1、二次型及其標準形的概念稱為稱為二次型二次型. .的二次齊次函數個變量含有定義nxxxn, 1211221111212131311222223232221,111,1(,)222 22 2 nnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xaxaxx 2 nnna x 2 2用矩陣表示用矩陣表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax22112222121212121111 nnnnnnn

2、nnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(.,為為對對稱稱矩矩陣陣其其中中則則二二次次型型可可記記作作AAXXfT ,nnnnnnnxxxXaaaaaaaaaA21212222111211記記 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121, 定義定義合合同同與與，則則稱稱，使使矩矩陣陣若若存存在在可可逆逆和和階階矩矩陣陣設設有有兩兩個個ABAPPBPBAnT,的的合合同同變變換換矩矩陣陣變變為為稱稱為為把把矩矩陣陣BAP合同矩陣有一下性質：合同矩陣有一下性質：（1）自反性（）自反性（2）對稱性）對稱性(3)

3、(3) 傳遞性傳遞性定理定理 設設 是一個可逆矩陣是一個可逆矩陣,若若 為對稱矩陣為對稱矩陣, PAAPPBT則則 也為對稱矩陣也為對稱矩陣,且且 )()(BRAR1.若二次型含有若二次型含有 的平方項，則先把含有的平方項，則先把含有 的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，經過可逆的線樣進行，直到都配成平方項為止，經過可逆的線性變換，就得到標準形性變換，就得到標準形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且2.若二次型中不含有平方項，但是若二次型中不含有平方項，但是 則先作可逆線性變換則

4、先作可逆線性變換0 ija),(ji 化二次型為含有平方項的二次型，然后再按化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.四、配方法求二次型的標準形由上節內容知道任何一個二次型都可以表示成矩陣形式AXXxxxaaaaaaaaaxxxxxxfFTnnnnnnnnn212122212112112121),(),(然后，經過某個坐標變換可以將它的二次型矩陣變成對角矩陣。CYXyyycccccccccxxxnnnnnnnn或者寫成令,2121222211121121其中矩陣A是對稱矩陣，即 AT = A。DYYACYCYAXXFTTTT是一個可逆的矩陣CACCDT,我們知道，任何一個可

5、逆矩陣都等于一系列的初等矩陣的乘積m),1,2,i是初等矩陣（其中imppppC,21TTTmTpppC12DppAppppmTTTm2112111DAppT22112DpApppTTDppAppppmTTTm2112一一系系列列的的合合同同運運算算經過一系列的合同運算使矩陣A變成對角矩陣D即所用的變換矩陣就變成了是對角矩陣時當最后換作一次相應的初等行變同時對每作一次初等列變換，對矩陣構造,CECEAAEAEAn2n也就是說，我們可以通過以下步驟得到變換矩陣C以及A的對角化矩陣 （二次型的標準化矩陣）。.,4223.132312121并求所用的變換矩陣成標準形化二次型例xxxxxxxf 021

6、201113二次型的矩陣為解100010001021201113EA10001001010103313535311312cc1312rr 10001001012110331353110001010000331313135353110051021800000033131所所給給二二次次型型化化為為標標準準形形所所以以經經過過變變換換,PYX 1005102131P其中2322218313yyyf100010010101033135353113131313rrcc232355rrcc.,822.2323121并求所用的變換矩陣成標準形化二次型例xxxxxxf 解：041401110A二次型的矩陣為

7、2121rrcc100010001041401110EA10001100104340131212121212rrcc100010103030221212525211000101030302212125252112331233rrcc10011000022321232129252521100114180000002212121232355rrcc2322212182yyyf二次型的標準形為坐標變換矩陣為10011412121C置即所用的變換矩陣的轉就變成了是對角矩陣時當最后換作一次相應的初等行變同時對每作一次初等列變換，對矩陣構造,TTCECEAAEAEA2nn 在原理上，我們也可以設計初等行變

8、換來求二次型矩陣的標準形及其變換矩陣。DppAppppmTTTm2112111DAppT22112DpApppTTDppAppppmTTTm2112TTTTmCEppp12DACCTD為對角矩陣.,4223.332312121并求所用的變換矩陣成標準形化二次型例xxxxxxxf 021201113二次型的矩陣為解100021010201001113)(AE13121312rrcc100010100011033531353113131313rrcc100010001003313135313531232355rrcc1528000100001003313115280001000010033131二

