1、第三節三重積分的計算 第十章 基本方法：基本方法：化三重積分為三次積分化三重積分為三次積分( (累次積分）累次積分）. .設設),(zyxf是空間有界閉區域是空間有界閉區域上的有界上的有界函數，將閉區域函數，將閉區域任意分成任意分成n個小閉區域個小閉區域1v ，2v , ,nv ，其中，其中iv 表示第表示第i個小閉區域，也個小閉區域，也表示它的體積表示它的體積, , 在每個在每個iv上任取一點上任取一點),(iii 作乘積作乘積iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和, ,如果當各小閉區域的直徑中的最大值如果當各小閉區域的直徑中的最大值趨近于零趨近于零時，這和式的極限

2、存在，則稱此極限為函數時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數),(zyxf在閉區域在閉區域上的上的三重積分三重積分，記為，記為 dvzyxf),(, ,一、三重積分的定義即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv, 的平面來劃分的平面來劃分用平行于坐標面用平行于坐標面在直角坐標系中，如果在直角坐標系中，如果.lkjizyxv 則則三三重重積積記記為為 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .積元素積元素叫做直角坐標系中的體叫做直角坐標系中的體其中其中dxdydz直角坐標系中將三重積分化為三次積分直角坐標系中將三重積

3、分化為三次積分二、三重積分的計算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區域面上的投影為閉區域在在閉區域閉區域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線作直線過點過點Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz函數，則函數，則的的只看作只看作看作定值，將看作定值，將先將先將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重積分上的二重積分在閉區間在閉區間計算計算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyx

4、fdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于兩點情形于兩點情形相交不多相交不多的邊界曲面的邊界曲面直線與閉區域直線與閉區域內部的內部的軸且穿過閉區域軸且穿過閉區域這是平行于這是平行于Sz 例例 1 1 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三次積分，其中積分區域次積分，其中積分區域 為由曲面為由曲面 222yxz 及及22xz 所圍成的閉區域所圍成的閉區域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區區域域, 122 yx故故 ： 222222

5、21111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI例例2 2 化化三三重重積積分分 dxdydzzyxfI),(為為三三次次積積分分，其其中中 積積分分區區域域 為為由由曲曲面面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所所圍圍成成的的空空間間閉閉區區域域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖，xyz例例 3 3 將將 1010022),(yxdzzyxfdydx按按xzy, 的次序積分的次序積分.1D： 1002yxz解解1D 10100),(2dyzyxfdzdxx原式原式 110

6、1222),(xzxxdyzyxfdzdx.2D： 11222yxzxzx2D截面法的一般步驟：截面法的一般步驟：(1) 把積分區域把積分區域 向某軸向某軸（例如（例如z 軸）投影，得投軸）投影，得投影區間影區間,21cc；(2) 對對,21ccz 用過用過z軸且平行軸且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面zD;(3) 計算二重積分計算二重積分 zDdxdyzyxf),( 其結果為其結果為z的函數的函數)(zF；(4)最后計算單積分最后計算單積分 21)(ccdzzF即得三重積分值即得三重積分值.z例例 4 4 計計算算三三重重積積分分 zdxdydz，其其中中 為為三三個

7、個坐坐標標面面及及平平面面1 zyx所所圍圍成成的的閉閉區區域域.解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy111 zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111例例 5 5 計算三重積分計算三重積分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 橢球面橢球面1222222 czbyax所成的空間閉區域所成的空間閉區域.: ,| ),(czczyx 1222222czbya

8、x 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式對于三重積分，對于三重積分，“穿針法穿針法”用得較多，但是當被積函數用得較多，但是當被積函數只與某一個變量有關，并且用垂直于該變量所在坐標只與某一個變量有關，并且用垂直于該變量所在坐標“切片法切片法”更方便更方便.的平面截積分區域的平面截積分區域 所得截面面積易于計算時，用所得截面面積易于計算時，用(1)(, ,)( , , ),f xyzf x y z(2)(,

9、,)( , , ),f xyzf x y z d( , , )f x y zvd( , , )0f x y zv 當區域關于當區域關于 yoz（xoz）平面對稱）平面對稱, 函數關于變量函數關于變量 x（y） 有奇偶性時有奇偶性時, 仍仍有類似結果有類似結果.12( , , )df x y zv 則則對于三重積分，也有關于對稱性的結論：對于三重積分，也有關于對稱性的結論：( , , )f x y z在閉區域上連續在閉區域上連續, 域域 關于關于xoy 平面平面對稱，對稱， 位于位于 x oy平面上方的部分為平面上方的部分為 , 1例例. 設, 1:222zyx計算vzyxzyxzd1) 1ln

10、(222222提示提示: 利用對稱性原式 = 122ddyxyx0奇函數222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz方法方法1. （穿針法）（穿針法）“先一后二先一后二”方法方法2. （切片法）（切片法）“先二后一先二后一”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d具體計算時應根據vzyxfd),(兩種方法各有特點,被積函數及積分域的特點靈活選擇. ,0 r,20 . z二、利用柱面坐標計算三重積分的柱面坐標的柱面坐標就叫點就叫點個數個數，則這樣的三，則這樣的三的極坐標為的極坐標為面上的投影面上的投影在在為空

11、間內一點，并設點為空間內一點，并設點設設MzrrPxoyMzyxM,),( 規定：規定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐標與直角坐標的柱面坐標與直角坐標的關系為關系為為常數為常數r為常數為常數z為常數為常數 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標系如圖，柱面坐標系中的體積元素為中的體積元素為,dzrdrddv 例例1 1 計算計算 zdxdydzI，其中，其中

12、是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為 23242030rrzdzrdrdI.413 面上，如圖，面上，如圖，投影到投影到把閉區域把閉區域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例計算計算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是是曲線曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉一周而成軸旋轉一周而成的曲的曲面面與兩平面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體.解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉得，軸旋轉得，旋旋轉轉面面方方程程為為,222zy

13、x 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所圍成立體的投影區域如圖，所圍成立體的投影區域如圖， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原式原式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考與練習思考與練習六個平面圍成 ,:備用題備用題 1. 計算,ddd12zyxxyI所圍