1、9.3 空間幾何外接球和內(nèi)切球1 公式1.球的表面積：S4R22.球的體積：VR3二概念1. 空間幾何體的外接球：球心到各個頂點距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球2. 空間幾何體的內(nèi)切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球考向一 長（正）方體外接球【例1】若一個長、寬、高分別為4，3，2的長方體的每個頂點都在球的表面上，則此球的表面積為_【答案】【解析】因為長方體的頂點都在球上，所以長方體為球的內(nèi)接長方體，其體對角線為球的直徑，所以球的表面積為，故填.【舉一反三】1.已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為_【答案】【解析】設(shè)正方體棱

2、長為a，則6a218，a.設(shè)球的半徑為R，則由題意知2R3，R.故球的體積VR3×3.2.如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是_.【答案】【解析】由幾何體的三視圖可得該幾何體是直三棱柱，如圖所示：其中，三角形是腰長為的直角三角形，側(cè)面是邊長為4的正方形，則該幾何體的外接球的半徑為.該幾何體的外接球的表面積為.故答案為.考向二 棱柱的外接球【例2】直三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱長均為23，則此三棱柱的外接球的表面積為（ ）A12B16C28D36【答案】C【解析】由直三棱柱的底面邊長為23，得底面所在平面截其外接球所成的圓O的半徑r=

3、2，又由直三棱柱的側(cè)棱長為23，則球心到圓O的球心距d=3，根據(jù)球心距，截面圓半徑，球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，我們易得球半徑R滿足：R2r2+d2=7，外接球的表面積S4R2=28故選：C【舉一反三】1. 設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點都在一個球面上，且球的表面積是40，AB=AC=AA1，BAC=120°，則此直三棱柱的高是_.【答案】【解析】設(shè)三角形BAC邊長為，則三角形BAC外接圓半徑為，因為所以 即直三棱柱的高是.2.直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ABBC，AB=3，BC=4，AA1=5，若三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_【答案】【

4、解析】ABC-A1B1C1是直三棱柱，A1AAC ，又三棱柱的所有頂點都在同一球面上，A1C 是球的直徑，R=A1C2 ；ABBC ，AC=32+42=5 ，A1C2=52+52=50 ；故該球的表面積為S=4R2=4A1C22=A1C2=50 考向三 棱錐的外接球類型一：正棱錐型【例3-1】已知正四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為底面正方形的邊長為正四棱錐的體積為，解得在中，由勾股定理可得： 即，解得故選【舉一反三】1.已知正四棱錐的

5、各條棱長均為2，則其外接球的表面積為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】設(shè)點P在底面ABCD的投影點為,則平面ABCD,故而底面ABCD所在截面圓的半徑,故該截面圓即為過球心的圓，則球的半徑R=,故外接球的表面積為故選C.2如圖，正三棱錐的四個頂點均在球的球面上，底面正三角形的邊長為3，側(cè)棱長為，則球的表面積是ABCD【答案】C【解析】如圖，設(shè)，又，在中，得：，故選：類型二：側(cè)棱垂直底面型【例3-2】在三棱錐中， ， ， 面，且在三角形中，有（其中為的內(nèi)角所對的邊），則該三棱錐外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】設(shè)該三棱錐外接球的半徑為.在三角形中， （

6、其中為的內(nèi)角所對的邊）.根據(jù)正弦定理可得，即.由正弦定理， ，得三角形的外接圓的半徑為.面該三棱錐外接球的表面積為故選A.【舉一反三】1.已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（ ）A. 2143 B. 1273 C. 1153 D. 1243【答案】D【解析】根據(jù)幾何體的三視圖可知，該幾何體為三棱錐A-BCD其中AD=DC=2，BD=4且AD底面ABC，BDC=120°根據(jù)余弦定理可知：BC2-BD2+DC2-2BDDCcos120°=42+22-2×4×2×-12=28可知BC=27根據(jù)正弦定理可知BCD外接圓直徑2r=B

7、CsinBDC=27sin120°=473r=2213，如圖，設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，球心為O，過球心O向AD作垂線，則垂足H為AD的中點DH=1，在RtODH中，R2=OD2=22132+1=313外接球的表面積S=4R3=4×313=1243故選D2.已知三棱錐中， 平面，且， .則該三棱錐的外接球的體積為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】， 是以 為斜邊的直角三角形其外接圓半徑 ，則三棱錐外接球即為以C為底面，以 為高的三棱柱的外接球三棱錐外接球的半徑滿足 故三棱錐外接球的體積 故選D.類型三：側(cè)面垂直與底面型【例3】已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖

8、所示，則四棱錐P-ABCD外接球的表面積是（ ）A. 20 B. 1015 C. 25 D. 22【答案】B【解析】由三視圖得，幾何體是一個四棱錐A-BCDE,底面ABCD是矩形，側(cè)面ABE底面BCDE.如圖所示，矩形ABCD的中心為M,球心為O,F為BE中點，OGAF.設(shè)OM=x,由題得ME=5,在直角OME中，x2+5=R2(1)，又MF=OG=1,AF=32-22=5,AG=R2-1,GF=x,R2-1+x=5(2)，解（1）（2）得R2=10120,S=4R2=1015.故選B.【舉一反三】1.九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對幾何體外接球的研

9、究，如下圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是（ ）A. 81 B. 33 C. 56 D. 41【答案】D【解析】由三視圖可得，該幾何體是一個如圖所示的四棱錐P-ABCD，其中ABCD是邊長為4的正方形，平面PAB平面ABCD 設(shè)F為AB的中點，E為正方形ABCD的中心，O為四棱錐外接球的球心，O1為PAB外接圓的圓心，則球心O為過點E且與平面ABCD垂直的直線與過O1且與平面PAB垂直的直線的交點由于PAB為鈍角三角形，故O1在PAB的外部，從而球心O與點P在平面ABCD的兩側(cè)由題意得PF=1,OE=O1F,OO1=EF，設(shè)球半徑為R，則

10、R2=OE2+OB2=EF2+O1P2,即OE2+(22)2=22+(1+OE)2，解得OE=32，R2=(32)2+(22)2=414，S球表=4R2=41選D2已知如圖所示的三棱錐的四個頂點均在球的球面上，和所在平面相互垂直，則球的表面積為【答案】C【解析】，的外接圓的半徑為，和所在平面相互垂直，球心在邊的高上，設(shè)球心到平面的距離為，則，球的表面積為故選：3三棱錐的底面是等腰三角形，側(cè)面是等邊三角形且與底面垂直，則該三棱錐的外接球表面積為A B C D 【答案】B【解析】 如圖， 在等腰三角形中， 由，得，又，設(shè)為三角形外接圓的圓心，則，再設(shè)交于，可得，則在等邊三角形中， 設(shè)其外心為，則過

11、作平面的垂線， 過作平面的垂線， 兩垂線相交于，則為該三棱錐的外接球的球心， 則半徑該三棱錐的外接球的表面積為故選：類型四：棱長即為直徑【例3-4】已知底面邊長為2，各側(cè)面均為直角三角形的正三棱錐P-ABC的四個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為（ ）A. 3 B. 2 C. 43 D. 4【答案】A【解析】由題意得正三棱錐側(cè)棱長為1，將三棱錐補成一個正方體（棱長為1），則正方體外接球為正三棱錐外接球，所以球的直徑為1+1+1=3，故其表面積為S=4××(32)2=3選A【舉一反三】1已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑若平面平面，三棱錐的體積為，則球的體積為A

12、BCD【答案】B【解析】如下圖所示，設(shè)球的半徑為，由于是球的直徑，則和都是直角，由于，所以，和是兩個公共斜邊的等腰直角三角形，且的面積為，為的中點，則，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，所以，三棱錐的體積為，因此，球的體積為，故選：考向四 墻角型【例4】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積是（ ）A B C D【答案】B【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由一個正方體切去一個正方體的一角得到的故：該幾何體的外接球為正方體的外接球，所以：球的半徑，則：.故選：B【舉一反三】1.已知四面體ABCD的四個面都為直角三角形，且AB平面BCD，AB=BD=CD=2，若該四面體的四個頂

13、點都在球O的表面上，則球O的表面積為（ ）A3B23C43D12【答案】D【解析】BD=CD=2且BCD為直角三角形 BDCD又AB平面BCD，CD平面BCD CDABCD平面ABD由此可將四面體ABCD放入邊長為2的正方體中，如下圖所示：正方體的外接球即為該四面體的外接球O正方體外接球半徑為體對角線的一半，即R=1222+22+22=3球O的表面積：S=4R2=12本題正確選項：D2已知一個棱長為2的正方體被兩個平面所截得的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是ABCD【答案】D【解析】該幾何體是把正方體 截去兩個四面體 與，其外接球即為正方體 的外接球，由外接球的半徑該幾何體外

