1、高中數學常用公式及結論1元素與集合的關系：x A x CuA, x CuAx A. £ A A2集合a1,a2- ,an的子集個數共有2n個；真子集有2n 1個；非空子集有2n 1個；非空的真子集有 2n 2 個.3二次函數的解析式的三種形式：原命題 假設P那么q互逆互為互為逆命題假設q那么p否命題1 r逆否命題假設非p那么非C互逆假設非q那么非P逆(1)一般式f (x)2 axbx c(a 0);頂點式f(x)a(xh)2k(a 0);當拋物線的頂點坐標(h,k)時，設為此式零點式f(x)a(xxj(x x2)(a 0)；當拋物線與 x軸的交點坐標為(x1,0),( x2,0)時，

2、設為此式4真值表：同真且真，同假或假5常見結論的否認形式；原結論反設詞原結論反設詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有門個至多有n 1個小于不小于至多有n個至少有n 1個對所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q對任何x，不成立存在某x，成立p且qp或 q6四種命題的相互關系(以下列圖):原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假充要條件：(1)、p q，那么P是q的充分條件，反之，q是p的必要條件；2、pq，且qz > p，那么P是q的充分不必要條件；(3)、p z > p ,且qp，那么P是q的必要不充分條件；4、p工> p，且q

3、豐> p,貝U P是q的既不充分又不必要條件。7函數單調性：增函數：(1)、文字描述是：y隨x的增大而增大。2、數學符號表述是：設 fx在x D上有定義，假設對任意的 x1，x2 D,且x1 X2，都有f(x1) f(x2)成立，那么就叫fx在x D上是增函數。D那么就是fx的遞增區間。 減函數：(1)、文字描述是：y隨x的增大而減小。2、數學符號表述是：設 fx在x D上有定義，假設對任意的 *公2 D,且x1 X2，都有f(x1) f(x2)成立，那么就叫fx在x D上是減函數。D那么就是fx的遞減區間。單調性性質：(1)、增函數+增函數=增函數；2、減函數+減函數=減函數；(3)、

4、增函數-減函數=增函數；(4)、減函數-增函數=減函數；注：上述結果中的函數的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數定義域的交集。 復合函數的單調性：函數里調一1單調性內層函數fJ外層函數Jf復合函數fJJ等價關系:(1)設 xnx2a,b,X1x2那么(X1X2)f(xjf (X2)0f(xJ f(x2)0f(x)在a,b上是增函數;X1 X2(X1X2)f (N)f (X2)0f(X1)f(X2)0f (x)在a,b上是減函數X x2(2)設函數y f(x)在某個區間內可導， 如果f (x) 0,那么f(x)為增函數；如果f (x) 0,那么f(x)為減函數8函數的奇偶性：注：是奇偶

5、函數的前提條件是：定義域必須關于原點對稱奇函數：定義： 在前提條件下，假設有 f( x)f (x)或f ( x) f (x) 0，那么fx就是奇函數。性質：1、奇函數的圖象關于原點對稱；2、奇函數在x>0和x<0上具有相同的單調區間；3、定義在R上的奇函數，有f 0=0 .偶函數：定義： 在前提條件下，假設有 f( x) f (x)，那么fX就是偶函數。性質：1、偶函數的圖象關于 y軸對稱；2、偶函數在x>0和x<0上具有相反的單調區間；奇偶函數間的關系：(1)、奇函數偶函數=奇函數；2、奇函數奇函數=偶函數；(3)、偶奇函數偶函數=偶函數； 、奇函數土奇函數=奇函數也

6、有例外得偶函數的(5)、偶函數土偶函數=偶函數；(6)、奇函數土偶函數=非奇非偶函數奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱；反過來，如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數.9函數的周期性：定義： 對函數fX，假設存在T 0,使得f x+T=f X，那么就叫f x是周期函數, 其中，T是fX的一個周期。周期函數幾種常見的表述形式：、f x+T= - f X，此時周期為 2T ; 2、f x+m=f x+n，此時周期為 2 m n ；、f(x m)1f (x)，此時周期為2m10常見函數的圖像:y.k<0k>

7、;0oXy=kx+bya<0oa>0y=ax 2+bx+c,y=ax0<a<1 a>11o-xy=log ax0<a<1a>111對于函數y f(x)(x R),f(x a) f(b x)恒成立,那么函數f (x)的對稱軸是x專；兩個函數1213y f (x a)與 y f (b x)分數指數幕與根式的性質：m(1) an a 0,m, n的圖象關于直線x b2a對稱N，且 n 1a 0,m,nN ，且 n 1.3(n、a)n a.4當 n為奇數時，：ana ；當n為偶數時,a, a |a|a,a:loga N bN (a 0, a 1, Np(

