1、第第3章章 圖形變換圖形變換 圖形變換一般是指對圖形的幾何信息經過幾何變換圖形變換一般是指對圖形的幾何信息經過幾何變換后產生新的幾何圖形。后產生新的幾何圖形。圖形變換既可以看作是坐標系不圖形變換既可以看作是坐標系不動而圖形變動，變動后的圖形在坐標系中的坐標值發生動而圖形變動，變動后的圖形在坐標系中的坐標值發生變化；也可以看作圖形不動而坐標系變動，變動后，該變化；也可以看作圖形不動而坐標系變動，變動后，該圖形在新的坐標系下具有新的坐標值，這兩種情況本質圖形在新的坐標系下具有新的坐標值，這兩種情況本質上是一樣的。上是一樣的。圖形變換歸結為對組成圖形的點集坐標的圖形變換歸結為對組成圖形的點集坐標的變

2、換。變換。編輯修改、從各種視角觀察幾何實體，動畫仿真、編輯修改、從各種視角觀察幾何實體，動畫仿真、裝配等操作都是通過坐標點的平移、比例、旋轉、鏡射裝配等操作都是通過坐標點的平移、比例、旋轉、鏡射和錯切等的幾何變換實現的和錯切等的幾何變換實現的, ,本章介紹二維、三維基本幾本章介紹二維、三維基本幾何變換以及投影變換。何變換以及投影變換。 n3.1 點的矩陣表示點的矩陣表示n3.2二維圖形的基本變換二維圖形的基本變換n3.3 二維齊次坐標和齊次變換矩陣二維齊次坐標和齊次變換矩陣n3.4二維圖形的組合變換二維圖形的組合變換 n3.5三維圖形的變換三維圖形的變換n3.6三維圖形的投影變換三維圖形的投影

3、變換 3.1 3.1 點的矩陣表示點的矩陣表示 在二維空間中，用坐標在二維空間中，用坐標 表示平面上的表示平面上的一點。為了便于進行各種變換運算，通常把二維一點。為了便于進行各種變換運算，通常把二維空間中的點表示成空間中的點表示成2 1列列矩陣矩陣或者表示成或者表示成1 2行行矩矩陣陣。即。即2112,yxyx),(yx3.1.1 點的矩陣表示點的矩陣表示 3.1.2 3.1.2 二維圖形的矩陣表示二維圖形的矩陣表示 點是構成圖形的最基本要素。一個三維實體可以看成是由點是構成圖形的最基本要素。一個三維實體可以看成是由若干個面圍成的，而面則是由線圍成的，一條曲線可以看作是若干個面圍成的，而面則是

4、由線圍成的，一條曲線可以看作是由許多短直線段擬合而成，一條直線則是由兩個端點連接而成由許多短直線段擬合而成，一條直線則是由兩個端點連接而成的。所以，一般情況下，可以認為圖形是一個的。所以，一般情況下，可以認為圖形是一個點集點集。因此，圖。因此，圖形實體的變換實際上就是點集的變換，而點的幾何變換則是圖形實體的變換實際上就是點集的變換，而點的幾何變換則是圖形變換的基礎。形變換的基礎。 點是構成圖形的最基本要素，可用點的集合（簡稱點集）點是構成圖形的最基本要素，可用點的集合（簡稱點集）來表示一個二維圖形，其矩陣的形式為：來表示一個二維圖形，其矩陣的形式為：22211nnnyxyxyx3.2 二維圖形

5、的基本變換二維圖形的基本變換 在計算機繪圖中，常常要對圖形進行比例、鏡射、在計算機繪圖中，常常要對圖形進行比例、鏡射、旋轉、平移、投影等各種變換，既然圖形可以用點集來旋轉、平移、投影等各種變換，既然圖形可以用點集來表示，那么，二維圖形的基本變換就可以通過點集的變表示，那么，二維圖形的基本變換就可以通過點集的變換來實現。點的位置改變了，圖形就會隨之改變。即：換來實現。點的位置改變了，圖形就會隨之改變。即： 舊點（集）舊點（集）變換矩陣變換矩陣 新點（集）新點（集） 運算矩陣3.2.1 3.2.1 平移變換平移變換 平移是指點從一個位置移動到另一個位置的直線移動，平移是指點從一個位置移動到另一個位

6、置的直線移動，即點即點 。令。令X X、Y Y軸方向的偏移量分別軸方向的偏移量分別為為l l和和m m，則，則或或 平移變換如圖平移變換如圖3.13.1所示，圖中實線圖形框為原始位置，虛所示，圖中實線圖形框為原始位置，虛線圖形框為沿線圖形框為沿X X軸平移軸平移 和沿和沿Y Y軸平移軸平移 所到達的位置。所到達的位置。myylxx* mylxyx*)*,(*),(yxpyxp圖圖3.1 平移變換平移變換lm3.2.2 3.2.2 比例變換比例變換 設設a和和d分別為分別為X、Y軸方向的縮放比例系數。則點軸方向的縮放比例系數。則點 的變換為的變換為 或或 式中式中 ，稱為比例變換矩陣。，稱為比例

7、變換矩陣。 *)*,(*),(yxpyxpdyyaxx* Tyxdayxdyaxyx00*daT00比例變換如圖比例變換如圖3.2所示，圖中實線圖形框為原始圖形，虛線圖形框放大所示，圖中實線圖形框為原始圖形，虛線圖形框放大2倍倍后的圖形。后的圖形。比例因子比例因子a和和d分別取不同的值（分別取不同的值（a，d0）將獲得不同的變換結果：）將獲得不同的變換結果： 恒等變換：恒等變換： ，變換后點的坐標不變。，變換后點的坐標不變。 等比變換：等比變換： ，當，當 時，變換后圖形等比例放大，時，變換后圖形等比例放大， 如圖如圖3.23.2所示。所示。 當當 時，變換后圖形等比例縮小。時，變換后圖形等比

