1、第一章 集合與常用邏輯用語知識結(jié)構(gòu)【知識概要】 一、集合的概念、關(guān)系與運算 1. 集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性. 在應(yīng)用集合的概念求解集合問題時，要特別注意這三個性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，元素的互異性往往就是檢驗的重要依椐。 2. 集合的表示方法：列舉法、描述法. 有的集合還可用Venn圖表示，用專用符號表示，如等。 3. 元素與集合的關(guān)系：我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，若元素是集合A的元素，則，否則。 4. 集合與集合之間的關(guān)系：̹ 子集：若，則，此時稱集合A是集合B的子集，記作。 真子集：若，且存在元素，且，則稱A是B的真子集，記作：A

2、 B.相等：若，且，則稱集合A與B相等，記作AB.。5. 集合的基本運算：交集： 并集： 補集：，其中為全集，。 6. 集合運算中常用結(jié)論： ，。 ，。， ，。 由個元素所組成的集合，其子集個數(shù)為個?；樵}逆命題否命題逆否命題若p，則q若q，則p互逆逆否互為互否互否互逆逆否 空集是任何集合的子集，即。在解題中要特別留意空集的特殊性，它往往就是導(dǎo)致我們在解題中出現(xiàn)錯誤的一個對象，避免因忽視空集而出現(xiàn)錯誤。 7.含參數(shù)的集合問題是本部分的一個重要題型，應(yīng)多根據(jù)集合元素的互異性挖掘題目的隱含條件，并注意分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運用。 二、命題及其關(guān)系 1命題的概念：用語言、符號或式子

3、表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。 2四種命題的相互關(guān)系：3. “若則”是真命題，即；“若則”是假命題，則。 4. 在判斷命題真假的問題中，一方面可以直接寫出命題進行判斷，也可以通過命題的等價性進行判斷，即原命題與逆否命題等價，否命題與逆命題等價。 5. 充分必要條件的判斷是本部分的一個重要題型，在解題中應(yīng)注意：（1）注意問題的設(shè)問方式，我們知道，是的充分不必要條件是指且；的必要不充分條件是是指且。這兩種說法是在充分必要條件推理判斷中經(jīng)常出現(xiàn)且容易混淆的說法，在解題中一定要注意問題的設(shè)問方式，弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)判斷錯誤。（2）要善于舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明一個命題是錯誤的。（3）恰當(dāng)?shù)剡M

4、行轉(zhuǎn)化，由原命題與逆否命題等價可知：若是的充分不必要條件，則是的必要不充分條件；若是的必要不充分條件，則是的充分不必要條件。 6. 證明是的充要條件 （1）充分性：把當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出； （2）必要性：把當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出。 三、邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞 1含有“且（）”“或()”“非（）”命題的真假性：真、真真真假真、假假真假假、真假真真假、假假假真2全稱量詞與存在量詞：命題中的“對所有”、“任意一個”等短語叫做全稱量詞，用符號“”表示，“存在”、“至少有一個”等短語叫做存在量詞，用符號“”表示。含有全稱量詞的命題叫做全稱命題，全稱命題：“對中任意一個，有成立

5、”可用符號簡記為。含有存在量詞的命題叫做特稱命題，特稱命題：“存在中任意一個，使成立”可用符號簡記為。3全稱命題與特稱命題的關(guān)系：P的否定全稱命題：特稱命題：特稱命題：全稱命題：第二章 函數(shù)知識結(jié)構(gòu)一.函數(shù)的概念及其表示（1）函數(shù)的概念設(shè)、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合中任何一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合，以及到的對應(yīng)法則）叫做集合到的一個函數(shù)，記作函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)（2）區(qū)間的概念及表示法設(shè)是兩個實數(shù)，且，滿足的實數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實數(shù)的集合叫做開區(qū)間，

6、記做；滿足，或的實數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實數(shù)的集合分別記做注意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：是整式時，定義域是全體實數(shù)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1中，零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出對于含字母

7、參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義（4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法： 觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，則在時，由于為

8、實數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法（5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系（6）映射的概念設(shè)、是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則，對

9、于集合中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合，以及到的對應(yīng)法則）叫做集合到的映射，記作給定一個集合到集合的映射，且如果元素和元素對應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象二函數(shù)的基本性質(zhì)1.單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)某一范圍的圖象整體上升或下降的變化趨勢，是研究函數(shù)圖象在定義域內(nèi)的局部變化性質(zhì)。函數(shù)單調(diào)性的定義 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間如果對于區(qū)間內(nèi)的_兩個值，當(dāng)<時，都有_，那么在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，稱為的單調(diào)_區(qū)間. 如果對于區(qū)間內(nèi)的_兩個值，當(dāng)<時，都有_，那么在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，稱為的單調(diào)_區(qū)間.如果函數(shù)在區(qū)間