8、1) 1、a1 ap；2、a01a0；mn, m、n、a(a )rs、a ar as(a 0,r,s Q);m、anam；指數函數:(1)、y ax(a 1)在定義域內是單調遞增函數；2、y ax(0 a1)在定義域內是單調遞減函數。注:指數函數圖象都恒過點對數性質:、loga Mloga N loga(MN) ；2、loga MlogaMNlogaUa N ；、l09abmmlogab ； (4)、log am bnnlog mab ；(5)、loga10、ga1；、alogabb對數函數：、y logaX(a1)在定義域內是單調遞增函數；2、y logax(0a 1)在定義域內是單調遞減函

9、數；注：對數函數圖象都恒過點、gx0a, x (0,1)或 a,x(1,)、gx0a (0,1)那么x (1,)或a (1,)那么x(0,1)對數的換底公式：logalog m N小Nm ( a 0,且 alog ma1, m0,且 m 1, N 0).指數式與對數式的互化式0).指數性質:1, N 0).0,且 a 1,N 0).0，114b a對數恒等式：a'O9aNN ( a 0,且a推論'ogambn log a b ( am15對數的四那么運算法那么：假設(1) lOga(MN) lOgaMa> 0, a工 1, M> 0, N> 0，貝U, K1M

10、lo9a N ;(2) log a 'O9a M log a N ；N logaMn n logaM(n R) ;(4) logam Nn log a N (n,m R)。m16平均增長率的問題負增長時p 0：如果原來產值的根底數為N,平均增長率為 p，那么對于時間x的總產值y，有y N(1 p)x.17等差數列：通項公式:門 an ai (n 1)d ，其中q為首項，d為公差，n為項數，an為末項。2推廣：an ak (n k)d& Sn 1(n 2)注：該公式對任意數列都適用前n項和：1 Sn；其中a1為首項，n為項數，an為末項。22Sn n 也23S.&1 an

11、(n 2)注：該公式對任意數列都適用4Snqa?寺注：該公式對任意數列都適用apaq；常用性質：1、假設m+n=p+q，那么有 am an注：假設am是an, ap的等差中項，那么有 2am an ap n、m、p成等差。2、假設anbn為等差數列，那么 an bn為等差數列。3、an為等差數列,Sn為其前n項和，貝U Sm, S2mS>m也成等差數列。等比數列：通項公式:1ann 1ag色 qn(n N*)q，其中a為首項，n為項數，q為公比。2推廣:anak qk 3anSnq 1(n2)注：該公式對任意數列都適用前n項和:常用性質:na1(q1)nSn3(1 q )1 q (q1)

12、1、假設 m+n=p+q ，那么有 am anap aq ；注：假設am是an,ap的等比中項，那么有2amanapn、m、p成等比。19三角不等式:1假設(3) |sinx|(0,2)，那么sinx x| cosx | 1 .tan x.(2)假設 x (0,-)，那么 1sin x cosx 2.20同角三角函數的根本關系式：sin2cos21, tan = ,cos21正弦、余弦的誘導公式奇變偶不變，符號看象限和角與差角公式si ntan()sin cos cos sin 、 tan tan).a sin1 Tta n tan；cos(bcos)cos cos 豐 sin sin=、a2

13、 b2 sin( )sin 2sin cos2ta n1 tan2cos22 cossin22cos211 2sin21 tan21 tan2ta n22ta ntansin 21 cos21 tan21 cos2sin 22 sin1 cos 2“21 cos 222三角函數的周期公式函數ysin( x),x R及函數ycos( x),x R(A, 3函數ytan( x),x k , k2Z (A, 3 ,為常數，且，輔助角所在象限由點a,b的象限決定二倍角公式及降幕公式為常數,三角函數的圖像:Am 0的周期b-).a2且am 0)的周期T ；| |T | |y=s inxXT-2 冗-3

14、n2正弦定理余弦定理：2 ,2a b面積定理：12_d21I.on2-1y=cosx y13 n2、 /;、X-/./ 2 n x -2 n-3 ,2 - n小2o nn , -3 71/22 n-1ABC外接圓的半徑2rr為sin A sin B a 2Rsin A, b2 2c 2bccosA; bsin C2Rsin B,c 2Rsin C2 2 2c a 2ca cos B; c111一ahabhbchc ha、hb、hc分別表示2221 1 absinCbcsin A21 casin B .2S OAB內切圓a : b : c sin A: sin B : sin C2 2a b 2

15、abcosC .a、b、c邊上的高.1 ,(|OA| |OB|)2 (OA2Sa三角形內角和定理在厶ABC中，有C AOB)2.,r直角 c內切圓2C2 2 2實數與向量的積的運算律1結合律：入卩a=入卩3第二分配律：入a + b=入:設入、2(Aa b c斜邊(A B)B).那么:為實數，a ;2第一分配律：入+卩a= a +卩a ; a + 入 b .2223242526272829530 a與b的數量積(或內積)：a b=i a | b| cos 。31平面向量的坐標運算：(1)設 a' = (X1,yJ, b=(X2,y2)，那么 a+b =oX2,y1y2).設 a'