8、例縮小。1 da1 daOXY圖圖3.2 比例變換（等比例變換）比例變換（等比例變換）1 da1 da 若若 ，變換后圖形產生畸變。如取，變換后圖形產生畸變。如取 ，則變換，則變換 矩陣為矩陣為 ，圖形框的變換為圖形框的變換為 變換后的圖形如圖變換后的圖形如圖3.33.3所示，圖中虛線框為變換后的圖形。所示，圖中虛線框為變換后的圖形。 da OXY圖圖3.3 不等比例變換不等比例變換5 . 0, 2da5 . 0002T520540104010205 . 000210101020202020103.2.3 3.2.3 旋轉變換旋轉變換 設點（設點（x，y）繞坐標原點逆時針旋轉）繞坐標原點逆時針

9、旋轉 角，則點角，則點 的變換為的變換為或或 式中式中 ，稱其旋轉變換矩陣。，稱其旋轉變換矩陣。*)*,(*),(yxpyxpcossin*sincos*yxyyxx Tyxyxyxyxyxcossinsincoscossinsincos*cossinsincosT),(yxpr*)*,(*yxpsincosryrx)sin(*)cos(*ryrxcossinsincoscossin)sin(*sincossinsincoscos)cos(*yxrrryyxrrrx3.2.4 3.2.4 鏡射變換鏡射變換 鏡射變換即產生圖形的鏡像，用來計算鏡射圖形，也稱為對稱變換。鏡射變換即產生圖形的鏡像，用

10、來計算鏡射圖形，也稱為對稱變換。包括對于坐標軸、坐標原點、包括對于坐標軸、坐標原點、45直線和任意直線的鏡射變換。直線和任意直線的鏡射變換。 1. 對對X軸的鏡射變換軸的鏡射變換對對X軸的鏡射變換應有，軸的鏡射變換應有， ，即，即變換矩陣為：變換矩陣為：T= ，變換結果如下圖所示。，變換結果如下圖所示。yyxx*,*1001 Tyxyxyxyx1001*OXY原始位置對X軸鏡射對對X軸的鏡射變換軸的鏡射變換2. 對對Y軸的鏡射變換軸的鏡射變換 ，即，即 變換矩陣為變換矩陣為 ，變換結果如下圖所示。，變換結果如下圖所示。 yyxx*,*1001T Tyxyxyxyx1001*OXY對Y軸鏡射原始

11、位置 對對Y軸的鏡射變換軸的鏡射變換3. 對原點的鏡射變換對原點的鏡射變換 ，即，即變換矩陣為：變換矩陣為：鏡射變換結果如下圖所示。鏡射變換結果如下圖所示。 yyxx*,*1001TOXY原始位置對原點鏡射 對原點的鏡射變換對原點的鏡射變換 Tyxyxyxyx1001OXY對Y軸鏡射原始位置對原點鏡射對X軸鏡射圖圖3.4 鏡射變換鏡射變換4.對對45線的鏡射變換線的鏡射變換 （1）對）對+45線的鏡射線的鏡射對對+45線的鏡射應有：線的鏡射應有： , ,其鏡射變換為其鏡射變換為則變換矩陣為：則變換矩陣為： ，鏡射變換結果如圖，鏡射變換結果如圖3.53.5所示。所示。（2）對）對-45線的鏡射變

12、換線的鏡射變換對對- -45線鏡射，線鏡射， ，即，即則變換矩陣為：則變換矩陣為： ，對對-45-45線的鏡射變換結果如圖線的鏡射變換結果如圖3.53.5所示。所示。 xyyx*,*0110Txyyx*,*0110TOXY圖圖3.5 45線鏡射變換線鏡射變換 原始位置對-45線鏡射對+45線鏡射 Tyxyxxyyx0110 Tyxyxxyyx01103.2.5 3.2.5 錯切變換錯切變換 錯切用于描述受到扭曲、剪切后的幾何體形狀。錯切用于描述受到扭曲、剪切后的幾何體形狀。在沿在沿X軸的錯切變換中，軸的錯切變換中，y坐標不變，坐標不變，x坐標有一增量。變換后原來坐標有一增量。變換后原來平行于平

13、行于Y軸的直線，向軸的直線，向X軸方向錯切成與軸方向錯切成與X軸成一定的角度。而在沿軸成一定的角度。而在沿Y軸的錯切變換中，軸的錯切變換中，x坐標不變，坐標不變，y坐標有一增量。變換后原來平行坐標有一增量。變換后原來平行于于X軸的直線，向軸的直線，向Y軸方向錯切成與軸方向錯切成與Y軸成一定的角度。軸成一定的角度。 式中式中 ，為錯切變換矩陣，其中，為錯切變換矩陣，其中c和和b不同時為不同時為0。 Tyxcbyxbxycyxyx11*11cbT 1. 沿沿X軸向錯切軸向錯切令錯切變換矩陣令錯切變換矩陣 中的中的b=0，且，且c0，其變換就是沿，其變換就是沿X軸方向的錯切。軸方向的錯切。即即當當

14、時，錯切沿著時，錯切沿著X X軸的正向；當軸的正向；當 時，錯切沿著時，錯切沿著X X軸的負向。軸的負向。錯切直線與錯切直線與X X軸的夾角為軸的夾角為如果設如果設 ，對圖，對圖3.63.6（a a）中的方形圖框進行錯切變換，有）中的方形圖框進行錯切變換，有11cbT Tyxcyxycyxyx101000101030102012010001010101000c0cccyy1tan2cY（20,10） （30,10）OXY（a）原始圖形 （b）沿X軸方向錯切OX（10,0）（10,10） （10,0）（0,10）沿沿X X 軸方向錯切變換的結果如下圖所示：軸方向錯切變換的結果如下圖所示： 2.