14、接球的表面積是故選：3在三棱錐一中，、兩兩垂直，則三棱錐的外接球的表面積為ABCD【答案】A【解析】在三棱錐一中，、兩兩垂直，以、為棱構(gòu)造棱長為1的正方體，則這個正方體的外接球就是三棱錐的外接球，三棱錐的外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積為：故選：考向五 內(nèi)切球【例5】正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切求球的表面積與體積【答案】，得：，【舉一反三】1球內(nèi)切于圓柱， 則此圓柱的全面積與球表面積之比是A B C D 【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，此圓柱的全面積與球表面積之比是：故選：2若三棱錐中，其余各棱長均為 5 ，則三棱錐內(nèi)切球的表面積

15、為【答案】【解析】由題意可知三棱錐的四個面全等， 且每一個面的面積均為設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則三棱錐的體積，取的中點，連接，則平面，解得內(nèi)切球的表面積為故答案為：3一個幾何體的三視圖如圖所示， 三視圖都為腰長為 2 的等腰直角三角形， 則該幾何體的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比為A B C D 【答案】A【解析】 由題意可知幾何體是三棱錐， 是正方體的一部分， 如圖： 正方體的棱長為 2 ，內(nèi)切球的半徑為，可得：，解得，幾何體的外接球的半徑為：，該幾何體的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比為：故選：考向六 最值問題【例6】已知球的內(nèi)接長方體中，若四棱錐的體積為2，則當(dāng)球的表面積最小時，球的半徑為21【

16、答案】B【解析】由題意，球的內(nèi)接長方體中，球心在對角線交點上，可得：四棱錐的高為是長方體的高），長方體的邊長，設(shè)，高為，可得：，即，那么：，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）故選：【舉一反三】1已知，是球的球面上兩點，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選：1已知正三棱柱的底面邊長為3，外接球表面積為，則正三棱柱的體積為（ ）ABCD【答案】D【解析】正三棱柱的底面邊長為3,故底面的外接圓的半徑為：外接球表面積為 外接球的球心在上下兩個底面的外心MN的連線的中點上，記

17、為O點，如圖所示在三角形中， 解得 故棱柱的體積為： 故答案為：D.2已知，是球的球面上的五個點，四邊形為梯形，面，則球的體積為（ ）ABCD【答案】A【解析】取中點，連接且 四邊形為平行四邊形，又 為四邊形的外接圓圓心設(shè)為外接球的球心，由球的性質(zhì)可知平面作，垂足為 四邊形為矩形，設(shè)，則，解得： 球的體積：本題正確選項：3已知三棱錐的各頂點都在一個球面上，球心在上，底面，球的體積與三棱錐體積之比是，則該球的表面積等于 （ ）ABCD【答案】D【解析】由于，且平面，所以，設(shè)球的半徑為，根據(jù)題目所給體積比有，解得，故球的表面積為.4某三棱錐的三視圖如圖所示，則此三棱錐的外接球表面積是（）ABCD【

18、答案】B【解析】根據(jù)幾何體得三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為：下底面為邊長為2的等邊三角形，有一長為2的側(cè)棱垂直于下底面的三棱錐體，故：下底面的中心到底面頂點的長為：，所以：外接球的半徑為：故：外接球的表面積為：故選：B5如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，已知其俯視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的體積是（ ）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)三視圖可知，幾何體是底面為矩形，高為的四棱錐，且側(cè)面PAB垂直底面ABCD，如圖所示：還原長方體的長是2，寬為1，高為設(shè)四棱錐的外接球的球心為O，則過O作OM垂直平面PAB，M為三角形PAB的外心，作ON垂直平面ABCD，則N為

19、矩形ABCD的對角線交點， 所以外接球的半徑 所以外接球的體積 故選A6九章算術(shù)中將底面為長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”現(xiàn)有一陽馬，其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形.若該陽馬的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（ ）A6B6C9D24【答案】B【解析】如圖所示，該幾何體為四棱錐P-ABCD底面ABCD為矩形，其中PD底面ABCDAB=1，AD=2，PD=1則該陽馬的外接球的直徑為PB=1+1+4=6該陽馬的外接球的表面積為：4×(62)2=6故選：B7如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E、F分別是AB、BC的中點，將ADE，BEF，CDF分別沿DE，

20、EF，F(xiàn)D折起，使得A、B、C三點重合于點A'，若四面體A'EDF的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積為( )A5B6C8D11【答案】B【解析】由題意可知A'EF是等腰直角三角形，且A'D平面A'EF三棱錐的底面A'EF擴展為邊長為1的正方形，然后擴展為正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個球，正四棱柱的對角線的長度就是外接球的直徑，直徑為：1+1+4=6球的半徑為62，球的表面積為4·(62)2=6故選：B8某簡單幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點都在球O的球面上，則球O的表面積是：（ ）A8B123C12