16、 = (x1,yd , b =(x?, y2)，那么 a - b =:(為X2, y1y2).(3)設 A(x1,yJ , B(X2,y2),那么 AB OBOA(X2“2 %)設 a = (x, y), R，那么 a = ( x, y).(5)設 a = (xi,yi), b =化,y2)，那么 a b =(住 y2).32兩向量的夾角公式：cosy；Z_2(a = (Xi,yi)，b = (X2,y2).丨a| |b| £Xiyi 、X2 y33平面兩點間的距離公式：dA,B =1 AB I vAB AB ： (x2 X1)( y2 yi) (A (Xl> yi) , B(

17、X2,y2).34向量的平行與垂直：設a = (x1,y1), b = (x2,y2)，且b 0，那么：a | bb=入 aJ¥a b ( a 0)36三角形的重心坐標公式：x1x2心的坐標是G(3337三角形五“心向量形式的充要條件： 設O為 ABC所在平面上一點，角2OAOAx1y2 x2y10.交叉相乘差為零a b =0x1x2 y1 y2 0.對應相乘和為零 ABC三個頂點的坐標分別為 A(x1 ,y 1)、B(x2,y2)、C(x3,y 3),那么厶ABC的重 X3 y1 y2 y).12345O為O為O為O為O為ABC的外心ABC的重心ABC的垂心ABC的內心ABC的代B

18、,C所對邊長分別為a,b,c，那么2 2OB OC .OB OC 0.OA OB OB OCaOA bOBA的旁心 aOAcOCbOBOC OA.0.cOC .38常用不等式：a, b1a22a, b34b3bb2 2ab(當且僅當. ab (當且僅當3abc(a 0,b 0,cb2aba b39極值定理：x,y都是正數，那么有1523a = b時取“=號)a= b時取“=號)0).豊© a(當且僅當a= b時取“=假設積xy是定值p，那么當x y時和x y有最小值 2一 p1假設和X y是定值s，那么當x y時積xy有最大值 丄s2.4a, b,x,y R，假設ax by 1那么有

19、1111(ax by)( ) a xyx yb by _axx ya b 2、abb)2。a4 a, b,x,y R，假設一x1那么有X y (X y)(a -)x y bx ca 與 ax2-元二次不等式 集在兩根之外;間即：X x2 ax如果(XX或 X x2含有絕對值的不等式X斜率公式k里0(或bxX2x2yayx竺 a b 2 ab (、a 、b)2 y0) (a 0,b2 4ac 0)，如果a與ax2 bx c同號，那么其解c異號，那么其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之號,Xi)(X X2)(x 為)(x:當a> 0時，有O(XiX2)；X2) O(XiX2).

20、沁x2 xi直線的五種方程: i2P(N,yi)、巳化小)3點斜式 y斜截式 y2y2兩點式兩點式的推廣：yikxyi(X2k(x Xi)(直線 l 過點R(Xi, yj，且斜率為k ).b (b為直線I在y軸上的截距).x xi(yiy2)( R(Xi,yJ、R2(X2, y ( xX2,%y?).X2 X-IN)(y yi) (y2 yj(x為)0無任何限制條件！(4)截距式 一 一i( a> b分別為直線的橫、縱截距，a 0、b 0)a b5一般式 AxBy C0(其中A、直線Ax ByC 0的法向量:I點到直線的距離：d|AX0_By°C|Ja2 b2圓的四種方程：i圓

21、的標準方程(x a)2(yb)22圓的一般方程2 2x yDxEy3圓的參數方程x ar cosy br sin4圓的直徑式方程(x X|)(x x?)(y點與圓的位置關系：點P(X0,y°)與圓(x假設B不同時為0).(A, B)，方向向量:1(B,A)(點 P(x0,y0),直線 1 :Ax ByC 0)2 r .F 0( D2E2 4F >0).%)(y y 0(圓的直徑的端點是 Ax,%)、a)2 (y b)2r2的位置關系有三種：B(冷,y2).d直線(dd ,(a X0)2 (br 點R在圓上； 與圓的位置關系：Aa Bb Cv A2 B2r 相離d兩圓位置關系的判

