1、立體幾何的解題思路四川省成都第七中學 張世永 巢中俊 周建波高中數學課程標準建議：立體幾何教學應注意引導學生通過對實際模型的認識，學會將自然語言轉化為圖形語言和符號語言.教師可以使用具體的長方體的點、線、面關系作為載體，使學生在直觀感知的基礎上，認識空間中一般的點、線、面之間的位置關系；通過對圖形的觀察、實驗和說明，使學生進一步了解平行、垂直關系的基本性質以及判定方法，學會準確地使用數學語言表述幾何對象的位置關系，并能解決一些簡單的推理論證及應用問題。理科學生不僅要掌握必修2立體幾何初步，還要掌握選修2-1空間中的向量與立體幾何.文科學生要求掌握必修2立體幾何初步，為了更好地解答立體幾何問題，

2、建議教師補充講授選修2-1空間中的向量與立體幾何中的坐標法，讓文科學生能熟練地使用坐標法，而對空間中的向量的其它知識不做介紹，以免加重文科學生的負擔。另外，文科學生不要求掌握求二面角的問題。一.求解空間三類角：兩直線所成角、直線與平面所成角、二面角，關鍵是轉化為空間兩直線所成角，常常要借助于平面的法向量.要善于一題多變.例1（1）已知直線所成角為，經過空間中一點P作直線l，使直線l與a、b所成角均為，則這樣的直線l有幾條？解：經過點P作直線m/a, n/b, 則直線所成角為或, 點P作直線的兩條角平分線，其中有一條與所成角均為，另一條與所成角均為，把這條角平分線沿著點P旋轉可以得到兩條直線與所

3、成角均為，從而與a、b所成角均為的直線有三條. 問題的推廣：已知直線所成角為，經過空間中一點P作直線l，使直線l與a、b所成角均為，這樣的直線l有四條，則角應滿足什么條件？有兩條呢？有一條呢？有零條呢？答案：有四條時，；有兩條時，；有一條時，;有零條時，.變式：（1）已知直線與平面所成角的大小為，經過空間中一點P作直線l，使直線l與直線a和平面所成角均為，則這樣的直線l有幾條？（2）已知平面與平面所成銳二面角的大小為，經過空間中一點P作直線l，使直線l與平面和平面所成角均為，則這樣的直線l有幾條？(3)正三棱錐PABC中，CM=2PM，CN=2NB，對于以下結論：二面角BPAC大小的取值范圍是

4、（，）；若MNAM，則PC與平面PAB所成角的大小為；過點M與異面直線PA和BC都成的直線有3條；若二面角BPAC大小為，則過點N與平面PAC和平面PAB都成的直線有3條 正確的序號是 解：(1) 經過點P作平面的法向量，則問題轉化為 “已知直線所成角為或，經過點P作直線l，使直線l與所成角均為，則這樣的直線l有幾條？”由例1容易得到這樣的直線l有兩條.(2) 經過點P作平面的法向量，平面的法向量，則問題轉化為 “已知直線所成角為或，經過點P作直線l，使直線l與所成角均為，則這樣的直線l有幾條？”由例1容易得到這樣的直線l有一條.(3)仿照（1）（2）可以得到答案 二.高考中有較大部分題都可以

5、轉化為以正方體為背景的問題，為此新編以正方體為背景的系列題：相同條件為“正方體棱長為1”. 1. 正方體棱長為1，E,F是BD上的動點，且.（1）當E在BD中點時，F恰在B點，求二面角大小；（2）當EF在BD上運動時，該二面角是否發生變化？解：（1）取中點O,易知,設二面角大小為.二面角大小為（2）由（1）中求二面角的方法可知，無論EF在BD上的什么位置，二面角的大小不變.2. 正方體棱長為1，P為的四等分點，Q為中點，O為平面的中心.（1）求證：OC與PQ共面；（2）求:平面OPQC與平面的夾角.（1）證明：取中點H，連結BH,HQ.易證,又中位線，OC與PQ共面.（2） 連結OQ,過O作,