21、D48【答案】C【解析】由三視圖還原幾何體如圖，可知該幾何體為直三棱柱，底面為等腰直角三角形，直角邊長為2，側(cè)棱長為2把該三棱柱補形為正方體，則正方體對角線長為22+22+22該三棱柱外接球的半徑為：3則球O的表面積是：4×(3)2=12故選：C9已知三棱錐O-ABC的底面ABC的頂點都在球O的表面上，且AB=6，BC=23，AC=43，且三棱錐O-ABC的體積為43，則球O的體積為（ ）A323B643C1283D2563【答案】D【解析】由O為球心，OAOBOCR，可得O在底面ABC的射影為ABC的外心，AB6，BC=23，AC=43，可得ABC為AC斜邊的直角三角形，O在底面A

22、BC的射影為斜邊AC的中點M，可得13OM12ABBC=16OM123=43，解得OM2，R2OM2+AM24+1216，即R4，球O的體積為43R3=4364=2563故選：D10我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學(xué)用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，若，則塹堵的外接球的體積為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意，在直三棱柱中，因為，所以為直角三角形，且該三角形的外接圓的直徑，又由，所以直三棱柱的外接球的直徑，所以，所以外接球的體積為，故選C.11在三棱錐中.，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】B【解析】因為，由余弦定理可

23、求得，再由正弦定理可求得的外接圓的半徑，因為，所以P在底面上的射影為的外心D，且，設(shè)其外接球的半徑為，則有，解得，所以其表面積為，故選B.12一個各面均為直角三角形的四面體有三條棱長為2，則該四面體外接球的表面積為（ ）A6B12C32D48【答案】B【解析】由題得幾何體原圖如圖所示，其中SA平面ABC,BC平面SAB,SA=AB=BC=2,所以AC=2,設(shè)SC中點為O,則在直角三角形SAC中，OA=OC=OS=,在直角三角形SBC中，OB=,所以O(shè)A=OC=OS=OB=,所以點O是四面體的外接球球心，且球的半徑為.所以四面體外接球的表面積為.故選：B13已知在三棱錐中，平面平面，若三棱錐的頂

24、點在同一個球面上，則該球的表面積為（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)題意, 為截面圓的直徑, 設(shè)球心到平面 的距離為,球的半徑為。平面平面， 到平面的距離為由勾股定理可得球的表面積為故選D。14已知三棱錐的體積為6，在中，且三棱錐的外接球的球心恰好是的中點，則球的表面積等于（ ）ABCD【答案】C【解析】在中，由余弦定理得 是直角三角形設(shè)三棱錐的高為則三棱錐體積，解得取邊的中點為，則為外接圓圓心連接，則平面，如下圖所示：則則球的表面積本題正確選項：14已知三棱錐各頂點均在球上，為球的直徑，若，三棱錐的體積為4，則球的表面積為（ ）ABCD【答案】B【解析】原題如下圖所示：由，得：則設(shè)外接圓圓

25、心為，則由正弦定理可知，外接圓半徑：設(shè)到面距離為由為球直徑可知： 則球的半徑球的表面積本題正確選項：15已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，則三棱柱外接球的體積為（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，球的球心為，因為三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，所以球的球心為的中點，且直線與上、下底面垂直，且，所以在中，即球的半徑為，所以球的體積為，故選D。16在三棱錐中，平面平面，則三棱錐的外接球體積為ABCD【答案】C【解析】平面平面，平面平面，平面，平面， ，所以，是邊長為的等邊三角形，由正弦定理得的外接圓的直徑為，所以，該球的直徑為，則，因此，三棱錐的外接球體積為故選：17已知三棱錐P-

26、ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA面ABC，則此三棱錐的外接球的表面積為（）ABCD【答案】C【解析】底面中， ，的外接圓半徑，面三棱錐外接球的半徑，所以三棱錐外接球的表面積故選：C18三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且 ,若該三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】由于底面是直角三角形，其外心是斜邊的中點，設(shè)上下底面的外心為，由于三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，故球心位于的中點處，畫出圖像如下圖所示.設(shè)球的半徑為，則，故球的體積為，故選C.19一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，可知