22、定方法外離d riri/ i0driy。)2，那么 dd直線AxrBy點R在圓外; 點R在圓內.C0與圓(x0； d r:設兩圓圓心分別為4條公切線；d ri r2 相交2條公切線；相切O,a)2 (y b)2r2的位置關系有三種0； d rQ,半徑分別為ri, r2,. 外切0.OiO2 d，那么:3條公切線；相交內含 內切相交外切相離K4O d r2-ridri+12d d404142434647484950751545556Ax2橢圓弋a橢圓的切線方程內切1(a b:橢圓1條公切線；00)的參數方程是2y21(a bb221(ab雙曲線的方程與漸近線方程的關系a2 I2雙曲線篤a0,b0

23、)的離心率(1丨假設雙曲線方程為(2)假設漸近線方程為2y孑bxa內含無公切線.acosbsin0)與直線Ax離心率By C12b漸近線方程:b 0雙曲線可設為2x2a2 20相切的條件是A a2(3)假設雙曲線與務a2 y_ b20 ,焦點在x軸上，1有公共漸近線，可設為(4)焦點到漸近線的距離總是257雙曲線的切線方程：雙曲線 冷a2 px的焦半徑公式0 ,焦點在y軸上. b。2每 1與直線Ax Byb20相切的條件是58拋物線y2拋物線y22px(p 0)焦半徑CFX。過焦點弦長CDX2x1 x2 p.60直線與圓錐曲線相交的弦長公式AB、(為或ABJ1 kg xj24x2 x-|弦端點

24、A(x1，yJ,B(X2，y2)，由方程2 2X2) (y1 y2)I 1 tan2| y1b消去y得到ax0| x1 x21(x1 x2)2 4x1x2 .xkxyF(x,y)y2 | .1 cot2bx c 0為直線AB的傾斜角，61證明直線與平面的平行的思考途徑1轉化為直線與平面無公共點；62證明直線與平面垂直的思考途徑1轉化為該直線與平面內任一直線垂直；3轉化為該直線與平面的一條垂線平行；63證明平面與平面的垂直的思考途徑：1轉化為判斷二面角是直二面角；264向量的直角坐標運算：設 a = (a1.a2.a3), b = (D,b2,b3)那么：(1) a + b = (q ga? b

25、2,a3 Q) ； (2)(3)入 a = ( a, a2, a0 (入 R)； (4) a65夾角公式：0,k為直線的斜率,轉化為線線平行；3轉化為面面平行.2轉化為該直線與平面內相交二直線垂直;4轉化為該直線垂直于另一個平行平面。轉化為線面垂直;a b = 1 b = ab(3)轉化為兩平面的法向量平行。d,a2 b2,a3 bs)；a?b2 asbs;設 a = (a1,a2,as), b = (bbb)，那么 cosa,ba； a3 , b b； b；ab a2pasd66異面直線間的距離：d |CD n|(h,l2是兩異面直線，其公垂向量為n , C、D是li2上任一點，d為1(2間

26、的距離).|n|67點B到平面 的距離：| ar n |d n為平面的法向量，A ，AB是的一條斜線段|n|68球的半徑是R,那么其體積V R3,其外表積S 4 R2 .369球的組合體：(1) 球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長(2) 球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長(3)球與正四面體的組合體棱長為a的正四面體的內切球的半徑為12(正四面體高 6 a的),外接球的半徑為 6 a (正四面體高6 a的).34370分類計數原理加法原理：Nm m2 mn.分步計數原

27、理乘法原理：N m m2 mn.71 排列數公式：Am= n(n 1) (n m 1)=-( n , m N，且 m n).規定 0! 1.(n m)!72 組合數公式：crm=A_=n(n 1) (n m 1)=nJ(n N, m N，且 m n ).A1 2 m m! (n m)!組合數的兩個性質:(1)C_ = C- m ;(2)C_+C_1 = C_1.規定 c01.73二項式定理(a b)nC；anC：an1b C；an2b2C；anrbrC；bn二項展開式的通項公式Tr 1C；anrbr (r 0,2, n).f(x) (axb)n aQX2a?x- anXn的展開式的系數關系：a

28、°qa2anf(1);aoa1 a2 - ( 1)nanf( 1)； a。f(0)。74互斥事件A,B分別發生的概率的和：P(A + B)=P(A) + P(B).n個互斥事件分別發生的概率的和：P(A1 + A + + An)=P(A1) + P(A2) + P(A n)75獨立事件A,B同時發生的概率:P(A B)= P(A) P(B).n個獨立事件同時發生的概率：P(A1 A2 An)=P(A0 P(A 2) P(A n).76 n次獨立重復試驗中某事件恰好發生k次的概率：Pn(k) C：Pk(1 P)n k77數學期望：Ex,p x2F2 xnR 數學期望的性質1E(ab) aE()b. 2假設B(n, p),那么Enp.(3)假設服從幾何分布,且P(k) g(k, p) qk1 p，那么E1 p78方差：D2EP1x2 E2P2x-2Ep-"標準差方差的性質：(1) D a b a2D ； (2 丨假設 B(n, p)