1、可能性的定性把握與定量刻畫第一層次“定性把握生活現象”（沒有標題，給我們留出了很多的思考空間，也給我們造就了一種探索的欲望。如果給出標題，那么，標題應該是對階段性活動過程及內容的概括。數學課程標準（實驗稿）的前言指出：“數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程”，“可能性”課堂實錄的第一層次，是讓學生定性把握“紙袋有什么”的過程，因此，我們可以用“定性把握生活現象”作為第一層的標題）師：（舉起一只紙袋）同學們，紙袋里面放的是什么？（一個簡單的開放性生活問題，讓學生滿懷信心地走進神秘的數學樂園。這是潘小明老師所體現的教學低起點原則，也是教學面向全

2、體的具體表現。）生1：一個盒子。師：你怎么知道是一個盒子的呢？ 生1：我看到紙袋有角和四條邊。師：因為提供給同學們的信息不多，所以，很難猜出紙袋里的東西。此時，教師使勁將紙袋搖晃幾下。（教師增加有效信息，及時調控教學過程，使數學學習活動能夠圍繞學習內容順利展開。）生2：可能是乒乓球，我聽到里面發出的聲音很像乒乓球撞擊的聲音。教師隨手從紙袋里摸出了一個黃色的乒乓球。“猜對啦！”有些同學情不自禁地喊出聲來。（教師充分利用物體中含有的不同信息，提高教具的使用效益，也給學生一個啟示：任何事物都可能包含多種信息，而且，只有用心觀察和思考才會發現信息，也一定能夠發現。）師：你有什么辦法，能知道紙袋里放有幾

3、種顏色的小球，哪種顏色的小球多一些嗎？生1：我想里面白色的小球可能會多一些。因為從電視里看到乒乓球比賽用的球都是白色的。生2：我覺得里面黃色的乒乓球可能會多一些。因為老師剛才隨手拿出一個，就是黃色的。同學之間小聲議論著，稍過一會兒，大家的眼睛看著老師，等待老師的正確答案。這時，有一位同學露出想說以不敢說神情，慢慢地舉起了手生3：老師，把布袋里的球都倒出來，看一看就知道了。同學們都心領神會地笑了起來。師：是呀，倒出來一看，不就全都知道了！這么簡單實用的方法，怎么只有一個同學想到了？其他同學在想什么呢？（不同的學生有不同數學經驗，根據每個學生原有的數學經驗，每人都會在不同的層面擁有自己的問題解決策

4、略，教師的任務就是要遵循由易到難、由表及里、由簡單到復雜推進數學活動進程，逐步激活不同層面的學生的創造潛能。）同學中馬上有人說“我也想到的”，許多同學有點后悔自己沒能大膽舉手發言。生4：我想這方法太簡單了，老師不是要我們的這種回答吧！師：噢，原來你們在捉摸（琢磨）老師的心理，然后想投其所好，是嗎？（這種現象，在教學中太普遍了，應該引起大家的重視，其實，要消除這種現象也不難，像潘小明老師一樣，提醒一下就可以。）其實，老師最需要的是同學們都能把自己的真實想法說出來，這樣，我們能展開討論，相互啟發。同學們點頭表示認同和贊成。師：如果不能將球倒出來看，你還能有什么辦法知道哪種顏色的球多嗎？生1：我可以

5、一大把地去拿出來看。（這都不是數學地解決生活問題，而以生活的方式來解決，教師的任務就是要引導學生展開數學地思考。）師：這一大把，或許把里面的球都給拿出來了。生1：那就少一點吧！少到三個吧！（學生的生活經驗和原有的數學知識）因為拿出兩個的話，萬一兩種顏色的球各是一個就判斷不出了。但拿出一個球實在是太少了。生2：可以先拿出一個，再拿出一個，這樣不停地拿出來看，就可以知道了。師：這樣一個一個地去拿，最后還不全都拿出來了嗎？（新課程的教學需要盡量地減少教師過細的“幫扶”引導，而需要為他們提供“平臺”的探索環境。）生2：不是的。拿出一個球后要放回去再拿的。師：大家聽明白*同學所說的方法了嗎？（學生肯定是

