1、函數最值求法1.判別式法 若函數可化成一個系數含有的關于的二次方程: 。在時,由于為實數,則有,由此可以求出所在的范圍,確定函數的最值。例1.1 已知,其中是實數,則的最大值為_。 解:設,由得, 是方程的兩個實根.整理化簡, 得,故. 即的最大值為2例1.2 實數滿足,設,則的值為_。 解:由題意知, ,故又 是方程的兩個實根.解得，即2.函數的單調性法 當自變量的取值范圍為一區間時，常用單調性法來求函數的最值。若函數在整個區間上是單調的,則該函數在區間端點上取到最大值或最小值。若函數在整個區間上不是單調的 ，則把該區間分成各個小區間，使得函數在每一個區間上是單調的，再求出各個小區間上的最值

2、，從而可以得到整個區間上的最值。例2.1 求函數的最小值和最大值。解：先求定義域，由 得 又 ，故當，且增加時，增大，而減小.于是是隨著的增大而減小，即在區間上是減函數，所以 , 例2.2 求函數，的最大值和最小值。解： ， 令，.當時，有 在上是減函數，因此 ， ， 3.均值不等式法 均值不等式:設是個正數,則有,其中等號成立的條件是。運用均值不等式求最值,必須具備三個必要條件,即一正二定三等,缺一不可。“正”是指各項均為正數,這是前提條件；“定”是指各項的和或積為定值；“等”是等號成立的條件。 例3.1 設為自然數, 為實數,且滿足,則的最小值是_。解:>.由均值不等式得, 故 當且

3、僅當時,上式取等號.故的最小值是例 3.2 設，,記中最大數為M,則M的最小值為_。解: 由已知條件得 設中的最小數為,則M= 由已知條件知, ,于是 所以, ,且當時, ,故的最小值為,從而M的最小值為注:在用均值不等式求函數的最值時,往往需要配合一定的變形技巧,才可以把問題轉化成求不等式的問題。例3.3 設,則的最大值是_。解: 由,有又其中當時,上式等號成立,即時成立,故的最大值為4.換元法用換元法求函數最值,就是根據函數表達式的特點,把某一部分看作一個整體或用一個新變元來代替,達到化繁難為簡易,化陌生為熟悉,從而使原問題得解。換元法通常有三角代換和代數代換兩種。例4.1 正數滿足，其中

4、為不相等的正常數，求的最小值。解：令則 當且僅當，即時上式取等號.故例4.2實數適合條件，則函數的值域是_。解：由已知可設，其中，則 當，即時，；當，即時，.故的值域是5.幾何法 某些二元函數最值問題具有圖形背景,這時我們可以將所給函數表達式化為具有一定幾何意義的代數表達式,再利用幾何圖形,對函數最值作出直觀的說明和解釋。根據函數所表示的幾何意義,我們可以將函數分為以下幾種:5.1可視為直線斜率的函數的最值例5.1.1 求函數的最小值。解:令,則且，于是問題轉化為:當點在上半個單位圓上運動時,求與的連線的斜率的最值(如圖).顯然,當點與點重合時,直線的斜率最小,此時.當直線與上半個單位圓相切時

5、,直線的斜率最大. 設,則直線的方程為直線與上半個單位圓相切 解得 (舍去)或綜上可得,直線的斜率的最值為: ， ， 5.2可視為距離的函數的最值例5.2.1 函數的最大值是_。解：將函數式變形,得 可知函數的幾何意義是：在拋物線上的點分別到點和點的距離之差,現求其最大值.由知，當在的延長線上處時，取得最大值5.3可視為曲線截距的函數的最值例5.3.1 求函數的最大值。解: 令,則,且.則問題轉化為:當點在單位圓上運動時,求雙曲線族 (視為常數)在軸上的截距的最大值.當時,由方程得 , 由此可知:當時, ;當時, 此雙曲線族有公共的漸進線和,有公共的中心由此不難得出,當雙曲線族與單位圓切于點

6、時,縱截距取得極大值 ，而,故所求縱截距的極大值就是最大值.因此,所求函數的最大值為6.構造方差法設個數據的平均數為,則其方差為 顯然（當且僅當時取等號）。應用這一公式，可簡捷、巧妙地解決一些試題的最值問題。這種方法適用的范圍很廣，可以用來求函數的最值，也可以用來求某一字母的最值以及求某一代數式的最值。例6.1求函數的最大值。解：的方差是解得.故例6.2確定最大的實數，使得實數滿足： , 解：由已知得 , , 的方差 解得 .故的最大值為 注：對于例1，我們也可以用構造方差法來求解，解題過程如下：解法2：不妨設，則由已知,即 得 又的方差是即,由此判定,解得,即,亦即.故的最大值為7.導數法

7、設函數在上連續，在上可導，則在上的最大值和最小值為在內的各極值與，中的最大值與最小值。要求三次及三次以上的函數的最值,以及利用其他方法很難求的函數似的最值,通常都用該方法。導數法往往就是最簡便的方法,應該引起足夠重視。例7.1 求函數,的最大值和最小值。解: ,令,方程無解. 函數在上是增函數.故當時, ，當時, 例7.2 求數列的最大項。解: 設,則令,則得又 , 將,及加以比較,得的最大值為 數列的最大項為第項,這一項的值為例7.3 已知的導函數，試探究的極點和最點.解析：.有3個相異的根：它們都是的極點.易知原函數 （R）易知為的減區間，為的增區間，為的減區間，為的增區間.的4個單調區間

8、依次成“減增減增”的順序，使得首、尾兩個區間的單調性相異，從而使得在“兩次探底”中得到最（小）點.比較三個極值的大小：得的最小值為，對應兩個最小點和1.【說明】 定義在一個開區間上的可導函數如果有n個極點：x1<x2<<xn.當n為奇數時，有最點存在.最點在依次為奇數的極點中產生，通過奇數位上的極值比大小可得.當n為偶數時，函數無最點.例7.4 求函數的最值.解析: 函數是定義在一個開區間上的可導函數,令得的唯一駐點即為最點.時，函數遞增,時，函數遞減,故有最大值.【說明】 本函數是二次函數的復合函數，用配方法求最值也很簡便.,等號成立條件是.注：最值尋根的導數判定若定義在一個開區間上的函數有導函數存在，那么是否有最值的問題可轉化為的導函數是否有最根的問題來研究：（1）若導函數無根，即，則無最值；（2）若導函數有唯一的根，即，則有最值.此時，導函數的根即是函數最根.（3）若導函數有多個的根，則應從多個駐點中依次判定極點、最點的存在性.8、配方法例8.1 已知a>0，探索二次函數y = ax2+bx+c的單調區間.并指出函數的最值點.解析：任取 x1<x2，x1，x2R.則有 y1 y2 = f (x1) f (x2) = ()（1）當x1，x2-時，