1、列一元二次方程，分式方程，分式方程組解應(yīng)用題一、內(nèi)容綜述：1列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：（1）審題：透徹理解題意，明確哪些是已知數(shù)，哪些是未知數(shù)，以及它們之間的關(guān)系。（2）設(shè)未知數(shù)：根據(jù)題意，可直接設(shè)未知數(shù)，也可間接設(shè)未知數(shù)，未知數(shù)必須寫明單位，語言敘述要完整。（3）列代數(shù)式和方程：根據(jù)題中給出的條件，用含有所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，利用等量關(guān)系，列出方程或方程組，一般列方程的個數(shù)與所設(shè)未知數(shù)的個數(shù)相同。（4）解方程或方程組應(yīng)注意解題技巧，準(zhǔn)確地求出方程或方程組的解。（5）檢驗(yàn)答案：解應(yīng)用題要檢驗(yàn)有無增根，又要檢驗(yàn)是否符合題意，最后做出符合題目要求的答案。在這些步驟中，審題是解題的基礎(chǔ)

2、，列方程是解題的關(guān)鍵。在列方程時，要注意列出的方程必須滿足以下三個條件：（1）方程兩邊表示同類量（2）方程兩邊的同類量的單位一樣（3）方程兩邊的數(shù)值相等二、例題分析：例1某人用1000元人民幣購買一年期的甲種債券，到期后兌換人民幣并將所得利息購買一年期的乙種債券，若乙種債券的年利率比甲種債券低2個百分點(diǎn)，到期后某人的乙種債券可兌換人民幣108元，求甲種債券的年利率。分析：利息=本金×利率×存期本息=本金+利息甲種債券利息×（1+乙種債券利率）×存期=108解：設(shè)甲種債券的年利率為x，依題意，甲種債券的利息為1000x元，乙種債券的年利率為x-0.02，則

3、1000x(1+x-0.02)=108整理得：250x2+245x-27=0(10x-1)(25x+27)=0x1=0.1 x2=- x2=-不合題意，舍去x=0.1=10%答：甲種債券的年利率為10%。例2某電廠規(guī)定該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這個月這戶只需交10元用電費(fèi)，如果超過A度，則這個月除了仍要交10元用電費(fèi)外，超過部分還要按每度元交費(fèi)。（1）該廠某戶居民2月份用電90度，超過了規(guī)定的A度，則超過部分應(yīng)該交電費(fèi)多少元（用A表示）（2）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況：月份用電量（度）交電費(fèi)總數(shù)（元）3月80 25 4月45 10 根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，

4、求電廠規(guī)定A度為多少？分析：本題是原于現(xiàn)實(shí)生活中的經(jīng)濟(jì)問題，情景熟悉，但問題有障礙，不能直接看出問題的答案，必須認(rèn)真閱讀和思考    問題（1）較簡單，超過部分應(yīng)交電費(fèi)(90-A)元，問題（2），從表中看到，45<A<80，根據(jù)3月份用電80度，交電費(fèi)25元，可列出方程：10+(80-A)=25整理得，A2-80A+1500=0解得：A1=50 A2=30但A2=30<45，不合題意舍去A=5解略。例3某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每

5、件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件。若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，由題意可得：(40-x)(20+2x)=1200整理，得x2-30x+200=0x1=10 x2=20根據(jù)題意x=10不合題意，舍去所以x=20    答：每件襯衫應(yīng)降價20元。說明：此題是一元二次方程在市場經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用，利用已知條件，列方程，解方程都比較簡單，但得出方程的根后，考查它們是否符合題意是個難點(diǎn)，已知中有“盡快減少庫存”的要求，而每降低1元，則平均每天可售出2件，所以x=10，不合題意舍去。例4某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家

6、需付甲、乙兩隊(duì)共8700元，乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)共9500元，甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊(duì)共5500元。（1）求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超過15天完成全部工程，問可由哪隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請說明理由。分析：此題是用數(shù)學(xué)知識解決簡單的生產(chǎn)問題，這也是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目的。第一問是工程問題，工程問題中有三個量：工作總量，工作效率，工作時間，這三個量之間的關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時間。第二問只要求出每天應(yīng)各付甲、乙、丙各隊(duì)多少 錢，并由第一問求出甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作所需的天數(shù)，即可求

