1、傅立葉變換和小波分析 收藏 無論是傅立葉變換還是小波變換，其實(shí)質(zhì)都是一樣的，既：將信號在時(shí)間域和頻率域之間相互轉(zhuǎn)換，從看似復(fù)雜的數(shù)據(jù)中找出一些直觀的信息，再對它進(jìn)行分析。由于信號往往在頻域有比在時(shí)域更加簡單和直觀的特性，所以，大部分信號分析的工作是在頻域中進(jìn)行的。音樂其實(shí)就是時(shí)/頻分析的一個(gè)極好例子，樂譜就是音樂在頻域的信號分布，而音樂就是將樂譜變換到時(shí)域之后的函數(shù)。從音樂到樂譜，是一次傅立葉或小波變換；從樂譜到音樂，就是一次傅立葉或小波逆變換。1、傅立葉變換可以理解為：任意一條在實(shí)數(shù)域內(nèi)有意義的曲線都可以分解為若干個(gè)正弦曲線的疊加。傅立葉變換與分形的原理其實(shí)是同源的，不要

2、小瞧這個(gè)變換，它可能就是宇宙的一個(gè)最基本法則。換句通俗的話說就是：無論多么復(fù)雜的物質(zhì)，都可以用幾種簡單的基本物質(zhì)通過一定方式的組合來構(gòu)成。小到分子原子，中到地形地貌，大到銀河系宇宙，其實(shí)都是這樣。但是，傅立葉變換也有它的缺陷。由于正弦波是無限寬度的，這使得被分析的信號也需要具有從負(fù)無窮大到正無窮大都有意義的特性，所以傅立葉變換不能很好的處理一些局部信號。比如，一個(gè)在局部范圍內(nèi)有非0值而其余所有地方都等于0的函數(shù)，它的頻譜會呈現(xiàn)出一幅相當(dāng)混亂的狀況。這時(shí)，頻域的信號反而不如時(shí)域的直觀，頻譜分析變得很艱難。2、小波分析為了克服傅立葉變換的這些缺陷，數(shù)學(xué)家和工程師們已經(jīng)開發(fā)出若干種使用有限寬度基函數(shù)

3、進(jìn)行變換的方法。這些基函數(shù)不僅在頻率上而且在位置上是變化的，這些有限寬度的波被稱為“小波”（Wavelet）?；谒鼈兊淖儞Q被稱為“小波變換”（Wavelet transforms）。小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時(shí)未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。正如1807年法國的熱學(xué)工程師J.B.J.Fourier提出任一函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)的創(chuàng)新概念未能得到著名數(shù)學(xué)家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的認(rèn)可一樣。幸運(yùn)的是，早在七十年代，A.Cald

4、eron表示定理的發(fā)現(xiàn)、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準(zhǔn)備，而且J.O.Stromberg還構(gòu)造了歷史上非常類似于現(xiàn)在的小波基；1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個(gè)真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的同意方法棗多尺度分析之后，小波分析才開始蓬勃發(fā)展起來，其中比利時(shí)女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies撰寫的小波十講（Ten Lectures on Wavelets）對小波的普及起了重要的推動作用。它與Fourier變換、窗口Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個(gè)時(shí)間和頻率的局域變換，因而能有效的從信號中提取信息，通

5、過伸縮和平移等運(yùn)算功能對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，從而小波變化被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起的?，F(xiàn)在，它已經(jīng)在科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。 電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個(gè)領(lǐng)域，它的重要方面是圖像和信號處理。現(xiàn)今，信號處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號處理的目的就是：準(zhǔn)確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲、精確地重構(gòu)（或恢復(fù)）。從數(shù)學(xué)的角度來看，信號與圖像處理可以統(tǒng)一看作是信號

6、處理（圖像可以看作是二維信號），在小波分析地許多分析的許多應(yīng)用中，都可以歸結(jié)為信號處理問題。現(xiàn)在，對于其性質(zhì)隨實(shí)踐是穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號是非穩(wěn)定的，而特別適用于非穩(wěn)定信號的工具就是小波分析。    事實(shí)上小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號分析、圖像處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計(jì)算機(jī)分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方

7、程求解、控制論等。在信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類、識別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間，提高分辨率等。    (1)小波分析用于信號與圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號與圖像的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾?；谛〔ǚ治龅膲嚎s方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。    (2)小波在信號分析中的應(yīng)用也十分廣泛。它可以用于邊界的處理與濾波、時(shí)頻分析、

8、信噪分離與提取弱信號、求分形指數(shù)、信號的識別與診斷以及多尺度邊緣檢測等。    (3)在工程技術(shù)等方面的應(yīng)用。包括計(jì)算機(jī)視覺、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、曲線設(shè)計(jì)、湍流、遠(yuǎn)程宇宙的研究與生物醫(yī)學(xué)方面。 4、Gabor Filter（Gabor濾波器）     Gabor小波是小波集中的一種，公式見（下面的鏈接）。從外形上看，Gabor小波被封裝在一個(gè)Gaussion分布的形狀中，而且它的積分為零。如果要將Gabor filter在三維中顯示出來，應(yīng)該是下面這個(gè)樣子，左邊是實(shí)部（偶函數(shù)），右邊是虛部（奇函數(shù)）。通過改變k的相位和波長，可以得到一組不同的Gabor濾波器。出于速度和效果的綜合考慮，一般使用8個(gè)方向和5種頻率，這樣，一共可以產(chǎn)生5x8=40個(gè)不同的Gabor濾波器。對于大小為128x128的圖象，最小和最大頻率的波長分別為16和4個(gè)象素。4、Jet將原始圖像分別與每一個(gè)Gabor濾波器做卷積，會得到40個(gè)結(jié)果（注意，實(shí)部和虛部必須分開才能做卷積）。對于每一個(gè)輸入的像素而言，則會產(chǎn)生40個(gè)輸出的復(fù)數(shù)，我們將這40個(gè)復(fù)數(shù)按濾波器的順序排列好，就是一個(gè)Jet.如何做卷積？對于每個(gè)象素，將兩個(gè)圖像錯(cuò)開一定的距離放在一起，將重疊的像素相乘后累加。當(dāng)然別