15、2. 沿沿Y Y軸向錯切軸向錯切令錯切變換矩陣令錯切變換矩陣 中的中的c c=0=0，且，且b b00，其變換就是沿，其變換就是沿Y Y軸方向的錯切。軸方向的錯切。即即當當 時，錯切沿著時，錯切沿著Y Y軸的正向；當軸的正向；當 時，錯切沿著時，錯切沿著Y Y軸的負向。軸的負向。錯切直線與錯切直線與Y Y軸的夾角為軸的夾角為如果設如果設 ，對圖，對圖3.63.6（a a）中的方形圖框進行錯切變換，有）中的方形圖框進行錯切變換，有 Tyxbyxbxyxyx1010b0bbbxx1tan2b11cbT00201030101001021000101010100沿沿Y Y軸方向錯切變換的結果如下圖所示

16、軸方向錯切變換的結果如下圖所示OX（a）原始圖形 （c）沿Y軸方向錯切OXY（10,30） （10,20）（0,10）（0,0）（10,10） （10,0）（0,10）YY（20,10） （30,10）OXY（a）原始圖形 （b）沿X軸方向錯切 （c）沿Y軸方向錯切OXYOX（10,30） （10,20）（0,10）（0,0）（10,0）（10,10） （10,0）（0,10）圖圖3.6 錯切變換錯切變換注意，上面介紹的錯切變換的錯切方向是指第注意，上面介紹的錯切變換的錯切方向是指第 象限而言，其余象象限而言，其余象限的點的錯切方向應做相應的改變。限的點的錯切方向應做相應的改變。 mlyxmy

17、xlyxmylxyx100111001*3.3 3.3 二維齊次坐標和齊次變換矩陣二維齊次坐標和齊次變換矩陣3.3.1 3.3.1 二維齊次坐標二維齊次坐標 前面我們已經介紹了五種基本變換，除了平移變換以外，其余四種變換前面我們已經介紹了五種基本變換，除了平移變換以外，其余四種變換的系數都可以用一個的系數都可以用一個2 2矩陣來表示，即矩陣來表示，即 。變換矩陣中變換矩陣中a、b、c、d為變換比例因子，它們取值不同，可以實現各種不為變換比例因子，它們取值不同，可以實現各種不同變換。同變換。為了使格式統一，現在研究平移變換的系數矩陣。為了使格式統一，現在研究平移變換的系數矩陣。如前面所設，令如前

18、面所設，令X X、Y Y軸方向的偏移量分別為軸方向的偏移量分別為l l和和m m，考慮到上面的，考慮到上面的2 2 2 2變換變換矩陣，進一步推導平移變換：矩陣，進一步推導平移變換： dcbaT為了統一，可以將二維基本變換矩陣的形式由為了統一，可以將二維基本變換矩陣的形式由22階矩陣擴充成一個階矩陣擴充成一個32階矩陣，即階矩陣，即 23mldcbaT這樣以來又出現了一個新的問題，即二維圖形的點集矩陣是這樣以來又出現了一個新的問題，即二維圖形的點集矩陣是n2階，而階，而變換矩陣是變換矩陣是32階，二者無法相乘，不能進行圖形變換運算。為此，引階，二者無法相乘，不能進行圖形變換運算。為此，引入入齊

19、次坐標齊次坐標的概念。的概念。mlT1001其系數矩陣應為其系數矩陣應為 。 mlyxyx100111*如果齊次坐標是將一個齊次坐標是將一個n n維空間點用維空間點用n n+1+1維坐標，即附加一個坐標來表示。維坐標，即附加一個坐標來表示。如二維點如二維點 的齊次坐標通常用三維坐標的齊次坐標通常用三維坐標 表示，表示， 三維點三維點 的齊次坐標通常用四維坐標的齊次坐標通常用四維坐標 表示等。表示等。在齊次坐標中，附加的坐標在齊次坐標中，附加的坐標h h稱為比例因子，稱為比例因子，由于由于h h的取值是任意的，任何一個點可用許多組齊次坐標來表示，的取值是任意的，任何一個點可用許多組齊次坐標來表示

20、，如二維點如二維點 可表示為可表示為 等。等。當當h=1h=1時，點的表示方法稱為齊次坐標的時，點的表示方法稱為齊次坐標的規范化規范化形式。形式。補充補充 點的齊次坐標表示點的齊次坐標表示yxhyx*zyxhzyx*zhzyhyxhx*23 369246123、C(3,2)D(1,2)A(1,1)B(3,1)下圖所示的四邊形下圖所示的四邊形ABCDABCD用齊次坐標可表示為：用齊次坐標可表示為：121123113111111144332211yxyxyxyx采用齊次坐標表示點主要有以下兩個優點：采用齊次坐標表示點主要有以下兩個優點：（1 1）它為幾何圖形的二維、三維甚至高維空間的坐標變換提供了

21、統）它為幾何圖形的二維、三維甚至高維空間的坐標變換提供了統一的矩陣運算方法，并可以方便地將它們組合在一起進行組合變換。一的矩陣運算方法，并可以方便地將它們組合在一起進行組合變換。（2 2）對于無窮遠點的處理比較方便。例如，對于二維的齊次坐標）對于無窮遠點的處理比較方便。例如，對于二維的齊次坐標 ，當，當 時，表示直線時，表示直線 上的連續點上的連續點 逐漸趨近于無窮點。逐漸趨近于無窮點。在三維情況下，可以利用齊次坐標表示點在世界在三維情況下，可以利用齊次坐標表示點在世界坐標系原點時的投影變換。坐標系原點時的投影變換。hba0h0byax),(yx通過二維點的齊次坐標表示，把二維圖形的點集通過二

22、維點的齊次坐標表示，把二維圖形的點集矩陣擴充為矩陣擴充為n3階矩陣。這樣，點集矩陣就可以階矩陣。這樣，點集矩陣就可以同變換矩陣進行乘法運算了：同變換矩陣進行乘法運算了：mdybxlcyaxmldcbayx13.3.2 3.3.2 二維齊次變換矩陣二維齊次變換矩陣 為了使二維變換矩陣具有更多的功能，可將為了使二維變換矩陣具有更多的功能，可將32階變換矩陣進一步階變換矩陣進一步擴充為擴充為33階矩陣，即階矩陣，即這個這個33階矩陣中各元素的功能和幾何意義各不相同，可以分割成階矩陣中各元素的功能和幾何意義各不相同，可以分割成四塊：四塊： smlqdcpbaT12階矩陣階矩陣 可以實現圖形的平移變換；