7、出在規(guī)定時間內(nèi)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程哪個隊(duì)花錢最少。解：（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做x天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做y天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做z天完成由題意可得： 解這個方程組得：     經(jīng)檢驗(yàn)此解是所列方程組的解答：甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做15天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做30天完成。（2）設(shè)付給甲隊(duì)一天a元，付給乙隊(duì)一天b元，付給丙隊(duì)一天c元解這個方程組得又規(guī)定時間要求不超過15天不能用丙隊(duì)，10a=8000（元） 15b=9750（元）答：由甲隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢最少。說明：數(shù)學(xué)教學(xué)新大綱中要求“能夠運(yùn)用所學(xué)知識解決簡單的實(shí)際問題”。能夠解決實(shí)際問題是指：能夠解決帶有實(shí)際意義和相關(guān)學(xué)科中的數(shù)學(xué)

8、問題，以及解決生產(chǎn)和日常生活中的實(shí)際問題；能夠使用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，展開交流，形成用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的意識，以上四題就反映了新大綱要求，這種形式的問題頻繁出現(xiàn)在近兩年的中考試卷中，這應(yīng)引起我們的重視。例5A、B兩地間的路程為15千米，早晨6時整，甲從A地出發(fā)步行前往B地，20分鐘后，乙從B地出發(fā)騎車前往A地，乙到達(dá)A地后停留40分鐘，然后騎車按原路原速返回，結(jié)果甲、乙兩人同時到達(dá)B地，如果乙騎車比甲步行每小時多走10千米，問幾點(diǎn)鐘甲，乙兩人同時到達(dá)B地？分析：此題是行程問題，行程問題中有三個基本量：速度、時間、路程，并且路程=速度×時間。此題若間接設(shè)元，設(shè)甲步行每小時走x千米，乙騎自

9、行車每小時走(x+10)千米，又已知AB兩地路程為15千米，則可利用甲乙所用的時間找等量關(guān)系。解：設(shè)甲步行每小時走x千米，則乙騎車每小時走(x+10)千米由題意得：+1= 整理得：x2+25x-150=0解這個方程得：x1=5,x2=-30經(jīng)檢驗(yàn)：x1=5,x2=-30都是所列方程的根，但x=-30不合題意舍去x=5這時 15÷5=3（小時）答：上午9點(diǎn)整，甲、乙兩人同時到達(dá)B地。例6甲、乙兩車同時從A地出發(fā)，經(jīng)過C地去B地，已知、相距180千米，出發(fā)時，甲每小時比乙多行5千米，因此，乙經(jīng)過C地比甲晚半小時，為趕上甲，乙從C地將車速每小時增加10千米，結(jié)果兩車同時到達(dá)B，求兩車出發(fā)時

10、速度？分析：解決此題的關(guān)鍵是：從C地到B地，甲比乙多走半小時。解：設(shè)乙速為x千米/時。則甲速為(x+5)千米/時 - =整理得：x2+15x-1750=0解這個方程：x1=35, x2=-50經(jīng)檢驗(yàn)：x1=35,x2=-50都是所列方程的根但x=-50不合題意，舍去x=35x+5=35+5=40答：甲出發(fā)時速度為40千米/時，乙出發(fā)時速度為35千米/時。例7甲乙兩人分別從A、B兩地同時同向出發(fā)，甲經(jīng)過B地后，再經(jīng)過3小時12分在C地追上乙，這時兩人所走的路程和為36千米，而A、C兩地的距離等于乙走5小時的路程，求A、B兩地的距離？分析：此題間接設(shè)元比較方便，如可設(shè)甲、乙兩人速度分別為x千米/時

