1、第十章彈性力學空間問題知識點空間柱坐標系柱坐標基本方程空間軸對稱問題的基本方程球坐標的基本方程空間球對稱問題的基本方程位移表示的平衡微分方程布西內斯科解樂普位移函數分布載荷作用區域外的沉陷載荷作用區域內的沉陷彈性球體變形分析球體接觸壓力分析熱應力的彈性力學分析方法受熱厚壁管道壩體熱應力彈性應力波及波動方程質點的運動速度與瞬時應力應力波的相向運動膨脹波與畸變波一、內容介紹對于彈性力學空間問題以及一些專門問題，其求解是相當復雜的。本章的主要任務是介紹彈性力學的一些專題問題。通過學習，一方面探討彈性力學空間問題求解的方法， 這對于引導大家今后解決某些復雜的空間問題， 將會有所幫助。另一方面，介紹的彈

2、性力學專題均為目前工程上普遍應用的一些基本問題，這些專題的討論有助于其它課程基本問題的學習， 例如土建工程的地基基礎沉陷、機械工程的齒輪接觸應力等。本章首先介紹空間極坐標和球坐標問題的基本方程。 然后討論布希涅斯克問題，就是半無限空間作用集中力的應力和沉陷。 通過布希涅斯克問題的求解， 進一步推導半無限空間作用均勻分布力的應力和沉陷、以及彈性接觸問題。另一方面，本章將介紹彈性波、熱應力等問題的基本概念。二、重點1、空間極坐標和球坐標問題； 2、布希涅斯克問題； 3、半無限空間作用均勻分布力的應力和沉陷；彈性接觸問題； 4、彈性波； 5、熱應力。§10.1 柱坐標表示的彈性力學基本方程

3、學習思路 :對于彈性力學問題，坐標系的選擇本身與問題的求解無關。但是，對于某些問題，特別是空間問題， 不同的坐標系對于問題的基本方程、特別是邊界條件的描述關系密切。某些坐標系可以使得一些特殊問題的邊界條件描述簡化。因此，坐標系的選取直接影響問題求解的難易程度。例如對于彈性力學的軸對稱或者球對稱問題， 如果應用直角坐標問題可能得不到解答，而分別采用柱坐標和球坐標求解將更為方便。本節討論有關空間柱坐標形式的基本方程。 特別是關于空間軸對稱問題的基本方程。學習要點：1、空間柱坐標系； 2、柱坐標基本方程； 3、空間軸對稱問題的基本方程。1、空間柱坐標系在直角坐標系下，空間任意一點M 的位置是用 3

4、個坐標（ x，y，z）表示的，而在柱坐標系下，空間一點M 的位置坐標用（， ，z）表示。直角坐標與柱坐標的關系為：x =cos， y =sin， z = z柱坐標下的位移分量為：u ， u ， w柱坐標下的應力分量為：， z，z， z柱坐標下的應變分量為：， z，z， z以下討論柱坐標系的彈性力學基本方程。2、柱坐標基本方程1、平衡微分方程2、幾何方程3、物理方程其中3、空間軸對稱問題的基本方程對于軸對稱問題，即物體的幾何形狀，邊界條件和約束條件等外界因素均對稱于某一坐標軸，例如 z 軸時，則根據變形的對稱性，有根據幾何方程，則應變分量和應力分量僅是坐標以簡化為，而根據本構方程，則。其余,z

5、的函數，而與坐標無關。因此，基本方程可1、平衡微分方程2、幾何方程3、本構方程§10.2 球坐標表示的彈性力學基本方程學習思路 :對于彈性力學問題，坐標系的選擇本身與問題的求解無關，但是坐標系的選擇與問題的基本方程、 特別是邊界條件的描述關系密切。因此，坐標系的選取直接影響問題求解的難易程度。對于球體、特別是球對稱問題，采用球坐標求解將更為方便。這些問題如果應用直角坐標問題可能得不到解答。本節討論空間球坐標系的基本方程表達形式。 對于空間球對稱問題的基本方程表達形式作專門的探討。學習要點：1、球坐標的基本方程； 2、空間球對稱問題的基本方程1、球坐標的基本方程在球坐標系下，空間一點

6、M 的位置是用 3 個坐標（ R， ， ）表示。直角坐標與球坐標的關系為如果分別采用表示柱坐標下的位移分量；采用和分別表示柱坐標下的應力和應變分量。則它們應該滿足下列方程，有1、平衡微分方程2、幾何方程3、物理方程2、空間球對稱問題的基本方程對于球對稱問題，也就是說物體的幾何形狀，約束條件，外力和其他外界因素都對稱于某一點（例如坐標原點） 。由于變形的對稱性，則。根據幾何方程和本構方程，則和，其余的應變分量和應力分量也僅是坐標R 的函數，而與坐標 ， 無關。而且。因此基本方程可以簡化為如果將球對稱位移代入平衡微分方程，則球對稱條件下的位移表示的平衡微分方程為§10.3 半無限平面受法