23、可以實現圖形的平移變換；21階矩陣階矩陣 可以實現圖形的透視變換；可以實現圖形的透視變換；而而 可以實現圖形的全比例變換。可以實現圖形的全比例變換。smlqdcpbaTdcbaml其中，其中，22階矩陣階矩陣 可以實現圖形的比例、鏡射、錯切、旋轉等變換；可以實現圖形的比例、鏡射、錯切、旋轉等變換；Tqp s關于二維齊次坐標點集與齊次變換矩陣的變換運算可以查閱關于二維齊次坐標點集與齊次變換矩陣的變換運算可以查閱P41 表表3.13.4 二維圖形的組合變換二維圖形的組合變換 有些變換僅用一種基本變換是不能實現的，必須有兩種或多種有些變換僅用一種基本變換是不能實現的，必須有兩種或多種基本變換組合才能

24、實現。這種由多種基本變換組合而成的變換稱基本變換組合才能實現。這種由多種基本變換組合而成的變換稱之為之為組合變換組合變換，相應的變換矩陣叫做，相應的變換矩陣叫做組合變換矩陣組合變換矩陣。組合變換的。組合變換的目的是對一個點進行一次性變換，使得變換的效率更高。目的是對一個點進行一次性變換，使得變換的效率更高。1. 繞任意點旋轉變換繞任意點旋轉變換 平面圖形繞任意點平面圖形繞任意點p（x*，y*）逆時針旋轉）逆時針旋轉角，需要通過以下角，需要通過以下幾個步驟來實現：幾個步驟來實現：（1）將旋轉中心平移到原點，變換矩陣為：）將旋轉中心平移到原點，變換矩陣為：1010001,ppyxyxT（2）將圖形

25、繞坐標系原點逆時針旋轉）將圖形繞坐標系原點逆時針旋轉角，變換矩陣為：角，變換矩陣為： 1000cossin0sincos)(RT（3）將旋轉中心平移回到原來位置，變換矩陣為：）將旋轉中心平移回到原來位置，變換矩陣為： 1010001,ppyxyxT因此，繞任意點的旋轉變換矩陣為：因此，繞任意點的旋轉變換矩陣為：TTTTRyx)(,1010001ppyx1000cossin0sincos1010001ppyx1)cos1 (sinsin)cos1 (0cossin0sincosppppyxyx寫出下面平面圖形繞寫出下面平面圖形繞A點逆時針旋轉點逆時針旋轉90的變換矩的變換矩陣及結果。陣及結果。答

26、：答：1）各點坐標為：）各點坐標為：A（1 , 1），），B（1 , 2），），C（3 , 1）2）此變換為二維組合變換。先將圖形平移，將）此變換為二維組合變換。先將圖形平移，將A點與原點重合，其點與原點重合，其變換矩陣為變換矩陣為3）將三角形）將三角形ABC繞繞A點逆時針旋轉點逆時針旋轉90度，其變換矩陣為度，其變換矩陣為100001010100090cos90sin090sin90cos1000cossin0sincos)(RT1110100011010001,AAyxyxT4）再將圖形平移回原位，其變換矩陣為）再將圖形平移回原位，其變換矩陣為1110100011010001,AAyxyx

27、T5）因此，繞）因此，繞A點的旋轉變換矩陣為點的旋轉變換矩陣為102001010111010001100001010111010001,)(,yxRyxTTTT6）旋轉變換后的結果為）旋轉變換后的結果為131110111102001010113121111*TCBACBA所以新點坐標為：所以新點坐標為：A（1 , 1），），B（0 , 1），），C（1 , 3）寫出下面平面圖形繞寫出下面平面圖形繞A點逆時針旋轉點逆時針旋轉90的變換矩的變換矩陣及結果。陣及結果。答：答：1）各點坐標為：）各點坐標為：A（1 , 1），），B（1 , 2），），C（2 , 2），）， D（2 , 1）2）此變換為

28、二維組合變換。先將圖形平移，將）此變換為二維組合變換。先將圖形平移，將A點與原點重合，其點與原點重合，其變換矩陣為變換矩陣為3）將正方形）將正方形ABCD繞繞A點逆時針旋轉點逆時針旋轉90度，其變換矩陣為度，其變換矩陣為100001010100090cos90sin090sin90cos1000cossin0sincos)(RT1110100011010001,AAyxyxT4）再將圖形平移回原位，其變換矩陣為）再將圖形平移回原位，其變換矩陣為1110100011010001,AAyxyxT5）因此，繞）因此，繞A點的旋轉變換矩陣為點的旋轉變換矩陣為1020010101110100011000

29、01010111010001,)(,yxRyxTTTT6）旋轉變換后的結果為）旋轉變換后的結果為121120110111102001010112122121111*TDCBADCBA所以新點坐標為：所以新點坐標為：A（1 , 1），），B（0 , 1），），C（0 , 2）, D（1 , 2）如下圖所示，將矩形如下圖所示，將矩形ABCD繞繞C點逆時針旋轉點逆時針旋轉30度。（說度。（說明：寫出各點坐標，列出變換矩陣，計算出新點坐標）明：寫出各點坐標，列出變換矩陣，計算出新點坐標）答：答：1）各點坐標為：）各點坐標為：A（1 , 2），），B（2 , 2），），C（2 , 1），），D（1 ,

30、1）2）此變換為二維組合變換。先將圖形平移，將）此變換為二維組合變換。先將圖形平移，將C點與原點重合，其點與原點重合，其變換矩陣為變換矩陣為3）將矩形）將矩形ABCD繞繞C旋轉旋轉+30度，其變換矩陣為度，其變換矩陣為1000232102123100030cos30sin030sin30cos1000cossin0sincos)(RT1120100011010001,ppyxyxT4）再將圖形平移回原位，其變換矩陣為）再將圖形平移回原位，其變換矩陣為1120100011010001,ppyxyxT5）因此，繞）因此，繞C點的旋轉變換矩陣為：點的旋轉變換矩陣為：6）旋轉變換后的結果為）旋轉變換后