11、，y千米/時，可以利用“兩人所走的路程和為36千米”及“甲從A到C所用的時間與乙從B到C所用的時間相等”這兩個等量關(guān)系建立方程組。解：設(shè)甲速為x千米/時，乙速為y千米/時 則AC長5y千米，BC長為 x千米（3小時12分=小時）AB長(5y-x)千米由題意可得解這個方程組得： 經(jīng)檢驗(yàn)它們都是所列方程組的解 又 不合題意舍去 5y-x=5×4- =4 答：A、B兩地長4千米。測試A組選擇題（每小題分）1.某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，第一季度總產(chǎn)值175億元，問二月、三月平均每月的增長率是多少？設(shè)平均每月增長的百分率為x，根據(jù)題意得方程為（A）50(1+x)2=175 （B

12、）50+50(1+x)2=175（C）50(1+x)+50(1+x)2=175 （D）50+50(1+x)+50(1+x)2=175 2.甲、乙兩隊(duì)學(xué)生綠化校園，兩隊(duì)合作6天可以完成，若單獨(dú)工作，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用五天，兩隊(duì)單獨(dú)工作，各需要多少天完成？若設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)工作需要x天完成，則根據(jù)題意得到的方程是（ ）. （A） =6 （B）=6 （C）6( )=1 （D）=1 B組選擇題（每小題分）1.某村有若干人準(zhǔn)備用平均集資的方法籌集數(shù)萬元開發(fā)小區(qū)，消息傳出后，又有3位村民認(rèn)為開發(fā)項(xiàng)目對頭，申請參加，于是每人可少集資3000元；最后收款時，又增加1人，再次使每人的平均集資數(shù)減少600元，問該村開始時有

13、多少人集資？共集資多少元？解如下：設(shè)最初集資人數(shù)為x，每人平均集資y元，依題意，列出方程組：解法一：解法二：由隱含著的“出入相補(bǔ)”原理，得方程組：解法三：由隱含著的“出入相補(bǔ)”原理，得方程組：以上有三種解法，其中錯誤的是： （A）解法一 （B）解法二 （C）解法三 （D）都正確。2.甲、乙兩列車，分別從相距300千米的A、B兩車站同時相向出發(fā)，相遇后，甲車再經(jīng)過4小時到B站，乙車再經(jīng)過9小時到A站，求甲、乙各車的速度。解法一：設(shè)甲車的速度為x千米/小時，乙車的速度為y千米/小時，根據(jù)題意，得：解法二：設(shè)甲車的速度為x千米/小時，乙車的速度為y千米/小時，根據(jù)甲乙兩車相遇時間相等，而相遇后至停止

14、相差9-4=5小時，亦為全程時間差為5小時，據(jù)此得方程：解法三：間接設(shè)未知數(shù)，設(shè)相遇時，甲、乙各行了x小時。根據(jù)題設(shè)得方程：×4+ ×9=300即 +=1，得x2=36, x=±6 (-6不合題意，舍去。)所以v甲=30（千米/小時），v乙=20（千米/小時），以上解法正確的有： （A）一種 （B）兩種 （C）三種 （D）沒有正確解法。答案與解析  A組答案：1、D 2、C B組答案：1、C 2、CB組解析：1、解題策略：一是按有關(guān)的幾個基本量列表，未知數(shù)用相應(yīng)的字母代替，可有助于理清題意，如：  集資人數(shù) 平均集資數(shù) 總額 開始時 x y z

15、 第一次增人后 x+3 y-3000 z 第二次增人后 x+4 y-3000-600 z 二是根據(jù)出入相補(bǔ)原理：原來集資每人減少總額（出），由新增集資人承擔(dān)（入）。 解法一：設(shè)最初集資人數(shù)為x，每人平均集資y元，依題意，列出方程組：解之得：所以 z=xy=54000（元）。答：原來有6人集資，出集資5.4萬元。 解法二：由隱含著的“出入相補(bǔ)”原理，得方程組：第三種解法錯誤，注意題中“再次使每人的平均集資數(shù)減少600元”是指在減少3000元的基礎(chǔ)上再減少600元，實(shí)為減少3600元，不能理解為2400元。 2解題策略：畫出分析圖，是解行程問題的有效辦法。 利用不同線條區(qū)分不同速度的運(yùn)動體是個好辦

