1、精選優質文檔-傾情為你奉上MATLAB語言、控制系統分析與設計大作業平衡桿小球位置控制系統設計與仿真專 業：電氣工程及其自動化 班 級：設 計 者：學 號：華中科技大學電氣與電子工程學院2008年1月平衡桿小球位置控制系統設計與仿真一、問題描述與實驗要求A ball is placed on a beam, see figure below, where it is allowed to roll with 1 degree of freedom along the length of the beam. A lever arm is attached to the beam at one e

2、nd and a servo gear at the other. As the servo gear turns by an angle theta, the lever changes the angle of the beam by alpha. When the angle is changed from the vertical position, gravity causes the ball to roll along the beam. A controller will be designed for this system so that the ball's po

3、sition can be manipulated. For this problem, we will assume that the ball rolls without slipping and friction between the beam and ball is negligible. The constants and variables for this example are defined as follows: Mmass of the ball0.11 kgRradius of the ball0.015 mDlever arm offset0.03 mGgravit

4、ational acceleration9.8 m/s2Llength of the beam1.0 mJball's moment of inertia9.99e-6 kgm2Rball position coordinateAlphabeam angle coordinateThetaservo gear angleSystem EquationsThe Lagrangian equation of motion for the ball is given by the following:Linearization of this equation about the beam

5、angle, alpha = 0, gives us the following linear approximation of the system:The equation which relates the beam angle to the angle of the gear can be approximated as linear by the equation below:Substituting this into the previous equation, we get:Design requirementsThe design criteria for this prob

6、lem are: · Settling time less than 3 seconds· Overshoot less than 5%1數學模型的建立將上面推導的簡化式做拉普拉斯變換，得到：變化后得到：化簡為：2設計目標希望能精確小球的位置，即要求小球的穩態誤差為零，同時希望因擾動引起的穩態誤差也能為零。對于動態性能的要求，希望小球能較快且平穩，期望調節時間Ts為3s，超調量小于5%。根據時域和頻域指標的關系，可將時域性能指標轉換為頻率響應的約束條件。如系統的帶寬與閉環系統自然振蕩頻率wn和阻尼比z有關，而zwn與調節時間有關。相角裕度PM和阻尼比z有關，進而與超調量相關

7、。 （1-4）zeta = -log(.05)/sqrt(pi2+(log(.05)2);PM = 100*zeta; wbw = (4/(3*zeta)*sqrt(1-2*zeta2)+sqrt(4*zeta4-4*zeta2+2);得 z>0.6901，PM>69.0107 deg，wbw>1.9785 rad/sec3開環響應 首先用MATLAB描述上述模型，并觀察開環系統階躍響應。J=9.99e-6;m=0.11;R=0.015;g=9.8;d=0.03;l=1.0;num=m*g*d*R*R;den=(J+m*R*R)*l 0 0;ball=tf(num,den)b

8、ode(ball)margin(ball)Bode圖如下：圖1-1 小球位置開環頻率特性曲線由圖1-1知原系統的相角裕度為0 deg，截止頻率為0.458rad/sec，由此判斷閉環系統的調節時間不能滿足設計要求。期望的截止頻率為1.9785rad/sec，相角裕度為70 deg，而校正前系統在1.9785rad/sec處的幅度為-20dB，相角為-180 deg。需增加系統截止頻率和相角裕度。二、閉環系統控制器設計1 概述將小球的位置做完控制量，構成閉環，系統閉環控制框圖如圖2-1所示，控制器設計采用串聯校正，設計思想采用開環頻率特性設計方法，即根據系統的開環頻率性能指標確定校正器參數。圖2

9、-1 閉環系統控制框圖設計步驟：（1）根據穩態誤差要求確定系統控制器結構；根據調節時間的要求確定截止頻率。（2）確定未校正系統需增加的最大相位超前角及新的幅值穿越頻率；（3）確定控制器的傳遞函數；（4）校驗，驗算校正后系統性能。2 控制器設計（1）確定控制器的結構由上圖可知，為了達到象角要求，需要增加一個積分環節并添加一個零點，構成PI控制器，零點的位置以低于截止頻率10倍頻程即可。由期望的截止頻率wc所對應的幅值Mag（wc），確定PI的增益Kp，Ki。 （2-1）（2-2）由此確定PI控制器的傳遞函數為：（2-3）J=9.99e-6;m=0.11;R=0.015;g=9.8;d=0.03;

10、l=1.0;num=m*g*d*R*R;den=(J+m*R*R)*l 0 0;ball=tf(num,den);w=logspace(0,2,101);mag,phase,w=bode(num,den,w)L=find(w>5.5);wc=w(L(1)Mag=20*log10(mag(L(1)Kp=10(-Mag/20)Ki=0.1*wc*Kpsysc=tf(Kp Ki,1 0)bode(sysc*ball);margin(sysc*ball);圖2-2 PI校正后系統BODE圖根據圖2-2所示，加PI校正后系統的截止頻率為2rad/sec滿足要求，但相角裕度PM為-5.7 deg，需