6、有疑問的，所以，必須給學生思考的時間，對看過之后又放回去，這樣重復地拿和看，在什么情況下，可以肯定知道黃色的多，或者是白色的多，在什么情況下，不能明確地說黃色的多，或者是白色的多，這是生活方法與數學方法的分界線，是學生數學學習產生飛躍的地方，應該讓它們思考的更充分一些，然后，通過實驗來驗證）誰愿意上來實驗一下？這時，前排的一個男同學上前與老師一起合作做起了實驗。老師不斷地將紙袋里的球搖勻，該同學一次次地手摸球，一連摸了6次，每次都是摸到白色球，同學們都笑了。師：同學們，你們有什么想法？該男同學說：里面白色的乒乓多，因為我摸了這么多次，全是白色的。（大家表示同意）（這是大家對觀察所得信息進行概括

7、和總結的結果。）師：是呀！如果里面全是放白色的球，那每摸出一次的結果將是同學們一致地回答：肯定是白色的。師：如果里面白色球的個數比黃色的多，那每摸出一次，摸到白色的可能性將會怎樣？同學們一致地回答：摸到白色球的可能性就大。（這是教師引導學生展開反向思維過程，是協助學生進一步明確判斷的根據。其實，這里做一個對比實驗，分別出現白色球多和黃色球多的現象，并組織學生進行對比分析、闡述理由，效果會更好一些，而且還可以更充分地體現教師“組織者、引導者、合作者”的地位。）（以顏色為內容的數學活動過程，是一個數學方法的體驗過程和數學概念的感知過程。從全部倒出就知道、逐一拿出也知道，到“拿出-放回-再拿”也可知

8、道的過程，就是一個生活方式解決生活問題到數學方式解決生活問題的過程，是問題解決逐步數學化的過程，也是一個體驗性學習的過程。數學活動中“數學化”的過程是有難度的過程，潘老師卻能做到水到渠成，順利成章。）第二層次（定量刻畫生活事件）師：同學們，下面我們來看游戲出示：（問題是學生探索性學習的平臺，教師進一步給出開放性的生活問題一個虛擬的生活問題，以增強學生對“可能性”的感性認識。同時，也再一次證明了數學活動是一個數學問題解決的過程。）一只紙袋，裝有6只分別標號為1、2、3、4、5、6的球。游戲規則：甲乙兩人，輪流從口袋中摸球，每次摸出一球。摸出球的號碼大于3，甲得1分；摸出球的號碼小于3，乙得1分；

9、摸出3號球，甲乙都不得分。甲乙各摸10次后，得分高的獲勝。如果你來參加這個游戲，你將選擇：當甲；當乙；甲或乙都可以。問題出示后，同學各自認真地思考著（“思考”是開展有效交流的基礎，“交流”的有效性表現在解決問題策略的不斷豐富和相互的啟發思考。潘老師讓學生“各自認真地思考”，就是為學生提供充分的思考時空，對交流的內容作適當的疏理，為交流做好準備），之后，教師讓同學們用打手勢的方式將自己的選擇表示出來。結果，同學中出現了三種不同的選擇，其中的大多數同學選擇當甲。這時，教師讓同學前后4人進行交流，說說各自的選擇理由。然后，進行組際交流（國際比賽，是指國家與國家之間的比賽，顯然，組際交流，應該是組與組