10、上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么函數(shù)在區(qū)間上具有_.點評 單調(diào)性的等價定義：在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時，有；在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時，有；函數(shù)單調(diào)性的判定方法定義法；圖像法；復(fù)合函數(shù)法；導(dǎo)數(shù)法；特值法（用于小題），結(jié)論法等.注意：定義法（取值作差變形定號結(jié)論）：設(shè)且，那么在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)。導(dǎo)數(shù)法（選修）：在區(qū)間內(nèi)處處可導(dǎo)，若總有（），則在區(qū)間內(nèi)為增（減）函數(shù)；反之，在區(qū)間內(nèi)為增（減）函數(shù)，且處處可導(dǎo)，則（）。請注意兩者之間的區(qū)別，可以“數(shù)形結(jié)合法”研究。點評 判定函數(shù)的單調(diào)性一般要將式子進行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化處理，以利于判斷符號；證明函數(shù)的單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)

11、法。提醒 求單調(diào)區(qū)間時，不忘定義域；多個單調(diào)性相同的區(qū)間不一定能用符號“”連接；單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示。判定函數(shù)不具有單調(diào)性時，可舉反例。與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的一些結(jié)論若與同增（減），則為增（減）函數(shù)，為增函數(shù)；若增，為減，則為增函數(shù)，為減函數(shù)，為減函數(shù)；若函數(shù)在某一范圍內(nèi)恒為正值或恒為負值，則與在相同的單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反；函數(shù)與函數(shù)具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；函數(shù)與函數(shù)具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，函數(shù)與函數(shù)具有相同單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反。2.奇偶性函數(shù)的奇偶性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象是否關(guān)于原點中心對稱，還是關(guān)于軸成軸對稱，是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點；函數(shù)奇偶性的定義

12、 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為如果對于_的，都有_，那么函數(shù)是偶函數(shù). 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為如果對于_的，都有_，那么函數(shù)是奇函數(shù). 如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么函數(shù)具有_.注意 具有奇偶性的函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱，因此，確定函數(shù)奇偶性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱。圖象特征函數(shù)為奇（偶）函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點（軸）成中心（軸）對稱圖形。注意 定義域含的偶函數(shù)圖象不一定過原點；定義域含的奇函數(shù)圖象一定過原點；利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個函數(shù)問題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上，簡化問題。點評 函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.是奇函數(shù).是偶函數(shù).奇函數(shù)在原點有定義，則.在

13、關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：（）奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；（）奇函數(shù)有相反的最值（極值），偶函數(shù)有相同的最值（極值）。是偶函數(shù).奇偶性的判定方法若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先考慮其定義域并等價變形化簡后，再判斷其奇偶性. 如判斷函數(shù)的奇偶性。判定函數(shù)奇偶性方法如下：定義（等價定義）法；圖像法；結(jié)論法等.點評 定義法判定函數(shù)的奇偶性先求定義域，看其是否關(guān)于原點對稱，若對稱，再求，接著考察與的關(guān)系，最后得結(jié)論.判斷函數(shù)不具有奇偶性時，可用反例。與函數(shù)的奇偶性有關(guān)的一些結(jié)論若與同奇（偶），則±為奇（偶）函數(shù)，和為偶函數(shù)，為奇（偶）函數(shù)；若與一奇一偶，則和為奇函數(shù)，為偶函數(shù)

14、；定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)和的形式。函數(shù)按奇偶性分類奇函數(shù)非偶函數(shù)，偶函數(shù)非奇函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)。點評既奇又偶的函數(shù)有無數(shù)個。如定義域關(guān)于原點對稱即可。如函數(shù)。3.周期性函數(shù)的周期性是研究一些函數(shù)圖象在定義域內(nèi)具有某種一定的周期變化規(guī)律； 函數(shù)周期性的定義 一般地，對于函數(shù)，如果存在一個_的常數(shù)，使得定義域內(nèi)的_值，都滿足，那么函數(shù)稱為周期函數(shù)，_常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期。如果一個周期函數(shù)的所有的周期中存在一個_的_數(shù)，那么這個數(shù)叫做函數(shù)的最小周期正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。點評 非零常數(shù)是周期函數(shù)本身固有的性質(zhì)，與自變

15、量的取值無關(guān)；若非零常數(shù)是函數(shù)的周期，則非零常數(shù)的非零整數(shù)倍（，且也是函數(shù)的周期；若函數(shù)的周期為，則函數(shù)（其中，為常數(shù)，且，）的周期為；定義中的等式是恒等式；函數(shù)的周期是。三角函數(shù)的周期 ； ； ；函數(shù)周期的判定定義法（試值） 圖像法 公式法（利用（2）中結(jié)論）結(jié)論法。與周期有關(guān)的一些結(jié)論或 的周期為；是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線對稱的周期為；奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線對稱的周期為；關(guān)于點,對稱的周期為；的圖象關(guān)于直線,對稱函數(shù)的周期為；的圖象關(guān)于點中心對稱，直線軸對稱周期為4；對時,或的周期為；函數(shù)滿足，且為非零常數(shù)的周期為4；函數(shù)滿足（為非零常數(shù)）的周期6。點評 注意對稱性與周期性的關(guān)系。4.

