1、.第三章導數及其應用一、變化率與導數1、定義：設 y fx 在 xx0處取得一個增量x x 0 .函數值也得到一個增量y, 稱y 為從 x0到 x0xx的平均變化率 . 若當時 x0時，有極限存在，則稱此極限值為函數y在 xx0處的瞬時變化率，記為 limylimfx0xfx0，也稱為函x0xx 0x數 y在 xx0處的導數，記作f x0或 y x x0 ,即 f x0limfx0xfx0 .x0x說明：導數即為函數yfx 在 xx0處的瞬時變化率.2、幾何意義 :x0時， Q沿 fx 圖像無限趨近于點P時，切線 PT的斜率 .即 f x0kPT .3、導函數（簡稱為導數）y fx 稱為導函數

2、，記作ylimf x x f xy ，即 fx =y = limx.x 0x 0x二、常見函數的導數公式1 若 f (x)c (c 為常數 )，則 f (x)0 ；2若 f (x)x ,則 f ( x)x 1 ;3若 f (x)sin x ,則 f ( x)cos x4若 f (x)cos x ,則 f ( x)sin x ;5若 f (x)ax ,則 f ( x) a x ln a6若 f(x)ex則 f ( x) ex,;.7若 f (x)logax ,則 f (x)1x ln a8若 f (x)ln x ,則 f (x)1x三、導數的運算法則1. f ( x)g (x)f(x)g (x)

3、2. f ( x)g( x)f( x)g(x) f (x) g ( x)3. f ( x) f ( x) g (x)f (x) g ( x)g( x) g( x) 2四、復合函數求導yf (u) 和 ug (x) ,稱則 y 可以表示成為x 的函數 ,即 yf ( g( x) 為一個復合函數，則yf (g ( x)g ( x)五、導數在研究函數中的應用1. 函數的單調性與導數 :（ 1）在某個區間 ( a, b) 內，如果f ( x) 0，那么函數yf ( x) 在這個區間單調遞增；如果 f ( x)0 ，那么函數 yf (x) 在這個區間單調遞減 .說明：若 f x 在定義域區間上不是單調的

4、，則常常用fx 的單調區間 .x =0的點劃分 f若 f x 在某個區間恒有 f x0，則 fx 是常函數；若 f x 在某個區間內只有有限個點使 f x0，其余恒有 f x0,則 fx 仍為增函數 .例如： f xx3在 R上有 f 00，其余恒有 f x0,， f xx3仍為 R上的增函數，其函數圖像為：;.（2）求單調區間的步驟：求 fx 的定義域；求導 f x ；令fx，解集在定義域內的部分為增區間.0令fx，解集在定義域內的部分為減區間.0說明：當函數有多個遞增區間或遞減區間時，不能用“ ”“、或 ”相連，應該用 “”，隔開或用 “和 ”.（3）一種常見的題型：已知函數的單調性求參數

5、的取值范圍，利用“若 f x 單調遞增，則0；若 fx 單調遞減，f x則 f x0?來求解，注意等號不能省略，否則可能漏解！2. 函數的極值與導數（ 1）極大、極小值得定義：若對 x0附近的所有的點，都有f xf x0若對 x0附近的所有的點，都有f xf x0且 f x0 =0，則稱 f x0 是函數 fx 的一個極且f x0 =0，則稱 f x0是函數 fx 的一個極大值 .稱 x0是極大值點 .小值 .稱 x0是極小值點 .說明：極大值與極小值統稱為極值，極大值與極小值點統稱為極值點，極值點是實數而不是點.（ 2）求函數的極值的步驟：確定定義區間，求導 f x ；求方程 f x =0的

6、解 x0；檢查 x0左右兩邊 f x 的符號：I、如果在 x0附近的左側 f x0,右側 f x0, 那么 fx0是極大值 ;II 、如果在 x0附近的左側 f x0, 右側 f x0, 那么 fx0是極小值 ;III 、如果在 x0左右兩側導函數不改變符號，那么f x 在 x0處無極值 .;.說明：在解答過程中通常用列表：3、函數的最值與導數求函數 yf ( x) 在 a, b 上的最大值與最小值的步驟 求函數 yf (x) 在 (a,b) 內的極值； 將函數 yf (x) 的各極值與端點處的函數值f (a) ， f (b) 比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.說明：“最值”是整體概念， “極值”是個局部概念.4、生活中的優化問題解決優化問題的基本思路：;.擴展：常見的導函數構造函數型：1、關系式為 “加 ”型1 f /2 xf /3 xf /xf x0 構造 ex f x/f/ xf xexxf x0 構造 xf x/xf xxfxnf x0 構造 xn f x/ xnxn 1 f xxn 1 xf / x nf xxn f注意對 x 的符號進行討論2、關系式為 “減 ”型1 f /2 xf /3 xf /xfx0構造f