11、增加滯后校正環節，欲減小的相角由超調量的要求確定。（2）確定超前校正環節參數根據超前校正步驟，已知待補償相角和計算校正器參數a和T。（2-4）（2-5）由此確定超前校正控制器的傳遞函數為：從上面的圖可以看出，相角裕度應該再提高96°。但是可知，超前校正控制器的加入會影響截止頻率，從而減小相角裕度，所以在這里，我們選用大于96°的超前角100°。PM=100;a = (1+sin(PM*pi/180)/(1-sin(PM*pi/180);mag0,phase0,w0=bode(sysc*ball);adb=20*log10(mag0);am=-10*log10(a)

12、;wgc=spline(adb,w0,am);T = 1/(wgc*sqrt(a);con2 = tf(a*T 1,T 1);w = logspace(2,3,101);bode(con2*sysc*ball,w)margin(con2*sysc*ball)圖形如下：圖2-3 加超前校正的系統BODE圖 可以看到相角裕度為78.3°，滿足相角裕度要求，截止頻率比期望的大了一些。3）確定控制器的零極點和增益通過調整增益K1使系統的截止頻率在指定范圍。mag1,phase1,w1=bode(con2*sysc*ball,w)L1=find(w1>5);wc1=w1(L1(1)Mag

13、1=20*log10(mag1(L1(1)K1=10(-Mag1/20)bode(K1*con2*sysc*ball,w)margin(con2*sysc*ball);圖2-4 校正后的系統BODE圖（4）校驗，驗算校正后系統性能。這時候的時域響應情況為：figure(2)sys_cl = feedback(K1*sysc*con2*ball,1); %CLOSED-LOOP SYSTEMt = 0:0.01:1;step(sys_cl,t)圖2-5 校正后閉環系統階躍響應由上圖可知，響應時間非常的短，遠遠低于期望的3sec，但是系統的超調量為33%，也遠大于需要的5%。在這里，反復的調整參數

14、，PM于截止頻率Wc。最后當PM=85，Wc=2rad/sec時，得到如下響應曲線：圖2-6 校正后閉環系統階躍響應響應的超調量為4%，響應時間為0.66sec，符合設計要求。校驗擾動下的穩態誤差:d_cl=feedback(ball,K1*sysc*con2); % DISTRUBANCE STEPsys_d=zpk(d_cl)figure(3)step(sys_d,t)圖形如下：圖2-7 校正后擾動輸入系統階躍響應三、結論 由以上的仿真和設計可以看到，設計出的系統完全符合要求：控制器為：controller= K1*sysc*con2系統傳遞函數如下： 0.20946 s (s+229)-

15、(s+0.44) (s+0.2086) (s2 + 228.4s + 2.484e004)性能指標為超調量4%，調節時間0.66s，單位階躍輸入和擾動輸入的穩態誤差均為0。四、課程學習體會控制理論作為一門以應用為主的學科，其靈魂在于工業應用。因此，在長期逗留在書本上的學習中，我們雖然表面上掌握了許多控制理論知識，但是感性認識的缺乏以及控制中許多約定俗成的規范，使得我們腦海中始終沒有形成一幅控制理念的圖畫，感覺課程深奧，難懂。非常幸運的，我們能夠開設一門matlab課程設計的課程，它讓我們在一臺簡單的計算機上，就能夠看到控制的過程；簡單的換掉幾個參數，就能很快仿真出新的控制結果，給我們理解控制理

16、論以及其他種種缺乏感性認識的課程提供了強有力的工具。讓人欣喜！感謝老師在教學過程中的指導！五、附錄本文所設計程序清單：J=9.99e-6;m=0.11;R=0.015;g=9.8;d=0.03;l=1.0;num=m*g*d*R*R;den=(J+m*R*R)*l 0 0;ball=tf(num,den);bode(num,den)margin(num,den)figure(2)w=logspace(0,2,101);mag,phase,w=bode(num,den,w)L=find(w>2);wc=w(L(1)Mag=20*log10(mag(L(1)Kp=10(-Mag/20)Ki=

17、0.1*wc*Kpsysc=tf(Kp Ki,1 0)bode(sysc*ball,w)margin(sysc*ball)figure(3)PM=85;a = (1+sin(PM*pi/180)/(1-sin(PM*pi/180);mag0,phase0,w0=bode(sysc*ball);adb=20*log10(mag0);am=-10*log10(a);wgc=spline(adb,w0,am);T = 1/(wgc*sqrt(a);con2 = tf(a*T 1,T 1);w = logspace(2,3,101);bode(con2*sysc*ball,w)margin(con2*sysc*ball)figure(4)mag1,phase1,w1=bode(con2*sysc*ball,w)L1=find(w1>2);wc1=w1(L1(1)Mag1=20*log10(mag1(L1