體的電荷不變各帶電導體的電荷不變ddiieF gW 式中的式中的“”號表示電場力做功是靠減少系統的靜電能量來實現的。號表示電場力做功是靠減少系統的靜電能量來實現的。ddiieF gWeiiWFg 不變不變eiiWFg q不變不變第3章 電磁場與電磁波電磁

38、場與電磁波41例例3.1.8 有一平行金屬板電容器，有一平行金屬板電容器，極板面積為極板面積為lb，板間距離為，板間距離為d，用一塊，用一塊介質片（寬度為介質片（寬度為b、厚度為、厚度為d，介電常數，介電常數為為）部分填充在兩極板之間，如圖所示。）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設極板間外加電壓為設極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應，忽略邊緣效應，求介質片所受的靜電力。求介質片所受的靜電力。0()lx bbxCdd所以電容器內的電場能量為所以電容器內的電場能量為220001()22ebUWCUlxxd0200()2exUWbUFxd不變由由 可求得介質片受到的靜電力為可求得介質片受到的靜電力為

39、eiiWFg不變 解解 平行板電容器的電容為平行板電容器的電容為部分填充介質的平行板電容器部分填充介質的平行板電容器dbU0lx由于由于0，所以介質片所，所以介質片所受到的力有將其拉受到的力有將其拉進電容器的趨勢進電容器的趨勢第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波4222022 ()eqdqWCblxx2020()2 ()exqWdqFxblxx 不變000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 此題也可用式此題也可用式 來計算來計算eiiWFg q不變不變設極板上保持總電荷設極板上保持總電荷q不變，則不變，則由此可得由此可得由于由于同樣得到同樣得到第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波43

40、3.2 導電媒質中的恒定電場分析導電媒質中的恒定電場分析 由由J J E E 可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導體中產生電場的電荷作定向運動，但導體中的電的電場，雖然導體中產生電場的電荷作定向運動，但導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產生荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產生的電場稱為恒定電場。的電場稱為恒定電場。 恒定電場與靜電場重要區別：恒定電場與靜電場重要區別： （1 1）恒定電場可以存在導體內部。）恒定電場可以存在導體內部。 （2 2）恒定電場中有電場能量的損耗）恒定電場中

41、有電場能量的損耗, ,要維持導體中的恒定電要維持導體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。 恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質。恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質。 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波44EJ0d0dlESJCS00EJE0)(3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件1. 1. 基本方程基本方程 恒定電場的基本方程為恒定電場的基本方程為微分形式：微分形式：積分形式：積分形式：0 J)(rJ 恒定電場的基本場矢量是電流密度恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場

42、強度和電場強度)(rE 線性各向同性導電媒質的本構關系線性各向同性導電媒質的本構關系0)(EEJ0 E 恒定電場的電位函數恒定電場的電位函數0E02由由若媒質是均勻的，則若媒質是均勻的，則 均勻導電媒質中均勻導電媒質中沒有體分布電荷沒有體分布電荷第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波452. 恒定電場的邊界條件恒定電場的邊界條件0dlEC0dSJS媒質媒質2 2媒質媒質1 121212E1Ene0)(21JJen0)(21EEen 場矢量的邊界條件場矢量的邊界條件nnJJ21即即ttEE21即即 導電媒質分界面上的電荷面密度導電媒質分界面上的電荷面密度nnnSJJJeDDe)()()(22112

43、2211121場矢量的折射關系場矢量的折射關系212211221121/tantannnntntJJEEEE第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波46 電位的邊界條件電位的邊界條件nn221121, 恒定電場同時存在于導體內部和外部，在導體表面上的電場恒定電場同時存在于導體內部和外部，在導體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因 而導體表面不是等位面；而導體表面不是等位面；ab11、 說明：說明：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波47媒質媒質2 2媒質媒質1 12122E1E)(12媒質媒質2 2媒質媒質1 120

44、12Ene1E)0(1 如如 21、且、且 290，則則 10， 即電場線近似垂直于與良導體表面。即電場線近似垂直于與良導體表面。 此時，良導體表面可近似地看作為此時，良導體表面可近似地看作為 等位面；等位面； 若媒質若媒質1為理想介質為理想介質，即即 10，則則 J1=0，故故J2n=0 且且 E2n=0，即導體中，即導體中 的電流和電場與分界面平行的電流和電場與分界面平行。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波483.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效