7、向力的作用學習思路 :1885 年，布西內斯科（ Boussinesq.J.V）首先求解了半無限平面受法向集中力作用的問題，因此該問題稱為布西內斯科問題。這一問題的求解是彈性力學最有理論價值的結論之一。布西內斯科問題的求解對于地基應力、基礎沉陷和彈性力學接觸等領域的研究工作具有重要的應用價值，為相關學科的理論研究奠定了基礎。根據結構分析，問題是空間軸對稱問題，因此采用柱坐標求解。求解方法采用位移法，求解步驟為：1、建立位移表示的平衡微分方程。2、引入樂甫（ love）位移函數簡化問題分析。這一方面簡化問題分析，使得基本方程成為雙調和方程； 另一方面，樂甫函數作為基本未知量可以表達彈性體的位移和

8、應力分量，因此減少了面力邊界條件在位移解法中應用的困難。3、根據問題的性質假設樂甫位移函數，并且通過邊界條件確定函數的待定系數。4、回代可以確定問題的位移，特別是半無限平面的沉陷等。學習要點：1、位移表示的平衡微分方程； 2、樂甫位移函數與基本方程； 3、樂甫位移函數的選擇與基本未知量； 4、邊界條件與布西內斯科解。1、位移表示的平衡微分方程設半無限體的表面受法向集中力F 的作用，選取坐標系如圖所示在不計重力的條件下，求半無限體內的應力和位移分布情況。對于半無限平面受法向集中力 F 的作用問題。 根據結構的受力分析， 顯然這是一個空間軸對稱問題，因此采用柱坐標求解。問題的求解有多種方法，下面討

9、論位移法求解。將軸對稱問題的本構方程代入平衡微分方程則可以得到位移表示的平衡微分方程其中，空間軸對稱問題的拉普拉斯算符為。如果不計體力，則平衡微分方程可以簡化為2、樂甫位移函數與基本方程對于無體力的半無限平面受法向集中力作用問題，基本方程為在給定邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程。對于空間軸對稱彈性體分析， 可以引入樂甫（ love）位移函數簡化問題分析。設位移分量為將上述位移分量代入平衡微分方程，可以得到關于( ，z)的雙調和方程。( ，z)稱為樂甫函數。因此，問題就歸結于在給定的邊界條件下求解雙調和函數 ( ，z)。引入樂甫位移函數一方面可以簡化問題，使得基本方程成為雙調和方程；另一方面

10、由于樂甫函數作為基本未知量可以表達彈性體的位移和應力分量， 因此減少了面力邊界條件在位移解法中應用的困難。將樂甫函數表達的位移分量代入幾何方程和本構方程，則問題求解的關鍵是建立雙調和函數( ， z)。3、樂甫位移函數的選擇與基本未知量根據量綱分析，應力分量表達式應為 F 乘以 ， z，R 等長度坐標的負二次冪，位移分量應為長度坐標的負一次冪函數。 如果注意到應變分量和位移分量之間的關系，以及應變分量和應力分量之間的關系， 可以知道，樂甫函數 ( ，z) 為，z，R 的正一次冪的雙調和函數。所以設樂甫位移函數為其中，而 A 和 B 為任意常數。將樂甫函數代入位移和應力分量表達式，則可以得到位移分

11、量應力分量4、邊界條件與布西內斯科解根據面力邊界條件，有。根據上述邊界條件第二式，可得考慮距離表面為z 的水平面上的正應力的合力由平衡條件，有求解可以得到聯立求解上述方程，可得。回代可得位移分量為應力分量為根據位移表達式，對于任何一條常數的直線上，位移與距坐標原點的距離成反比。在無窮遠點，位移趨于零。在 z = 0 的平面上，即半無限體表面上任一點的法向位移（即沉陷）為上式對于任意的 z =0，而 0均成立。 公式表明，半無限體表面的沉陷與該點到力的作用點的距離成反比。上述公式稱為布西內斯科解。§10.4 半無限平面作用法向分布載荷學習思路 :通過布西內斯科問題解答的疊加， 可以得到