31、的結果為12323250232102123111112122121*TDCBADCBA所以新點坐標為：所以新點坐標為：A（ ），），B（ ），），C（ ）, D（ ）如下圖所示，將三角形如下圖所示，將三角形ABC繞繞P（2, 1）逆時針旋轉）逆時針旋轉30度。（請寫出各點坐標、列出變換矩陣、計算出新點坐度。（請寫出各點坐標、列出變換矩陣、計算出新點坐標。）標。）答：答：1 1）各點坐標為：）各點坐標為：A A（1 , 21 , 2），），B B（2 , 22 , 2），），C C（1 , 11 , 1） 2 2）此題為二維組合變換。先將圖形平移，將）此題為二維組合變換。先將圖形平移，將P P點

32、與原點點與原點O O重合，變重合，變換矩陣為換矩陣為1120100011010001,ppyxyxT3 3）將三角形）將三角形ABCABC的各點繞的各點繞P P旋轉旋轉3030度，其變換矩陣為度，其變換矩陣為1000232102123100030cos30sin030sin30cos1000cossin0sincos)(RT4）再將圖形平移回原位，其變換矩陣為）再將圖形平移回原位，其變換矩陣為1120100011010001,ppyxyxT5）因此，繞）因此，繞P點的旋轉變換矩陣為：點的旋轉變換矩陣為：6 6）旋轉變換后的結果為：）旋轉變換后的結果為：TCBACBA*2. 對任意直線的鏡射變換

33、對任意直線的鏡射變換 基本變換中的鏡射變換適用于通過坐標原點的任意直線。如果基本變換中的鏡射變換適用于通過坐標原點的任意直線。如果直線不通過原點，則首先將該直線平移，使其過原點，然后再沿用直線不通過原點，則首先將該直線平移，使其過原點，然后再沿用基本的鏡射變換，即可求得相對于任意直線的鏡射變換矩陣。基本的鏡射變換，即可求得相對于任意直線的鏡射變換矩陣。 設任意直線的方程為：設任意直線的方程為：Ax+By+C=0，直線在，直線在x軸和軸和y軸上的截距分別軸上的截距分別為為- -C/A和和- -C/B，直線與，直線與x軸的夾角為軸的夾角為，=arctan（- -A/B）。如圖）。如圖3.7所示，對

34、任意直線的鏡射變換可由以下幾個步驟來完成：所示，對任意直線的鏡射變換可由以下幾個步驟來完成： -C/A -C/BXO YX（1）平移直線，沿）平移直線，沿x方向將直線平移，使其通過原點（也可方向將直線平移，使其通過原點（也可以沿以沿y方向平移），其變換矩陣為：方向平移），其變換矩陣為：10/010001ACTAC（2）繞原點旋轉，使直線與）繞原點旋轉，使直線與x坐標軸重合（也可以與坐標軸重合（也可以與y軸重軸重合），變換矩陣如下：合），變換矩陣如下： 1000cossin0sincos1000)cos()sin(0)sin()cos()(RT（3）對于）對于x軸進行鏡射變換，其變換矩陣為：軸進

35、行鏡射變換，其變換矩陣為： 100010001)(XMT（4）繞原點旋轉，使直線回到原來與）繞原點旋轉，使直線回到原來與x軸成軸成角的位置，變換矩陣為：角的位置，變換矩陣為： 1000cossin0sincos)(RT（5）平移直線，使其回到原來位置，變換矩陣為：）平移直線，使其回到原來位置，變換矩陣為： 10/010001ACTAC通過以上五個步驟，即可實現圖形對任意直線的鏡射變換。通過以上五個步驟，即可實現圖形對任意直線的鏡射變換。其組合變換如下：其組合變換如下： 1/2sin/) 12(cos02cos2sin02sin2cos)()()(ACACTTTTTTACRXMRAC求某平面圖形

36、對直線求某平面圖形對直線x+y+1=0的鏡射變換矩陣的鏡射變換矩陣由直線方程由直線方程x+y+1=0 x+y+1=0知直線在知直線在x軸和軸和y軸上的截距均為軸上的截距均為- -1，直線與，直線與x軸軸的夾角為的夾角為，=arctan（- -1 1）=135=135。對直線。對直線x+y+1=0 x+y+1=0的鏡射變換可由的鏡射變換可由以下幾個步驟來完成：以下幾個步驟來完成：（1）平移直線平移直線，沿，沿x方向將直線平移，使其通過原點（也可以沿方向將直線平移，使其通過原點（也可以沿y方方向平移），其變換矩陣為：向平移），其變換矩陣為： （2）繞原點旋轉繞原點旋轉，使直線與，使直線與x坐標軸重

37、合（也可以與坐標軸重合（也可以與y軸重合），變軸重合），變換矩陣如下：換矩陣如下：101010001ACT1000cossin0sincos1000)cos()sin(0)sin()cos()(RT（3）對于對于x軸進行鏡射變換軸進行鏡射變換，其變換矩陣為：，其變換矩陣為： 100010001)(XMT（4）繞原點旋轉繞原點旋轉，使直線回到原來與，使直線回到原來與x軸成軸成角的位置，變換矩陣為：角的位置，變換矩陣為： 1000cossin0sincos)(RT（5）平移直線平移直線，使其回到原來位置，變換矩陣為：，使其回到原來位置，變換矩陣為： 101010001ACT通過以上五個步驟，即可實

38、現圖形對直線通過以上五個步驟，即可實現圖形對直線x+y+1=0 x+y+1=0的鏡射變換。其組的鏡射變換。其組合變換如下：合變換如下： 11100101012sin) 12(cos02cos2sin02sin2cos)()()(ACRXMRACTTTTTT3. 組合變換順序對圖形的影響組合變換順序對圖形的影響通過上面的變換可以看出，組合變換是通過基本變換的組合而成的，通過上面的變換可以看出，組合變換是通過基本變換的組合而成的，點或點集的多次變換可以一次完成，這要比逐次進行變換效率高。由點或點集的多次變換可以一次完成，這要比逐次進行變換效率高。由于矩陣的乘法不符合交換律，即：于矩陣的乘法不符合交