6、連結MH為面OPQC與面的夾角.三.高考中有一部分題都是以三棱柱為背景的問題，為此新編以三棱柱為背景的系列題. 例3斜三棱柱的底面是等腰三角形，AB=AC，上底面的頂點在下地面的射影是的外心，棱柱的側面積為（1） 證明：側面和為菱形，是矩形；（2） 求棱柱的側面所成的三個二面角的大小；（3） 求棱柱的體積（1）證明：,又的外心為O,AB=AC,四邊形是矩形.,又為正三角形.四邊形為菱形，同理,可證四邊形為菱形.（2）過B作BD，則D為中點， 又的三內角即為所求為正三角形，三個二面角均為或四.高考中有一部分題都是以三棱錐為背景的問題，為此新編以三棱錐為背景的系列題. 例4已知三棱錐P-ABC，與

7、 都是邊長為的等腰三角形，AB=2,D為AB中點.（1） 求證;（2）求三棱錐P-ABC體積.（1）證明：又D為AB中點，AB=2.（2）D為AB中點，AB=2，同理，五.高考中的補形問題1.將正四面體補形成正方體解析：選A六考試模式例1.（理科）已知正四棱錐所有棱長為4，是側棱上一點，且，過點垂直于的平面截該正四棱錐，則該平面與這個正四棱錐的截面面積為（ ）（A） （B） （C） （D）答案 C（文科）已知正三棱錐所有棱長為4，是側棱上一點，且，過點垂直于的平面截該正三棱錐，則該平面與這個正三棱錐的截面面積為（ ）（A） （B） （C） （D）答案 C例2.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱

8、錐的表面積是（ ）A B 5 C D 答案 D例3. 具有公共軸的兩個直角坐標平面和所成的二面角等于，已知內的曲線的方程是，曲線在內的射影在平面內的曲線方程為,則_答案 4例4.如圖，直角三角形中，點在斜邊上，且是平面同一側的兩點，平面平面 求證：平面平面（理科） 點在線段上，且二面角的余弦值為，求的長度. （文科）點在線段上，異面直線與所成角的余弦值為求的長證明：（）直角三角形ABC中，BAC=60°，AC=4，AB=8，AF=AB=2，由余弦定理得CF=2且CFABAD平面ABC，CF平面ABC，ADCF，又ADAB=A，CF平面DABE，CFDF，CFEFDFE為二面角DCFE

9、的平面角又AF=2，AD=3，BE=4，BF=6，故RtADFRtBFEADF=BFE，AFD+BFE=AFD+ADF=90°，DFE=90°，DCFE為直二面角平面CDF平面CEF（建系求解，只要答案正確，也給分）解：（2）（理科）以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，設則面DMF的法向量：同理可知：面CDM的法向量由，則 或經檢驗，時二面角的余弦值為 不合題意所以（2）（文科）以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，則C（0，0，0），B（0，4，0），E（0，4，4），F（3，0），M（0，a，0），（0a4）=（3，0），=（0，a4，

10、4），異面直線CF與EM所成角的余弦值為，=，解得 故例5.（理科）如圖，矩形所在的平面與等邊所在的平面垂直，為的中點（1）求證：；（2）求二面角的余弦值. （I）證：連接,，因為，是的中點，故. 1分 又因為平面平面，面面，面，故平面. 2分 因為面，于是. 3分又矩形，所以. 4分 又因為，故平面， 5分所以. 6分（）由（I）得，取的中點，以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系。因為，所以，于是有， 7分從而，設平面的法向量，由 8分得得， 9分同理，可求得平面的一個法向量， 10分設的夾角為，則， 11分由于二面角為鈍二面角，所以所求余弦值為. 12分（文科）已知四邊形為平行四邊形，四邊形為正方形，且平面平面（1）求證：平面；（2）若為中點，證明：在線段上存在點，使得平面，并求出此時三棱錐的體積 解：(1)證：正方形ABEF中，AFAB， 平面ABEF平面ABCD，又AF平面ABEF，平面ABEF平面ABCD=AB， 1分AF平面ABCD 2分又BD平面ABCD，AFBD 3分又，AFAD=A，AF、AD平面ADF,4分平面ADF 5分 (2)解：當N為線段EF中點時，MN平面ADF6分證明如下：正方形ABEF中，NFBA，平行四邊形形ABCD中，MDBA，NFMD，四邊形NFDM為平行四邊形，MN/DF 7分又DF平面ADF，MN平面ADF，MN/平面ADF，