27、該幾何體是一個四棱錐如圖：該四棱錐的外接球是所對應(yīng)長方體的外接球且長方體的長寬高分別為2，2,2故幾何體的外接球半徑R滿足：4R2=4+4+12=20，解得： ，故：S= ，故選：A20我國古代九章算術(shù)將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉月需.如圖是一個鱉月需的三視圖，其中側(cè)視圖是等腰直角三角形，則該鱉月需的外接球的表面積是（ ）ABCD【答案】B【解析】還原該幾何體為三棱錐，其中平面BCD，BDBC，把三棱錐擴展為長方體，長方體的體對角線的長，就是外接球的直徑，此時2R=AC=該鱉月需的外接球的表面積是故選：B21在三棱錐中，底面，則三棱錐外接球的體積為（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意

28、知，在三棱錐中，所以,又由底面，所以,在直角中，所以,根據(jù)球的性質(zhì)，可得三棱錐外接球的直徑為，即，所以球的體積為，故選B.22.已知四棱錐，平面，.若四面體的四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】因為，所以，四點共圓，.由，得，所以.設(shè)的中點為，的中點為，因為平面，所以平面.易知點為四面體外接球的球心，所以，.故選：C23一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為ABCD【答案】A【解析】由已知中知幾何體的正視圖是一個正三角形，側(cè)視圖和俯視圖均為三角形，可得該幾何體是有一個側(cè)面垂直于底面，高為，底面是一個等腰直角三角

29、形的三棱錐，如圖則這個幾何體的外接球的球心在高線上，且是等邊三角形的中心，這個幾何體的外接球的半徑則這個幾何體的外接球的表面積為故選：A24已知四面體外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜邊為2，則這個球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題可得：為的中點，取中點，則為的中位線，由等腰直角三角形可得：點為外接圓圓心，且所以平面，所以球心到面的距離為，外接球球半徑為，故球表面積為.故選：C25已知三棱錐A-BCD中，BCCD，AB=AD=2，BC=1，CD=3，則該三棱錐的外接球的體積為()A43B83C823D36【答案】A【解析】如圖：BCCD，BC=1，CD=3 BD=2AB=A

30、D=2 ABADBD的中點O為外接球球心故外接球半徑為1體積V=43×13=43本題正確選項：A26已知三棱錐的體積為，各頂點均在以為直徑球面上，則這個球的表面積為_。【答案】16【解析】由題意，設(shè)球的直徑是該球面上的兩點，如圖所示，因為，所以為直角三角形，設(shè)三棱錐的高為，則，解得，取的中點，連接，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，所以,在直角中，,即球的半徑為，所以球的表面積為.27表面積為的正四面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為_【答案】【解析】如圖所示，將正四面體補形成一個正方體，表面積為的正四面體，正四面體棱長為，解得，正方體的棱長是，又球的直徑是正方體的對角線，設(shè)球半徑是

31、R，球的體積為故答案為：28已知三棱錐中，側(cè)棱,當(dāng)側(cè)面積最大時，三棱錐的外接球體積為_【答案】【解析】三棱錐的側(cè)面積為：，相互之間沒有影響當(dāng)上述三個角均為直角時，三棱錐的側(cè)面積最大此時，兩兩互相垂直以，為長、寬、高的長方體的外接球即為三棱錐的外接球外接球半徑三棱錐的外接球的體積：本題正確結(jié)果：29已知直三棱柱的6個頂點都在球的球面上，若，則球 的表面積為_【答案】【解析】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以補成長方體，如下圖所示：,所以球的直徑為6，球的表面積為。30在三棱錐P-ABC中，平面PAB平面ABC，ABC是邊長為23的等邊三角形，其中PA=PB=7，則該三棱錐外接球的表面積為_【答案

32、】654【解析】如圖所示，作AB中點D，連接PD、CD，在CD上作三角形ABC的中心E，過點E作平面ABC的垂線，在垂線上取一點O，使得PO=OC。因為三棱錐底面是一個邊長為23的等邊三角形，E為三角形的中心，所以三棱錐的外接球的球心在過點E的平面ABC的垂線上，因為PO=OC，P、C兩點在三棱錐的外接球的球面上，所以O(shè)點即為球心，因為平面PAB平面ABC，PA=PB，D為AB中點，所以PD平面ABCCD=CA2-AD2=12-3=3，CE=23CD=2，DE=CD-CE=1，PD=PB2-BD2=2，設(shè)球的半徑為r，則有PO=OC=r，OE=r2-4，(PD-OE)2+DE2=PO2，即(2-r2-4)2+12=r2，解得r2=6516，故表面積為S=4r2=654。31已知圓錐的母線長為5，底面半徑為4，則它的外接球的表面積為_【答案】【解析】如圖，可得，取中點，作交延長線于，則為的外心，也即圓錐外接球的球心，設(shè)，則，得，外接球半徑，圓錐外接球的表面積32四棱錐中，底面為矩