10、之間進行交流，而不是組內交流。現實生活中，許多場合，對“組際”的理解都有問題。）生1：我選擇當甲。因為甲摸到4、5、6號球都可以得分，而乙摸到1、2號球都可以得分，甲得分的概率高，獲勝的可能性就大。生2：甲摸出4、5、6號球得分，乙摸出1、2號球得分，這樣當然甲得分的可能性大；當乙摸出4、5、6號球的時候，甲也可以得分，甲摸出1、2號球的時候，乙也可以得分，因為題目中并沒有規定甲自己摸出4、5、6號球才能得分，也沒有規定乙自己摸出1、2號球才能得分，所以他們是可以幫著摸的，但是，仍然是甲得分的可能性大。師：是呀！規則中沒有說甲摸出1、2號球時，乙是不能得分的；也沒有說當乙摸出4、5、6號球的時

11、，甲不能得分。這樣，甲乙也可以幫著對方摸球，乙摸出4、5、6號球的時候，甲得分；甲摸出1、2號球的時候，乙得分。結果還是甲得分的可能性大。同學們，你們覺得*同學分析的怎樣？同學之間進行著評價，并指出游戲規則不公平。師：我也覺得分析得很好！好在審題認真，考慮問題全面，分析得很有道理。確實，甲得分的可能性比較大。你能用一個數來表示出甲得分的可能性到底是多少嗎？（激活學生原有的數學經驗，并引導學生開始由定性把握到定量刻畫的過渡。）同學們獨自思考著，調動已有的知識嘗試著用一個數來表示出可能性的大小。生1：甲得分的可能性是60%，乙得分的可能性是40%。生2：甲得分的可能性是50%，乙得分的可能性是33

12、%。生3：甲得分的可能性是60%，乙得分的可能性是30%。生4：甲得分的可能性是50%，乙得分的可能性是40%。此時，教師讓同學在小組內交流自己的思維過程。然后，引導學生共同分析。讓同意“甲得分的可能性是50%，乙得分的可能性約是33%”的同學說說理由，并結合回答，完成下面的填空：摸出一球，可能的結果：1、2、3、4、5、6，共有6種結果。號碼大于3的結果有：4、5、6，共有3種結果；號碼小于3的結果有：1、2，共有2種結果。號碼大于3的可能性為，號碼小3的可能性為。師：同學們有什么想法？特別是原先不是這個答案的同學有什么想法？生：原來我想能得分的球只有5個，甲占有3個，乙占有2個，所以甲得分

13、的可能性是60%，乙得分的可能性就是40%（這就是一種數感，但，這時候數感發生了錯誤，正確的數感是在不斷經歷錯誤的過程中形成）。現在我發現錯了。因為在摸球時也有可能摸出3號球的，摸到3號球的可能性是，號碼大于3的可能性為，號碼小于3的可能性為。師：同學們善于思考，用數學知識有力地說明了比賽規則的不公平。那么，怎樣修改才能使比賽公平呢？學生獨立思考后，紛紛提出自己的建議（修改規則的過程是一個數學地思考過程，是一個數學知識的綜合應用過程，也是體驗數學價值的過程）。生1：乙摸到1、2、3號球得分，甲摸到4、5、6號球得分。師：按這樣的規則，甲乙兩摸到的可能性各是多少？生2：他們摸到的可能性各是，也就

14、是各占一半。生3：再添上一個7號球，甲摸到5、6、7號球得分，乙摸到1、2、3號球得分，摸到4號球兩人都不得分。師：按這樣的規則，甲乙兩人摸到的可能性各是多少？生3：甲乙兩人摸到的可能性都是，是相等的。生4：還可以把6號球去掉，然后，甲摸到4、5號球得分，乙摸到1、2號球得分，摸到3號球兩人都不得分。這樣也是公平的，每人摸到的可能性是都是。師：如果按照同學們修改后的規則去進行比賽，我想，輸與贏的結果已是不重要要了，誰贏那就只能說明一些學生回答：“說明誰的運氣好”。師：是呀，對于比賽，重要的是要保證其公平！先前的不公平的規則沒能躲過我們大家敏銳的眼睛，而且大家又提出了合理的建議，真行！（什么時候