16、對稱性函數(shù)的對稱性是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點（即函數(shù)圖象關(guān)于某一點成中心對稱圖形或關(guān)于某一條直線成軸對稱圖形）；函數(shù)對稱性的定義 如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線成_對稱或點成_對稱，那么具有對稱性。注意 利用函數(shù)的對稱性可以把研究整個函數(shù)問題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上，簡化問題。函數(shù)圖象對稱性的證明證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；與對稱性性有關(guān)的一些結(jié)論 函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱。特別地，當(dāng)時，函數(shù)為偶函數(shù)。函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱。特別地，當(dāng)且時，函數(shù)為奇函數(shù)。點評 函數(shù)奇偶性是函數(shù)對稱性的特殊情況。若對時,恒成立,則圖像關(guān)于直線對稱；函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對

17、稱。5.有界性函數(shù)的有界性是研究函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中的上下界情況，重點是通過研究函數(shù)的最大（?。┲担ㄖ涤颍﹣硌芯坑薪缧詥栴}。函數(shù)最大（?。┲档亩x 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為如果存在，使得對于_的，都有_，那么稱為的最大值，記為_；如果存在，使得對于_的，都有_，那么稱為的最小值，記為_.注意 函數(shù)最大（小）值應(yīng)該是某一個函數(shù)值；函數(shù)最大（小）值應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，最大（?。┲挡煌跇O大（?。┲?。值域與最值注意函數(shù)的最值與函數(shù)的值域的區(qū)別和聯(lián)系，理解值域和最值是考察函數(shù)的有界性問題。與函數(shù)最值有關(guān)的幾個結(jié)論若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則，；若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，則，；若函

18、數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，則；若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則。恒成立問題的處理方法 恒成立問題的處理方法：分離參數(shù)法(最值法)； 轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題。如：方程有解(為的值域)；不等式恒成立,不等式恒成立。 6.極值 函數(shù)的極值是研究函數(shù)在其定義域內(nèi)的某一局部上的性質(zhì)。這與函數(shù)的最值所研究的問題角度有所不同。 極值的定義 設(shè)函數(shù)在及其附近有定義，如果的值比附近的所有各點的函數(shù)值都大（小），則稱是函數(shù)的一個極大（?。┲?。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。取得極值的點稱為函數(shù)的極值點，極值點是自變量的取值，極值是指函數(shù)值。 極值的求法 圖像法；導(dǎo)數(shù)法。

19、7.零點與不動點7.1函數(shù)的零點定義 一般地，我們把使函數(shù)的值為_的實數(shù)稱為函數(shù)的零點.點評 函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根。從圖象上看，函數(shù)的零點，就是它的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。利用函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)這三者之間的聯(lián)系，可以解決很多函數(shù)與方程的問題。這就是高考的熱點內(nèi)容函數(shù)與方程的思想運用。函數(shù)零點的存在性一般地，若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，且_，則至少存在一個實數(shù)，使得，此時實數(shù)為函數(shù)的零點.點評 若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的單調(diào)曲線，且0，則有惟一的實數(shù)，使得。7.2不動點 方程的根叫做函數(shù)的不動點，也是函數(shù)的零點。7.3函數(shù)、方程與不等

20、式三者之間的關(guān)系一般地，不等式的解集為函數(shù)的圖象在軸上方部分的點的橫坐標(biāo)組成的集合；不等式的解集為函數(shù)的圖象在軸下方部分的點的橫坐標(biāo)組成的集合；點評 利用函數(shù)圖象并結(jié)合函數(shù)的零點，可求不等式或的解集；利用函數(shù)圖象并結(jié)合相應(yīng)方程的解，可求不等式或的解集等；74基本方法求函數(shù)零點和不動點的方法直接法（通過解方程（組）；圖像法；二分法。點評 注意函數(shù)上述幾大性質(zhì)相互之間的聯(lián)系。三基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)（1）根式的概念叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù) 當(dāng)為奇數(shù)時，為任意實數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時， （2）分數(shù)指數(shù)冪的概念正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且0

21、的正分數(shù)指數(shù)冪等于0正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（3）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) （4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域（0,+）過定點圖象過定點（0,1），即當(dāng)x=0時，y=1奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況y1(x0), y=1(x=0), 0y1(x0)y1(x0), y=1(x=0), 0y1(x0)變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高，越靠近y軸；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低，越靠近x軸在第一象限內(nèi)，越小圖象越高，越靠近y軸；在第二象限內(nèi)，越小圖象越低，越靠近x

22、軸2.對數(shù)函數(shù)（1）對數(shù)的定義若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：（2）常用對數(shù)與自然對數(shù)：常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即（其中）（3）幾個重要的對數(shù)恒等式: ，（4）對數(shù)的運算性質(zhì) 如果，那么加法： 減法：數(shù)乘： 換底公式：（5）對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過定點圖象過定點，即當(dāng)時，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低，越靠近x軸在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高，越靠近y軸在第一象限內(nèi)，越小圖象越靠低，越靠近x軸在第四象限內(nèi)，越小圖象越靠高，越靠近y軸(6) 反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式中反解出；將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域（7）反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)與反函數(shù)