9、次型的標準形為：1005102131C2322218313yyyf坐標變換矩陣為1520100131TC必須說明：不同的初等變換過程，可以獲得不同的二次型15280001000010033131例如：131131rc1528000100000013131313221232212,3,3rrcc110003010000014252233313232rrcc03100101000001334252231例3中的二次型，可以繼續進行合同運算其標準形為232221zzzf坐標變換矩陣為01030425332231C以上過程告訴我們，二次型可以通過坐標變換化成標準形。2121221121),(ydydy

10、dDYYAXXxxxfnTTn其中D是對角矩陣，主對角線上各元為d1, d2, , dn, n個實數進一步進行合同變換，可以將二次型化成如下形式：222212222121),(rpppnzzzzzzxxxf該式稱為二次型的規范形。r是矩陣A的秩，即二次型的秩。注意：規范型中“+”號的個數與標準型中di0的個數相同。 同樣，規范型中“-”號的個數與標準型中diq如果找到不全為零的y1,y2,yn，使(4)式不成立，那么假設不成立 問題： y1,y2,yn取怎樣的實數時，(4)式左端大于0，同時相應的z1,z2,zn使(4)式右端小于0？2212222122122221rqqrppzzzzzyyy

11、yyf(4)0001nrpyyynqnqqqnnnnygygygzygygygzygygygz22112222121212121111000方程組的未知量個數為n，方程的個數為n-p+qq造成的。同樣，pq亦會產生類似的矛盾。由此得到p=q.慣性定理成立。 第二節 正定二次型正(負)定二次型的概念正(負)定二次型的判別232221164xxxf為為正定二次型正定二次型22213xxf 為為負定二次型負定二次型一、正(負)定二次型的概念 不定二次型。其它形式的二次型稱為以上的二次型，為半負定二次型。除了則稱，都有如果對于任何為半正定二次型則稱，都有任何是負定矩陣。如果對于并稱對稱矩陣為負定二次型

12、則稱都有如果對任何是正定矩陣并稱對稱矩陣次型為正定二則稱顯然都有如果對任何設有實二次型定義f, 0)(0X;f, 0)(0X, , 0)(0X;,00 0)(, 0,)( 1XfXfAfXfAffXfXAXXXfT例如例如證明證明使設可逆變換CYX 2222211nnykykykCYfXf充分性充分性 ., 10niki 設設, 0X任給, 0X-1CY則故故 . 02222211nnykykykXf二、正(負)定二次型的判別.:個系數全為正它的標準形的件是為正定的充分必要條實二次型定理nAXXfT 1必要性必要性, 0 sk假設有假設有, 時單位坐標向量則當)(seY . 0010021sn

13、sskkkkkCef, 0sCe顯然.為正定相矛盾為正定相矛盾這與這與 f故故 ., 10niki 推論推論1. 實二次型正定的充要條件是其正慣性系數為實二次型正定的充要條件是其正慣性系數為n推論推論2. 實二次型正定的充要條件是其矩陣與實二次型正定的充要條件是其矩陣與n階單位合同階單位合同推論推論3. 正定矩陣的行列式大于零正定矩陣的行列式大于零證明：設證明：設A為正定矩陣，則為正定矩陣，則CTAC = E, 兩端求行列式得：兩端求行列式得：1, 12CACACT012CA, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa ., 2 , 1, 011111nra

14、aaarrrrr 這個定理稱為霍爾維茨定理這個定理稱為霍爾維茨定理定理定理2 2 對稱矩陣對稱矩陣 為為正定正定的充分必要條件是：的充分必要條件是：的各階順序主子式為正，即的各階順序主子式為正，即AA對稱矩陣對稱矩陣 為為負定負定的充分必要條件是：奇數階順序主的充分必要條件是：奇數階順序主子式為負，而偶數階順序主子式為正，即子式為負，而偶數階順序主子式為正，即A例例1 1 判別二次型判別二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的的矩矩陣陣為為321,xxxf,524212425 它的順序主子式它的順序主子式, 05 , 011225, 01524212425故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例2 2 判別二次型判別二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解