12、表面區域作用分布載荷問題的解答。本節討論半無限體，表面半徑為a 到圓形區域，作用均勻法向分布力問題。分析半無限彈性體的應力和位移分布等，特別是表面沉陷問題。問題分為三個部分討論。一是載荷作用區域中心點下方的位移；二是載荷作用區域外的沉陷；三是載荷作用區域內的沉陷。由于分布載荷是連續的，因此問題的迭加工作可以通過積分完成。這里應該特別注意的是布西內斯科解的坐標在積分中的變換問題。由于坐標的變換， 因此對于每一個問題都要建立積分的局部坐標。積分坐標變換是本節學習的難點。學習要點：1、載荷作用區域中心點下方的位移；2、載荷作用區域外的沉陷；3、載荷作用區域內的沉陷。1、載荷作用區域中心點下方的位移在

13、半無限體的表面半徑為 a 到圓形區域作用法向分布力， 其應力分量和位移分布情況可以通過半無限體受法向集中力的結果迭加得到。 設圓形區域的半徑為a，單位面積的壓力為 q，如圖所示首先分析載荷作用圓形區域中心下面（即 z 軸上）任意一點的位移表達式。對于圓形區域中心下面任意一點 M，由于對稱性，有z 方向的位移分量可以根據公式的第二式得到。引進變量, 并且注意到則環形面積上的分布載荷q 引起圓形區域中心下面任意一點M 的位移為所以令上式中 z=0，則可得載荷圓域中心點的沉陷為2、載荷作用區域外的沉陷下面討論半無限體表面的沉陷。對于半無限體表面上的點 M，則必須首先區分它在載荷圓形區域之外，還是在圓

14、形區域之內。如果點 M 位于載荷圓形區域之外，則由圖可見變量 s 和作為描述圓形區域的局部坐標，則根據公式可得圖中陰影部分的合力在 M 點產生的沉陷為因此， M 點的總沉陷為對上式進行積分， 注意到弦 mn 的長度，即并且在積分時考慮對稱性，可得積分上限1 是的最大值，即圓的切線與 OM 之間的夾角，對于確定的點 M，它是確定的值。為了簡化運算，我們引進變量，由圖可見，它與之間的關系為a sin=sin由此可得將上式代入積分公式，并且注意到當 從 0 變化到 1 時， 由 0 變化到 /2，于是上式右邊的兩個積分為橢圓積分， 他們可以按照 a/ 的數值從函數表中查出。當 =a 時，則3、載荷作

15、用區域內的沉陷如果點 M 位于載荷圓域內部，考慮圖中的陰影部分（其面積為 dA=sdds）在點 M 引起的沉陷，然后經積分，得到總沉陷為由于弦 mn 的長度，即，而是由 0 變化到/2 的，所以利用關系式 a sin=sin ，則上式成為上式右邊的橢圓積分，可以通過查表而得到。若令=0 ，則可以得到公式的結果，它是半無限體表面的最大沉陷。將公式和公式相比較，可見最大沉陷是載荷圓邊界沉陷的/2 倍。由公式可以看到，最大沉陷不僅與載荷集度 q 成正比，而且還與載荷圓的半徑成正比。半無限體表面作用分布載荷的應力分量同樣可以使用疊加法求解。§10.5 赫茲接觸問題學習思路 :1881 年,赫

16、茲（ hertz,H.R）首先研究了彈性球體的接觸問題。本節以彈性球體的接觸介紹接觸問題的基本概念。由于球體的接觸區域對于彈性球體是局部，因此，彈性球體的接觸問題可以以半無限平面分布載荷解為基礎，分析接觸區域的局部變形。 這里的問題是球體接觸壓力是未知函數，因此必須首先根據球體的變形確定未知接觸壓力。赫茲認為接觸區域（半徑為 a 的圓）的壓力與接觸區域半球面的縱坐標成正比。根據這一假設和球體變形分析，可以確定接觸壓力分布函數和接觸區域。進一步的討論可以確定球體的接觸應力和變形。學習要點：1、彈性球體變形分析；2、球體接觸壓力分析。1、彈性球體變形分析設彈性球體的半徑分別為A1 和 A2，變形前

17、兩球體在 O 點接觸（相切）。兩個球體在其中心均受集中力F 的作用，變形后球體在半徑為a 的圓形區域接觸。 接觸區域內任意一點與中心的距離為，并且球體在的沉陷分別為1，2，則其中。由于接觸區域對于彈性球體是局部， 因此 遠小球體的半徑 A1 和 A2, 因此可以采用半無限平面解答分析接觸局部變形。對于兩球體距離接觸面足夠遠的任意兩點 A1 和 A2,由于相互壓縮而相互接近的距離為 ，相對位移分別為 w1 和 w2，則如果將球體接觸面看作彈性半無限體作用圓形區域分布載荷問題，A1和 A2為球體接觸面上的點，則位移為，其中 , E1， 1 和 E2， 2 分別為球體 R1，R2 的彈性模量和泊松比