39、換律，即：ABBA，因此，組合的順序，因此，組合的順序一般是不能顛倒的，順序不同，則變換的結果亦不同。圖一般是不能顛倒的，順序不同，則變換的結果亦不同。圖3.8、圖、圖3.9顯示了對顯示了對T字圖形進行不同順序的基本變換的組合變換結果，圖中數字圖形進行不同順序的基本變換的組合變換結果，圖中數字表示圖形變換的先后順序。字表示圖形變換的先后順序。圖3.8 先平移后旋轉圖3.9 旋轉后平移O XYO123O XY2133.53.5三維圖形的變換三維圖形的變換 3.5.1 3.5.1 三維基本變換矩陣三維基本變換矩陣 三維圖形的變換是二維圖形變換的簡單擴展，三維圖形的變換是二維圖形變換的簡單擴展，在齊

40、次坐標系在齊次坐標系，二維變換可以用二維變換可以用3 3階矩陣表示，三維變換可以用階矩陣表示，三維變換可以用4 4階矩陣階矩陣表示。表示。三維點為三維點為 ，它的齊次坐標為，它的齊次坐標為 。三維變。三維變換矩陣則用換矩陣則用4 4階矩陣表示，同樣可以把三維基本變換矩陣劃階矩陣表示，同樣可以把三維基本變換矩陣劃分為四塊：分為四塊：zyx1zyx44snmlrjihqfedpcbaT11311333即即三維基本變換矩陣中各子矩陣塊的幾何意義如下：三維基本變換矩陣中各子矩陣塊的幾何意義如下： 產生比例、鏡射、錯切、旋轉等基本變換。產生比例、鏡射、錯切、旋轉等基本變換。 產生平移變換產生平移變換 產

41、生透視變換產生透視變換 產生全比例變換產生全比例變換33jihfedcba31nml13rqp 11s由此可見，三維平移變換需要定義三個平移矢量由此可見，三維平移變換需要定義三個平移矢量 ，旋轉變換需，旋轉變換需要定義三個旋轉角度要定義三個旋轉角度 ，比例變換需要定義三個比例因子，比例變換需要定義三個比例因子而錯切變換則涉及到而錯切變換則涉及到 六個參數。六個參數。),(nml),(),(jeaihfdcb,44snmlrjihqfedpcbaT例例 1：寫出三維基本變換矩陣，指出產生比例、鏡射、錯切、旋轉、平寫出三維基本變換矩陣，指出產生比例、鏡射、錯切、旋轉、平移等基本變化各子矩陣塊。移等

42、基本變化各子矩陣塊。答：答：snmlrjihqfedpcbajihfedcba產生比例、鏡射、錯切、旋轉等基本變換；產生比例、鏡射、錯切、旋轉等基本變換；nml產生平移變換。產生平移變換。3.5.2 3.5.2 三維基本變換三維基本變換 1、平移變換、平移變換平移變換是使立體在三維空間移動位置而形狀保持不變的變換。平移變換是使立體在三維空間移動位置而形狀保持不變的變換。將空間一點（將空間一點（x，y，z）平移一個新的位置（）平移一個新的位置（x*，y*，z*）,即點即點令令X、Y、Z軸方向的偏移量分別為軸方向的偏移量分別為 。則。則*)*,*,(*),(zyxpzyxpnml、nzzmyylx

43、x*1010000100001nmlT所以三維平移變換矩陣為：所以三維平移變換矩陣為： 10100001000011110001000111*nmlzyxnzyxmzyxlzyxnzmylxzyx齊次坐標的規范化形式齊次坐標的規范化形式例例將一個三維實體沿將一個三維實體沿X軸移動軸移動20mm，Y軸移動軸移動50mm，Z軸移動軸移動120mm，寫出其基本變換矩陣。，寫出其基本變換矩陣。 答：答：l=20mm, m=50mm, n=120mm, 所以三維基本變所以三維基本變換矩陣為：換矩陣為：112050200100001000011010000100001nmlT2、旋轉變換、旋轉變換三維旋轉

44、變換是將空間立體繞坐標軸旋轉角度三維旋轉變換是將空間立體繞坐標軸旋轉角度的變化。的變化。角的正負按右手定則確定：右手大拇指指向旋轉軸的正向，其角的正負按右手定則確定：右手大拇指指向旋轉軸的正向，其余四個手指的指向即為余四個手指的指向即為角的正向。角的正向。三維旋轉變換可分為繞坐標軸旋轉變換和繞任意軸的旋轉變換。三維旋轉變換可分為繞坐標軸旋轉變換和繞任意軸的旋轉變換。可以把三維旋轉變換看成是三個繞可以把三維旋轉變換看成是三個繞X，Y，Z軸的二維旋轉變換，軸的二維旋轉變換，旋轉變換方法與二維相似，但三維旋轉變換要比二維復雜得多。旋轉變換方法與二維相似，但三維旋轉變換要比二維復雜得多。三維旋轉變換矩

45、陣如下：三維旋轉變換矩陣如下：（1 1）繞）繞X X軸旋轉軸旋轉 角角空間立體繞空間立體繞X X軸旋轉軸旋轉 角后，各頂點的角后，各頂點的x x坐標不變，只是坐標不變，只是y y和和z z坐標坐標發生變化，即發生變化，即cossin*sincos*zyzzyyxx),(yxpr*)*,(*yxpsincosryrx)sin(*)cos(*ryrxcossinsincoscossin)sin(*sincossinsincoscos)cos(*yxrrryyxrrrx10000cossin00sincos00001RXT RXTzyxzyxzyzyxzyx110000cossin00sincos0