16、法，便于弄清題目的條件。解法一：設(shè)甲車的速度為x千米/小時，乙車的速度為y千米/小時，根據(jù)題意，得：由(2)得 9y2=4x2,3y=2x （因x,y 都是正的，故舍去負(fù)的）。解得：經(jīng)檢驗(yàn)，這個解滿足題設(shè)要求。答：甲車速度為30千米/小時，乙車速度為20千米/小時。 解法二：如上所述，根據(jù)甲乙兩車相遇時間相等，而相遇后至停止相差9-4=5小時，亦為全程時間差為5小時，據(jù)此得方程：（以下略）。 解法三：間接設(shè)未知數(shù)，設(shè)相遇時，甲、乙各行了x小時。根據(jù)題設(shè)得方程：×4+ ×9=300即 +=1，得x2=36, x=±6 (-6不合題意，舍去。)所以v甲=30（千米/小

17、時），v乙=20（千米/小時）。以上三種解法都正確。 列方程解應(yīng)用題考點(diǎn)1會列出方程或方程組解應(yīng)用題。2通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力?？碱}評析1（廣州市）某商場銷售商品收入款，3月份為25萬元，5月份為36萬元，該商場這兩個月銷售商品收入款平均每月增長的百分率是多少？考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用評析：首先用3月份收入款及增長率（x）表示5月份的收入款根據(jù)5月份的實(shí)際額列方程25(1+x)2=36。答案：20%注：（1）解一元二次方程要求出兩解，根據(jù)實(shí)際再取舍。    （2）結(jié)果要化成百分?jǐn)?shù)的形式。2（成都市）某科技公司

18、研制成功一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款200萬元資金用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品，簽訂的合同上約定兩年到期時一次性還本付息，利息為本金的8%，該產(chǎn)品投放市場后，由于產(chǎn)銷對路，使公司在兩年到期時除還清貸款的本金和利息外，還盈余72萬元，若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長的百分?jǐn)?shù)相同，試求這個百分?jǐn)?shù)?？键c(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用。評析：兩年后的產(chǎn)值是列方程的難點(diǎn)，也是此題的難點(diǎn)，即兩年后的產(chǎn)值為本息和加盈利200（1+8%）+72，由題意不難列出方程200(1+x)2=72+200(1+8%)，(x為所求百分?jǐn)?shù))。解：設(shè)這個百分?jǐn)?shù)為x。依題意，列出方程為 200(1+x)2=72+200(1+8%)?；啠?0

19、0(1+x)2=288，即(1+x)2=1.44。解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意，舍去）。答：該公司資金增長的百分?jǐn)?shù)為20%。3（昆明）某廠工業(yè)廢氣年排放量為450萬立方米，為改善昆明市的大氣環(huán)境質(zhì)量，決定分二期投入治理，使廢氣的年排放量減少到288萬立方米，如果每期治理中廢氣減少的百分率相同。（1）求每期減少的百分率是多少？（2）預(yù)計第一期治理中每減少1萬立方米廢氣需投入3萬元，第二期治理中每減少1萬立方米廢氣需投入4.5萬元，問兩期治理完成后共需投入多少萬元？解：（1）設(shè)每期減少的百分率為x.1分據(jù)題意，得：450(1-x)2=2883(1-x)2=0.64解得：x=1±0.8 x1=0.2, x2=1.8(不合題意，舍去)5分每期減少的百分率為20%。（2） 450·(1-20%)=360第一期減少的廢氣450-360=90（萬立方米）6分又第二期減少的廢氣360-288=72（萬立方米）7分則共需投入3×90+4.5×72=594（萬元）8分答：（1）每期減少的百分率為20%，（2）兩期治理完成后共需投入594萬元9分4（遼寧省）列方程解應(yīng)用題：某顧客第一次在商店買若干件小商品花去5元，第二次再去