18、。則2、球體接觸壓力分析應該注意的是，這里接觸壓力 q 是未知函數，因此，首先必須確定圓形區域的接觸分布載荷。赫茲認為接觸區域的接觸壓力與接觸區域半球面的縱坐標成正比。根據這一假設和球體變形分析，可以確定接觸壓力分布函數和接觸區域，有其中 qmax 為接觸區域中心的壓力，sin為接觸區域內部任意一點與接觸區域中心的距離。如圖所示因為 s 長度 mn 為。s 長度 mn 中點的壓力為 q( )，所以因此，回代可得，因此。圓形接觸區域的半徑為。最大接觸壓力為。如果 E1=E2=E， 1= 2=0.3，則圓形接觸區域的半徑為球體接觸為。根據上述分析，也可以進一步求解球體的接觸應力分布。§1

19、0.6 彈性力學熱應力問題學習思路 :彈性體由于環境溫度的變化而導致膨脹和收縮，并且伴隨產生應力，這種由于溫度改變出現的應力稱為溫度應力， 或者熱應力。對于某些在溫度變化環境下工作的工程結構，熱應力是不容忽視的。本節將通過簡例扼要說明熱應力的彈性力學分析方法。對于熱應力問題，平衡微分方程和幾何方程是相同的，不同的是物理方程。通過受熱厚壁管道和壩體熱應力分析， 介紹熱應力問題分析和求解的基本方法。學習要點：1、熱應力的彈性力學分析方法； 2、受熱厚壁管道； 3、熱彈性勢函數和管道熱應力； 4、楔形體壩體； 5、壩體熱應力。1、熱應力的彈性力學分析方法對于各向同性彈性體，在均勻溫度下受熱將發生膨脹

20、，如果變形前的三個坐標方向尺寸相同，均為l，變形后各個方向的伸長均為l， 稱為線膨脹系數。如果溫度變化為 T，則各個坐標方向的線應變為如果彈性體所處的環境溫度是隨著時間和空間變化的，稱為溫度場。在直角坐標系，溫度場是時間和坐標的函數，有T= T (x，y，z，t)。如果溫度場不隨時間變化（），稱為定常溫度場，即熱源強度W=0。否則均為非定常溫度場。溫度場是一種數量場。熱量的傳遞引起溫度的變化，也就是溫度梯度的變化。如果單位時間、單位面積上傳遞的熱量定義為熱流密度， 顯然熱流密度與溫度梯度成正比， 方向相反。這一規律稱為傅立葉定律。以下給出平面熱應力問題的基本方程。對于熱應力問題，平衡微分方程和

21、幾何方程是相同的，不同的是物理方程。平面應力問題，本構方程為平面應變問題，本構關系為下面給出受熱管道和壩體的熱應力分析結果。2、受熱厚壁管道對于受熱厚壁管道，設管道的內徑為 a，外徑為 b。管道內溫度增量為 Ta，管道外溫度增量為 0，管道內無熱源時管道內熱應力為 0。由于管道為定常溫度場，根據熱傳導方程可以得到作為軸對稱溫度場，有。積分可得。根據邊界條件，可以得到。則。對于軸對稱問題，有。平衡微分方程為。幾何方程本構方程。將上述應力分量代入平衡微分方程，有。3、熱彈性勢函數和管道熱應力引入熱彈性勢函數( )，使得。注意到，將 ( )代入平衡微分方程，可得求解可得。其中。令則注意到上述應力分量

22、在邊界= a 和= b 分別等于常數 q1 和 q2，這與命題邊界條件不符。對這一問題， 可以借助平面軸對稱問題的解，疊加可以得到管道熱應力4、楔形體壩體對于頂角為2 的楔形體壩體，壩體內部的熱應力是一個重要的工程實際問題。這個問題比較復雜， 引起溫度變化的原因也是多方面的。這里僅討論楔形體壩體中心線的溫度變化為T0，壩體兩側面溫度變化為零的情況。設壩體內部的溫度變化為壩體問題屬于平面應變問題，但是為了使得問題簡化，先按照平面應力問題分析。對于彈性力學平面應力問題的位移解法，熱彈性勢函數滿足即取熱彈性勢函數，代入上式，可得所以回代可得根據上述熱彈性勢函數，可以得到應力分量的特解其中5、壩體熱應