46、000111cossinsincos1*稱為繞稱為繞X軸旋轉軸旋轉角的變換矩陣。角的變換矩陣。（2）繞）繞Y軸旋轉軸旋轉角角空間立體繞空間立體繞Y Y軸旋轉軸旋轉角后，各頂點的角后，各頂點的y y坐標不變，只是坐標不變，只是x x和和z z坐標發生坐標發生變化，即變化，即cossin*sincos*zxzyyzxx RYTzyxzyxzxyzxzyx110000cos0sin00100sin0cos11cossinsincos1*10000cos0sin00100sin0cosRYT稱為繞稱為繞Y軸旋轉軸旋轉角的變換矩陣。角的變換矩陣。（3）繞）繞Z軸旋轉軸旋轉 角的變換矩陣為：角的變換矩陣為

47、： 空間立體繞空間立體繞Z Z軸旋轉軸旋轉角后，各頂點的角后，各頂點的z z坐標不變，只是坐標不變，只是x x和和y y坐標坐標發生變化，即發生變化，即zzyxyyxx*cossin*sincos* RZTzyxzyxzyxyxzyx11000010000cossin00sincos11cossinsincos1*1000010000cossin00sincosRZT稱為繞稱為繞Z軸旋轉軸旋轉角的變換矩陣。角的變換矩陣。ZOXY（a）繞X軸旋轉90 （b）繞Y軸旋轉90 （c）繞Z軸旋轉90圖3.10 繞坐標軸的旋轉變換ZOXYZOXY幾何形體分別繞幾何形體分別繞X，Y，Z軸旋轉軸旋轉90的變

48、換結果如圖的變換結果如圖3.10所示。所示。 例例某一空間立體繞某一空間立體繞X軸旋轉軸旋轉45，請寫出三維旋轉變換矩陣。，請寫出三維旋轉變換矩陣。答：答：1000045cos45sin0045sin45cos000013、比例變換、比例變換空間立體頂點的坐標按規定比例放大或縮小的變換稱為三維空間立體頂點的坐標按規定比例放大或縮小的變換稱為三維比例變換。比例變換。假設空間立體沿假設空間立體沿x,y,zx,y,z坐標方向的比例因子分別為坐標方向的比例因子分別為a a、e e、j j，則變換后各頂點坐標為：則變換后各頂點坐標為：jzzeyyaxx* sTzyxjeazyxjzeyaxzyx1100

49、0000000000111*當當a=e=j1a=e=j1時圖形將等比例放大；時圖形將等比例放大；當當a=e=j1a=e=j1s1時，圖形等比例縮小；時，圖形等比例縮小；當當0s10s1時圖形等比例放大。時圖形等比例放大。4、鏡射變換、鏡射變換 三維鏡射變換包括對原點、對坐標軸和對坐標平面的鏡射。在三維鏡射變換包括對原點、對坐標軸和對坐標平面的鏡射。在此僅討論常用的對坐標平面的對稱變換。此僅討論常用的對坐標平面的對稱變換。（1）對）對XOY平面的鏡射變換平面的鏡射變換對對XOYXOY平面的鏡射變換應有平面的鏡射變換應有1000010000100001XOYTzzyyxx*,*,* XOYTzyx

50、zyxzyxzyx11000010000100001111*因此對因此對XOYXOY平面的鏡射變換矩陣為：平面的鏡射變換矩陣為：（2）對）對XOZ平面的鏡射變換平面的鏡射變換 1000010000100001XOZT對對XOZ平面的鏡射變換應有平面的鏡射變換應有zzyyxx*,*,* XOZTzyxzyxzyxzyx11000010000100001111*因此對因此對XOZXOZ平面的鏡射變換矩陣為：平面的鏡射變換矩陣為：（3）對）對YOZ平面的鏡射變換平面的鏡射變換 1000010000100001YOZT對對Y YOZ平面的鏡射變換應有平面的鏡射變換應有zzyyxx*,*,* YOZTz

51、yxzyxzyxzyx11000010000100001111*因此對因此對XOZXOZ平面的鏡射變換矩陣為：平面的鏡射變換矩陣為：5、錯切變換、錯切變換錯切變換是指三維立體沿錯切變換是指三維立體沿X，Y，Z三個方向產生錯切變形的三個方向產生錯切變形的變換。變換。錯切變換是畫斜軸測圖的基礎錯切變換是畫斜軸測圖的基礎，其變換矩陣為：，其變換矩陣為： 1000010101ihfdcbT從上面變換可以看出，一個坐標的變化受到另外兩個坐標變化的影響。從上面變換可以看出，一個坐標的變化受到另外兩個坐標變化的影響。其中其中d,h為沿為沿x方向的錯切系數；方向的錯切系數；b,i為沿為沿y方向的錯切系數；方向

52、的錯切系數；c,f為沿為沿z方向方向的錯切系數。各種錯切參數的選取如下：的錯切系數。各種錯切參數的選取如下： 沿沿X含含Y錯切：錯切： 沿沿X含含Z錯切：錯切： 沿沿Y含含X錯切：錯切： 沿沿Y含含Z錯切：錯切： 沿沿Z含含X錯切：錯切： 沿沿Z含含Y錯切：錯切：0, 0dihfcb0, 0hifdcb0, 0bihfdc0, 0ihfdcb0, 0cihfdb0, 0fihdcb 111*zfycxizybxhzdyxTzyxzyx3.5.3 3.5.3 三維基本變換矩陣的組合三維基本變換矩陣的組合 與二維組合變換一樣，通過對三維基本變換矩陣的組合，可以實現對與二維組合變換一樣，通過對三維基

53、本變換矩陣的組合，可以實現對三維幾何體的復雜變換。三維幾何體的復雜變換。 現在用三維組合變換方法來解決繞任意軸旋現在用三維組合變換方法來解決繞任意軸旋轉變換問題，首先設一條空間一般位置直線作為旋轉軸，以下稱為旋轉變換問題，首先設一條空間一般位置直線作為旋轉軸，以下稱為旋轉軸直線，該直線的開始端點坐標為轉軸直線，該直線的開始端點坐標為 ，方向余弦為，方向余弦為 空間一點空間一點 繞該直線旋轉繞該直線旋轉角到點角到點 ，即，即zyx,321,nnn),(1111zyxP),(2222zyxP RTzyxzyx11111222式中式中 為繞任意軸的旋轉變換矩陣，它是由基本變換矩陣組合而成，為繞任意軸