15、可以運用這個規則，什么時候又不可以運用這個公平的規則，讓學生體會數學的應用是有局限的，例如：用這種公平的摸球方式可以決定比賽的勝負，但更多的時候是要讓實力作證。）第三層次（解決生活問題）師：同學們下過棋嗎？平時兩個人下棋時，用什么方法來決定由誰先下？生：用“石頭、剪子、布”，決出勝負，然后由贏的先下（這是貼近學生生活的數學問題）。師：誰想與老師來玩“石頭、剪子、布”，比比誰贏？同學們踴躍舉手，一女同學勇敢地與老師比了起來，課堂氣氛一片熱烈（這是一種表面的氣氛，不能過分地宣揚，因為，數學活動的特色，更多的應該是理性的思考）。師：如果用下面這種擲骰子的方法（這是虛擬的，而且是不公平的，對學生來說是

16、陌生的有距離的，甚至是不合理的，但只有這“陌生”、“距離”和“不合理”，才能逐漸地提升學生的數學水平），你認為如何？出示：小光和小亮下棋，他們用擲骰子決定誰先走。小光用紅色骰子，上面是1、6、8點各兩面，小亮用黃色骰子，上面是3、5、7點各兩面。擲一次，朝上一面的數誰大，誰就先走。同學們經過獨立思考后紛紛發表自己的意見生1：我認為是公平的。生2：我認為是不公平的。師：我們要以理服人，你能說出公平的理由嗎？生1：因為小光擲出1，小亮擲出3，小光比小亮少2；小光擲出6，小亮擲出5，小光比小亮多1；小光擲出8，小亮擲出7，小光比小亮多1。這樣就正好抵消了，所以是公平的。（這就是學生根據自己的生活經驗

17、對數學的理解，當然，他的“可加性”是一種經驗性思維，上升為科學的結論，還需要努力，以下的交流將為他提供幫助。）生2：我認為小光先下的可能性大，因為1、6、8與3、5、7比較，15，87，小光可以贏2次，而小亮只能贏1次。（這位學生策略是好的，結論是對的，過程是有問題的。教師給出陳述、解釋、交流的機會，讓學生充分顯露個人原有數學經驗的局限性，以決定數學活動的進展方向，“列舉出輸贏的情況進行分析”列舉分析是一種很好的方法，引導學生繼續關注這種方法。）師：列舉出具體輸贏的情況進行分析的方法是好的，這確是一種很好的思考方法。生3：雖然列舉輸贏的情況進行分析的方法是好的，但他還漏了許多種情況。我是這樣想

18、的：當小光擲出1，小亮擲出的有可能是3，也有可能是5或者是7，有3種可能的情況；當小光擲出6，小亮擲出的有可能是3，也有可能是5或者是7，有3種可能的情況；當小光擲出8，小亮擲出的有可能是3，也有可能是5或者是7，有3種可能的情況；一共有9種不同的情況，其中小光贏的可能性是，小亮贏的可能性是，比賽是不公平的。結合回答，教師進行板演：小光111666888小亮357357357（新課程關于“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者”的理念得到了充分體現。理解、掌握、豐富、發展解決問題的策略是數學課程關于知識與技能方面的重要目標之一，教師能夠及時地發現并將其書寫在黑板上，說明教師具有良好的價值觀和敏銳的觀察力，為“課后，同學們可以繼續探索”提供了方法上的支持。）師：同學們，他們回答得怎樣？大家都說“說！”師：好在哪里呢？同學之間小聲地議論著。師：是呀，他們都進行了非常有序的思考和分析，讓人清楚地看出輸贏的可能性各是多少。師：由此看來，用這樣的方法決定誰先棋是不合理的，那用什么方法才是合理的呢？生：用“石頭、剪子、布”的方法是公平的（這是學生的生活經驗，也是數學活動中的直覺思維，是合情推理能力的重要成份。）師：也許是吧（懂裝不懂，把決策的權利交給學生，充分展現師生在數學學習過程中的平等地位），因為你的爺爺小時候，你的爸爸小時候在玩游戲時都