23、力上述應力分量特解在邊界的值為為了消除與原命題不符的上述應力場， 類似地疊加一個相反的應力場。 為此考慮應力函數因為為雙調和函數，所以根據平面問題的極坐標解，可以求解應力場，疊加可以得到楔形體壩體的熱應力計算公式根據上述應力表達式，最大拉應力在壩體邊界，有§10.7 彈性波初等理論學習思路 :變形物體受突加載荷作用后，將產生變形。這種變形和與之伴隨而生的應力并不能立即傳遞到物體的其它部分。 在開始時刻，物體的變形僅僅在加載區域的臨近區域產生， 而這個鄰域以外的部分則仍處于未擾動狀態。 其后，物體的變形和應力便以波的形式向遠處傳播。由于載荷作用時間與波的傳播過程相比要短的多，因此，物體

24、運動方式主要表現為波的傳播。根據介質的物理性質，邊界條件和載荷的作用方式，波的傳播過程將呈現各種不同的特性。本節主要介紹彈性波的基本理論，主要介紹概念為：1、討論彈性波和波動方程。這個問題通過半無限長彈性桿件說明，因此不存在波的反射問題的；2、根據波動方程分析質點的運動速度與瞬時應力的關系；3、討論彈性波的相向運動。由于有限長桿件的彈性波問題必然存在波的反射；4、介紹部分常見彈性應力波。彈性波問題是一個相當復雜的問題。根據擾動源、介質性質和物體形態的不同，將使得問題出現各種復雜， 但是有趣的現象。 此外還有其它形式傳播的彈性波，非彈性波。這些彈性波問題對應一定的工程技術應用問題。 本節介紹的僅

25、僅是彈性波理論的初等理論。學習要點：1、彈性應力波及波動方程； 2、質點的運動速度與瞬時應力； 3、應力波的相向運動； 4、膨脹波與畸變波。1、彈性應力波及波動方程首先以半無限長彈性細桿為例研究彈性應力波在桿內向遠處傳播的規律。設材料的彈性模量為E，密度為。設桿件所受載荷比較小，使得桿端應力 sd，sd 為材料的動屈服極限。同時設載荷為壓力， 則桿件傳播的是彈性壓縮波。 因此設壓縮應力為正， 則運動方程（波動方程）為其中是一個與應力大小無關的常數，為桿件中彈性縱波的波速。 對于金屬材料而言，其數量級為每秒幾千米（彈性橫波的波速一般是縱波的一半）。一般材料的 C0 值可以查表得到。應該指出，波的

26、傳播速度 u 和在波傳播中材料質點的運動速度 v 是兩個不同的物理量，不能相互混淆。材料的質點受到擾動后， 只能在平衡位置附近運動，其運動速度稱為質點的速度 v。而質點將所受到的干擾相繼傳播到相鄰質點的速度，稱為波的傳播速度 u。對于波動方程這個二階微分方程可以改寫作與之等價的一階偏微分方程組，如果令，則，所以。波動方程可以寫作上述方程寫作矩陣形式，有即。其中2、質點的運動速度與瞬時應力進一步分析可以看到，質點的運動速度與瞬時應力 成正比，它比較波速要小的多，并且可以根據波動方程直接求解得到。 實際上，對于現在討論的半無限長彈性細桿在端部受動力作用，而且沒有反向波，則波動方程的解可以簡化為因此

27、，可以得到上式根據本構方程和幾何方程得到的應力是拉伸為正，而彈性波問題中規定壓應力為正，所以應力相差一個符號，考慮這一因素，比較和 v 的表達式，可以得到或者C0v=Z s。上述分析中規定壓應力為正，常數Zs= C0。上述公式表明：1、質點的運動速度 v 與瞬時應力 成正比，比例常數 Zs= C0 稱為聲阻抗率，其單位為 Pa·s/m。2、如果桿件端部受到壓力，則波的傳播方向u 與質點的運動速度v 方向和應力方向 一致。反之，如果桿件端部受到拉力作用，則波的傳播方向與質點的運動 v 速度方向和應力 方向相反。3、可以解釋或者推導為：在t 時刻，假設桿件端部的應力是不變的，因而桿件的受壓縮長度為，在 x>的桿件內，沒有受到擾動。在擾動段內，。因此，桿件端部的總位移為。在這個時間內，桿件端部的位移同時應該為vt，令二者相等，則可以得到質點的運動速度v與瞬時應力的關系。3、應力波的相向運動對于有限長桿件，干擾作用的彈性應力波將在桿件端部產生反射，因此需要考慮兩個相向運動的應力波的作用。假如兩個相向運動的應力波的應力分別為 1 和 2，符號相同。由于彈性波的控制方程是線性的， 所以當兩個波相遇時， 其重疊部分的應