45、，則其解也必有相同的形式，求解這形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數學問題。只需求出一種場的解，就兩種場分布必然是同一個數學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。的方法稱為比擬法。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波49恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬基本方程基本方程ED,EEJ0202nnttDDEE2121 nnttJJEE2121 靜電場（靜電場（ 區域）區域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,Ed0,d0SCD

46、SEl0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本構關系本構關系位函數位函數邊界條件邊界條件恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）對應物理量對應物理量靜電場靜電場EEDJqI恒定電場恒定電場GC第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波50 例例3.2.1一個有兩層介質的平行板電容器，其參數分別為一個有兩層介質的平行板電容器，其參數分別為 1、 1和和 2、 2，外加電壓，外加電壓U。求介質面上的自由電荷密度。求介質面上的自由電荷密度。 解解：極板是理想導體，：極板是理想導體，為等位面，電流沿為等位面，電流沿z方向。方向。1212nnJJJJJ 由由12121122,JJJJEE 121212

47、11221212()()ddddUUUE dE dJJU 12nnSDD 由由121212,SSDJDJ 下下上上21122121212112()SDDJUdd 介介U1d2d11, 22, zo第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波51 例例3.2.2 填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為a，外導，外導體半徑為體半徑為c，介質的分界面半徑為，介質的分界面半徑為b。兩層介質的介電常數為。兩層介質的介電常數為 1和和 2 、電導率為、電導率為 1和和 2 。設內導體的電壓為。設內導體的電壓為U0 ，外導體接地。求：，外導體接地。求：（1）兩導體之間的電流密度

48、和電場強度分布；（）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質分界面）介質分界面上的自由電荷面密度。上的自由電荷面密度。J1212I外導體外導體內導體內導體介質介質2 2介質介質1abc11、22、0U第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波52 （1 1）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為I,I,則由則由 可得電流密度可得電流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介質中的電場：介質中的電場：222()2JIEebc 解解 電流由內導體流向外導體，在分界面上只有法向分量，電流由內導體流向外導體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布

49、。可先假設電流為所以電流密度成軸對稱分布。可先假設電流為I，由求出電流密度由求出電流密度 的表達式，然后求出的表達式，然后求出 和和 ，再由，再由 確確定出電流定出電流 I。J012ddbcabUEE1E2E第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波5312021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故兩種介質中的電流密度和電場強度分別為故兩種介質中的電流密度和電場強度分別為120212ln()ln()UIb ac bps sss=+01212ddlnln22bcabIbIcUEEab由

50、于由于于是得到于是得到第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波5412011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b Sne D （2）由）由 可得，介質可得，介質1內表面的電荷面密度為內表面的電荷面密度為介質介質2外表面的電荷面密度為外表面的電荷面密度為兩種介質分界面上的電荷面密度為兩種介質分界面上的電荷面密度為J2112I第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波55 工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜

51、的芯線與外殼之間，填充不導電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導率遠遠小于金填充不導電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導率遠遠小于金屬材料的電導率，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓屬材料的電導率，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓U 時，時，必定會有微小的漏電流必定會有微小的漏電流 J 存在。存在。 漏電流與電壓之比為漏電導，即漏電流與電壓之比為漏電導，即UIG 其倒數稱為絕緣電阻，即其倒數稱為絕緣電阻，即IUGR13.2.3 漏電導漏電導第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波56(1) 假定兩電極間的電流為假定兩電極間的電流為I；(2) 計算兩電極間的電流密度計算兩電極間的電流密度 矢量矢

52、量J；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出兩導，求出兩導 體間的電位差；體間的電位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求電導。所求電導。21dlEUUIG/ 計算電導的方法一計算電導的方法一： 計算電導的方法二計算電導的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U； (2) 計算兩電極間的電位分布計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E; (4) 由由 J = E 得到得到J; (5) 由由 ，求出兩導體間，求出兩導體間 電流；電流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求電導。求電導。ESSJIdUIG/ 計算電導的方

