1、相似三角形經典大題解析1.如圖，已知一個三角形紙片 ABC ， BC 邊的長為 8， BC 邊上的高為 6 ， B 和 C 都為銳角， M 為 AB 一動點（點 M 與點 A、B 不重合），過點 M 作 MN BC ，交 AC 于點 N ，在 AMN 中，設 MN 的長為 x ， MN 上的高為 h （ 1）請你用含 x 的代數式表示 h （ 2）將 AMN 沿 MN 折疊，使 AMN 落在四邊形 BCNM 所在平面，設點 A 落在平面的點為 A1 ， A1MN 與四邊形 BCNM 重疊部分的面積為y ，當 x 為何值時，y 最大，最大值為多少？【答案】解：（ 1）MN BC AMN ABC

2、h x68h3x4（ 2） AMN A1MN A1MN 的邊 MN 上的高為 h ， 當點1落在四邊形BCNM 內或 BC 邊上時，Ay S A1 MN = 1 MN·h1 x·3 x3 x2 （ 0x 4 ）2248 當 A1 落在四邊形 BCNM 外時，如下圖 (4x 8) ，設 A1EF 的邊 EF 上的高為 h1 ，則 h1 2h36x 62EF MN A1EF A1MN AMN ABC A EF ABC11S A1 EF2h1SABC63 x216322S ABC68 24S A1 EF2 4x1 x22 4622ySA MN SAEF3 x23 x212 x24

3、9 x212x 2411828所以y9 x212 x24 (4x8)8綜上所述：當 0x 4 時， y3 x2，取 x4 ， y最大68當 4x 8時， y9 x2 12 x24 ，168取 x83， y最大86當 x16 時， y 最大， y最大83AMNBEFCA12如圖，拋物線經過A(4，0)，B(10)，C (0，2) 三點（1）求出拋物線的解析式；（2） P 是拋物線上一動點，過M 為頂點的三角形與OACP 作 PMx 軸，垂足為M，是否存在P 點，使得以A，P，相似？若存在，請求出符合條件的點P 的坐標； 若不存在， 請說明理由；【答案】 解：（ 1）該拋物線過點C (0， 2)

4、，可設該拋物線的解析式為yax2bx2 將 A(4，0) ， B(1，0) 代入，16a4b2，a1，02得解得a b20.b5 .2此拋物線的解析式為 y1 x2 5 x 2 22（2）存在如圖，設 P 點的橫坐標為m，則 P 點的縱坐標為1 m25 m 2 ，當 1 m 4時，22AM 4 m ， PM1 m2 5 m 2 2 2又COAPMA 90°，AMAO2當OC時，PM1 APM ACO ，即 4 m 21 m25 m 2 22解得 m12，m24（舍去）， P(2，1) 當 AMOC1時， APM CAO ，即 2(4 m)1 m25 m 2 PMOA222解得 m14

5、 ， m25 （均不合題意，舍去）當 1 m 4 時， P(2，1) 類似地可求出當m4 時， P(5， 2) 當 m 1時， P( 3， 14) 綜上所述，符合條件的點P為(2，1)或(5， 2) 或(3， 14)3如圖， 已知直線 l1 : y2 x8與直線l2: y2x 16相交于點，1、2 分別交 x 軸于33C llA、 B 兩點矩形 DEFG 的頂點 D、 E 分別在直線 l1、l2 上，頂點 F、 G 都在 x 軸上，且點G與點 B重合（ 1）求 ABC 的面積；（ 2）求矩形 DEFG 的邊 DE 與 EF 的長；（3）若矩形 DEFG 從原點出發， 沿 x 軸的反方向以每秒

6、1 個單位長度的速度平移， 設移動時間為 t (0 t 12) 秒，矩形 DEFG 與 ABC 重疊部分的面積為 S ，求 S 關于 t 的函數關系式，并寫出相應的t 的取值范圍yl 2l1 yE DCA OF（ G）B x【答案】（ 1）解：由2 x 8 0，得 x4 A 點坐標為4，0 3 3由 2x 16 0，得 x 8 B 點坐標為 8，0AB8412y28，x，x55，6由33解得點的坐標為y6 Cy2x16S ABC1·16AB yC123622（ 2）解：點 D 在 l1 上且 xDxB8， yD2 88833 D 點坐標為8，8又點 E 在 l 2 上且 yEyD8，

7、 2xE168 xE4 E 點坐標為4，8 OE8 4 4，EF8（ 3）解法一： 當 0 t3 時，如圖1，矩形 DEFG 與 ABC 重疊部分為五邊形CHFGR（ t 0時，為四邊形CHFG）過C作 CMAB于M， 則R t R G B Rt C M Byl2yl2yl 2l1l1l1EEDEDDCCCRRRAOF M G B xA F O G MB xFAGOM B x（圖 1）（圖 2）（圖 3） BGRG，tRG，2tBMCM即6 RG3Rt AFH Rt AMC， SS ABCSBRGS AFH361 t 2t18 t2 8t 223即 S4 t216 t44333G（ 8 t,0

8、） GR=282t當 3t8時，如圖 2，為梯形面積，(8,3t)81282t88033s( 4t)82433t333當 8t12 時，如圖 3,為三角形面積，s1(82tt)t 2482)(128t334如圖，矩形ABCD中，AD3 厘米，ABa 厘米（a3）動點M ， N同時從B點出發，分別沿BA ，BC 運動，速度是1厘米秒過M作直線垂直于AB，分別交 AN， CD于 P，Q 當點N到達終點C 時，點M也隨之停止運動設運動時間為t 秒（1）若a4厘米， t1秒，則 PM_厘米；（ 2）若 a 5厘米，求時間 t ，使 PNB PAD ，并求出它們的相似比；（ 3）若在運動過程中，存在某時