54、的旋轉變換矩陣，它是由基本變換矩陣組合而成，矩陣矩陣 的求解步驟如下：的求解步驟如下：1 1）將點）將點P P1 1與作為旋轉軸的直線一起平移，讓旋轉直線通過原點，并且與作為旋轉軸的直線一起平移，讓旋轉直線通過原點，并且該直線的端點與原點重合，其變換矩陣為：該直線的端點與原點重合，其變換矩陣為：RTRT1110000100001,zyxTzyx2 2）旋轉軸直線先繞）旋轉軸直線先繞X X軸旋轉軸旋轉角，使其與角，使其與XOZXOZ平面共面，如圖平面共面，如圖3.113.11（a a）所示。然）所示。然后再繞后再繞Y Y軸旋轉角軸旋轉角，使其與，使其與Z Z軸重合，如圖軸重合，如圖3.113.1

55、1（b b）所示。其變換矩陣為：）所示。其變換矩陣為：)()(10000)cos(0)sin(00100)sin(0)cos(10000cossin00sincos00001)(),(角軸旋轉繞角軸旋轉繞YXTYRXXYZNM2nO（a）繞）繞X軸旋轉軸旋轉角角XYZ圖圖3.11 3.11 旋轉軸直線旋轉變換旋轉軸直線旋轉變換NnO（b）繞）繞Y軸旋轉軸旋轉角角1nXYZNM2nO（a）繞）繞X軸旋轉軸旋轉角角由圖由圖3.113.11（a a）可知）可知nnnnnnn232322sincos圖中的矢量圖中的矢量ON為旋轉軸直線，定為旋轉軸直線，定義義ON為單位矢量，為單位矢量，1ONXYZNn

56、O（b）繞）繞Y軸旋轉軸旋轉角角1n圖圖3.11 3.11 旋轉軸直線旋轉變換旋轉軸直線旋轉變換由圖由圖3.113.11（b b）可知）可知11sincosnNOnnNOn代入步驟代入步驟2 2）的旋轉變換矩陣中，得）的旋轉變換矩陣中，得3nnn3 3）將）將P P1 1點繞點繞Z Z軸（此時，旋轉軸直線與軸（此時，旋轉軸直線與Z Z軸重合）旋轉軸重合）旋轉角，變換矩陣為角，變換矩陣為1000010000cossin00sincos)(RZT100000001000100000000001)()(10000)cos(0)sin(00100)sin(0)cos(10000cossin00sinc

57、os00001113223)(),(nnnnnnnnnnnnYXTYRX角軸旋轉繞角軸旋轉繞4 4）做步驟）做步驟2 2）的逆變換，將旋轉軸直線旋轉回到原來的位置，變換矩陣為）的逆變換，將旋轉軸直線旋轉回到原來的位置，變換矩陣為100000000001100000001000322311)(),(nnnnnnnnnnnnTXRY5 5）做步驟）做步驟1 1）的逆變換，將旋轉軸直線平移回到原來的位置，變換矩陣為）的逆變換，將旋轉軸直線平移回到原來的位置，變換矩陣為1110000100001,zyxTzyx上述五步連起來，就組成了繞任意軸的旋轉變換矩陣，即上述五步連起來，就組成了繞任意軸的旋轉變換

58、矩陣，即ZYXXRYRZYRXZYXTTTTTT,)(),()()(),(,投影投影是把空間幾何形體投射到投影面上而得到平面圖形。是把空間幾何形體投射到投影面上而得到平面圖形。三維投影三維投影是由投影中心發射的多條投影射線通過幾何形體上的每一個點，是由投影中心發射的多條投影射線通過幾何形體上的每一個點，最后交于投影平面上，從而構成了三維幾何形體的投影。一般情況下，三最后交于投影平面上，從而構成了三維幾何形體的投影。一般情況下，三維直線段經過投影以后，仍然是直線段，直線段的投影變換實際上就是對維直線段經過投影以后，仍然是直線段，直線段的投影變換實際上就是對直線段的兩個端點的投影變換。因此，幾何形

59、體（可用點集表示）的投影直線段的兩個端點的投影變換。因此，幾何形體（可用點集表示）的投影變換也就是點集的投影變換。變換也就是點集的投影變換。3.6 三維圖形的投影變換三維圖形的投影變換 三點透視二點透視一點透視透視投影斜三測斜三軸測投影斜二測斜二軸測投影斜等測斜等軸測投影斜軸測投影斜角投影正三測正三軸測投影正二測正二軸測投影正等測正等軸測投影正軸測投影側面投影水平投影正面投影正投影直角投影平行投影投影)()()()()()(平行投影與透視投影不同之處平行投影與透視投影不同之處就在于投影中心（光源）、被投影的幾就在于投影中心（光源）、被投影的幾何體、投影平面三者之間的位置關系不同。當光源距離被投

60、影的幾何何體、投影平面三者之間的位置關系不同。當光源距離被投影的幾何體有限遠時，從光源發出的射線發散，投影到投影平面上的圖形被放體有限遠時，從光源發出的射線發散，投影到投影平面上的圖形被放大。圖形本身各點也因同投影中心的遠近不同而投影平面上產生變形大。圖形本身各點也因同投影中心的遠近不同而投影平面上產生變形，從而呈現較強的立體感。而當光源距離幾何形無限遠時，可以把光，從而呈現較強的立體感。而當光源距離幾何形無限遠時，可以把光線看成是相互平行的，投影到平面上的圖形反映幾何形體的實形和實線看成是相互平行的，投影到平面上的圖形反映幾何形體的實形和實長，但投影圖形缺少立體感。長，但投影圖形缺少立體感。