53、法三計算電導的方法三：靜電比擬法：靜電比擬法：CG第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波57 例例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設內外的半徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設內外的半徑分別為a、b，長度為長度為l ，其間媒質的電導率為，其間媒質的電導率為、介電常數為、介電常數為。解解：直接用恒定電場的計算方法直接用恒定電場的計算方法電導電導)/ln(2ablUIG絕緣電阻絕緣電阻ablGRln211baablIlIlEUln2d2dlba則則IlIJ2lIJE2設由內導體流向外導體的電流為設由內導體流向外導體的電流為I。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波58012222000, 0U 方程通解

54、為方程通解為21CC 例例3.2.4 在一塊厚度在一塊厚度h 的導電板上，的導電板上， 由兩個半徑為由兩個半徑為r1和和r2的圓的圓弧和夾角為弧和夾角為 0的兩半徑割出的一段環形導電媒質，如圖所示。計的兩半徑割出的一段環形導電媒質，如圖所示。計算沿算沿 方向的兩電極之間的電阻。設導電媒質的電導率為方向的兩電極之間的電阻。設導電媒質的電導率為。 解：解： 設在沿設在沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿則電流沿 方方向流動，而且電流密度是隨向流動，而且電流密度是隨 變化的。但容易變化的。但容易判定電位判定電位 只是變量只是變量 的函數，因此電位函數的函數，因此電位函數

55、 滿足一維滿足一維拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入邊界條件代入邊界條件可以得到可以得到10020/,CUCU環形導電媒質塊環形導電媒質塊r1hr2 0J第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波59電流密度電流密度00UJEe兩電極之間的兩電極之間的電流電流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故故沿沿 方向的兩電極之間的電阻方向的兩電極之間的電阻為為0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以00UEee 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波603.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位恒定磁場的矢量磁位和

56、標量磁位3.3.3 電感電感3.3.4 恒定磁場的能量恒定磁場的能量3.3.5 磁場力磁場力 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波610HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 邊界條件邊界條件本構關系：本構關系：SnnJHHeBBe)(0)(2121SttnnJHHBB21210或或若分界面上不存在面電流，即若分界面上不存在面電流，即J JS S0 0，則，則積分形式積分形式: :0)(0)(2121HHeBBenn或或002121ttnnHHBB3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件第

57、3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波62 矢量磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標量量 的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由由AA 0BBA 即恒定磁場可以用一個矢量函數的旋度來表示。即恒定磁場可以用一個矢量函數的旋度來表示。 磁矢位的任意性是因為只規定了它的旋度，沒有規定其散度磁矢位的任意性是因為只規定了它的旋度，沒有規定其散度造成的。為了得到確定的造成的。為了得到確定的A，可以對，可以對A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁

58、場中通常規定，并稱為庫侖規范。場中通常規定，并稱為庫侖規范。0A()AAA 1. 恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位恒定磁場的矢量磁位和標量磁位第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波63 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在無源區：在無源區：ABHJ0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表達式磁矢位的表達式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ()111()()()()()()J rJ rJ

59、 rJ rRRRR 31()RRR 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波64 磁矢位的邊界條件磁矢位的邊界條件dddSSCBSASAl( )( )d4VJ rA rVR由此可得出由此可得出（可以證明滿足（可以證明滿足 ） 0A對于面電流和細導線電流回路，磁矢位對于面電流和細導線電流回路，磁矢位分別為分別為( )( )d4SSJrA rSR面電流面電流：細線電流細線電流：d( )4CIlA rR 利用磁矢位計算磁通量：利用磁矢位計算磁通量：ddCSAlBS12ttAA0A d0SAS12nnAA12AA12()nSeHHJ/HA121211()nSeAAJ第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波65

60、 例例 3.3.1 求小圓環電流回路的遠區矢量磁位與磁場。小圓形回求小圓環電流回路的遠區矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為路的半徑為a，回路中的電流為，回路中的電流為I 。 解解 如圖所示，由于具有軸對稱性，如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均矢量磁位和磁場均與與 無關，計算無關，計算xz平面平面上的矢量磁位與磁場上的矢量磁位與磁場將不失一般性。將不失一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圓環電流小圓環