9、刻使梯形PMBN 與梯形 PQDA 的面積相等，求 a 的取值范圍；（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形 PQCN 的面積都相等？若存在，求a 的值；若不存在，請說明理由DQCDQCPNPNAMB AMB【答案】解：3（1） PM，4（ 2） t 2 ，使 PNB PAD ，相似比為 3: 2（3）PM AB， CB AB， AMPABC ， AMP ABC ，PMAM即 PMat ， PMt (a t ) ，BNABtaaQM3t( a1)a(QPAD )DQ(MPBN )BM當梯形 PMBN 與梯形 PQDA的面積相等，即223t( at)3

10、 ( a1)t (at)t taa2化簡得 t6a，26 at 3 ，6a 3 ，則 a 6， 3a 6 ，6a（4）3a 6 時梯形 PMBN 與梯形 PQDA 的面積相等梯形 PQCN 的面積與梯形PMBN 的面積相等即可，則 CNPMt (at)3t ，把 t6a 代入，解之得a23 ，所以 a 23 a6a所以，存在a ，當 a 23 時梯形 PMBN 與梯形 PQDA 的面積、 梯形 PQCN 的面積相等5如圖，已知 ABC 是邊長為 6cm 的等邊三角形，動點P、Q 同時從 A、B 兩點出發，分別沿 AB、 BC 勻速運動，其中點P 運動的速度是1cm/s，點 Q 運動的速度是Q

11、到達點 C 時， P、Q 兩點都停止運動，設運動時間為t（ s），解答下列問題：2cm/s，當點（ 1）當 t 2 時，判斷 BPQ 的形狀，并說明理由；（ 2）設 BPQ 的面積為 S（cm2），求 S 與 t 的函數關系式；（ 3）作 QR/BA 交 AC 于點 R，連結 PR，當 t 為何值時， APR PRQ？【答案】解 ： (1) BPQ 是 等 邊 三 角 形 , 當 t=2時 ,AP=2 × 1=2,BQ=2× 2=4, 所 以0BP=AB-AP=6-2=4,所以 BQ=BP又.因為 B=60 , 所以 BPQ是等邊三角形 .(2) 過 Q作 QE AB,垂足

12、為 E, 由 QB=2y,得 QE=2t· sin60 0=3t, 由 AP=t, 得 PB=6-t,所以 S BPQ=1 ×BP× QE=1 (6-t) ×3 t= 3 t 2+33 t ；222000(3) 因為 QRBA,所以 QRC= A=60 ， RQC= B=60 ，又因為 C=60 ,所以 QRC是等邊三角形 , 所以 QR=RC=QC=6-2t因.為 BE=BQ· cos60 0= 1 × 2t=t,2所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以 EP QR,EP=QR,所以四邊形 EPRQ是平行四邊形

13、,00所以 PR=EQ= 3 t, 又因為 PEQ=90, 所以 APR=PRQ=90. 因為 APR PRQ,所以 QPR= A=600, 所以 tan60 0= QR , 即 6 2t3, 所以 t= 6 ,PR3t5所以當 t=6 時 ,APR PRQ56在直角梯形 OABC 中，CB OA， COA 90o，CB 3，OA 6，BA 3 5分別以 OA、 OC 邊所在直線為 x 軸、 y 軸建立如圖 1 所示的平面直角坐標系（ 1）求點 B 的坐標；（ 2）已知 D、E 分別為線段 OC、OB 上的點， OD 5，OE 2EB ，直線 DE 交 x 軸于點 F求直線 DE 的解析式；（

14、3）點 M 是（ 2）中直線 DE 上的一個動點，在x 軸上方的平面內是否存在另一個點N使以 O、 D、M 、N 為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N 的坐標；若不存在，請說明理由yMBCDENOAFx（第26題圖1）.7在圖 15-1 至圖 15-3 中，直線 MN 與線段 AB 相交于點 O，1= 2=45 °（ 1）如圖 15-1 ，若 AO = OB，請寫出 AO 與 BD的數量關系和位置關系；（ 2）將圖 15-1 中的 MN 繞點 O 順時針旋轉得到圖 15-2，其中 AO = OB AO1N圖 7-1MD2B求證： AC = BD，AC BD ；（ 3）將圖15-2

15、 中的 OB 拉長為AO 的 k 倍得到圖 15-3，求 BD 的值OD2MACA1CN圖 7-2OA1CBD2BMN圖 7-3【答案】解：（ 1）AO = BD， AO BD ；（ 2）證明：如圖4，過點 B 作 BECA 交 DO 于 E， ACO = BEOM又 AO = OB， AOC = BOE ，D2 AOC BOE AC = BEO EAB1CNF圖 4又 1 = 45 °， ACO = BEO = 135° DEB = 45 ° 2 = 45 °， BE = BD， EBD = 90 ° AC = BD 延長 AC 交 DB 的延長線于F，如圖4 BE AC， AFD = 90 ° AC BD（ 3）如圖 5，過點 B 作 BE CA 交 DO 于 E， BEO = ACO又 BOE = AOC ， BOE AOCD MBO 2 BEACAOE又 OB = kAO，A1 COBk 由（ 2）的方法易得 BE = BD BD圖 5ACN軸、 y 軸的垂線，垂足分別為M、 N，若點 P 從 O點出發，10如圖，已知過A（ 2，