1、鎮江市鎮江市 2014-20152014-2015 學年度第一學期期末試卷學年度第一學期期末試卷高三數學高三數學第第 I 卷卷注意事項注意事項:1本試卷由填空題和解答題兩部分組成，滿分 160 分，考試時間為 120 分鐘. 2. 答題前，請您務必將自己的學校、姓名、考試號用書寫黑色字跡的 0.5 毫米簽字筆填寫在答題卡上規定的地方.3. 答題時必須用書寫黑色字跡的 0.5 毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效.一、填空題：本大題共一、填空題：本大題共 14 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 70 分分. 不需要寫出解答過程，請把答案不需要寫出解答過程，請把答案直

2、接填寫在答題卡的相應位置上直接填寫在答題卡的相應位置上.1記復數為虛數單位）的共軛復數為，已知，則 .ibiaz(),(Rbabiaziz 22z2設全集，集合，則= .ZU 2 , 1 , 0 , 1, 2,2 , 1PMUPM3某校共有師生 1600 人，其中教師有 1000 人，現用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為 80的樣本，則抽取學生的人數為 .4若雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸)0, 0( 12222babyax41近線方程是 .5已知向量，則 .baxbxa),1, 2(),1, 12(x6執行如圖流程圖，若輸入，則輸出的值為 .21,20

3、baa7設為互不重合的平面，是互不重合的直線，給出下列四個命題：,nm,若，則；nnm,/m若，則；/,/,nmnm/若，則；/nm,nm/若，則；mnnm,n其中正確命題的序號為 .8設分別為連續兩次投擲骰子得到的點數，且向量，則向量的夾角為銳角nm,1, 1,bnmaba,的概率是_.9設等比數列的前項和為，若,63, 763SS則 . nannS987aaaba 開始 N Y 結束 輸出 abaa輸入 ba,10已知直線 過點且與圓相交于兩點，的面積為 1，則直線 的方程l)2 , 1 (P2:22 yxCBA,ABCl為 .11若鈍角三角形三個內角的度數成等差數列，且最大邊與最小邊長度

4、之比為，則的取值范圍是 mm .12若函數為定義在上的奇函數，當時，則不等式的解集為 )(xfR0 xxxxfln)(exf)( .13曲線與曲線公切線（切線相同）的條數為 .)0(1xxyxyln14已知正數滿足，則的最小值為 .yx,111yx1914yyxx二、解答題：本大題共二、解答題：本大題共 6 6 小題，共小題，共 9090 分分. .請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟證明過程或演算步驟. .15 （本小題滿分 14 分）已知的面積為，且.ABCSSACAB2（1）求；Asin（2）若,求

5、.32, 3ACABABBsin16 （本小題滿分 14 分）如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，平面，為ABCDBCDABBCDaBCABE的中點，在棱上，且.BCFACFCAF3（1）求三棱錐的體積；ABCD（2）求證：平面；ACDEF（3）若為中點，在棱上，且MDBNAC,求證：平面. CACN83/MNDEF17 （本小題滿分 15 分）某飛機失聯，經衛星偵查，其最后出現在小島附近.現派出四艘搜救船，為方便聯絡，船ODCBA,始終在以小島為圓心，100 海里為半徑的圓上，船構成正方形編隊展開搜索，小島BA,ODCBA,在正方形編隊外（如圖）.設小島到的距離為，船到小島的距離為.OOABx

6、DAOB,Od（1）請分別求關于的函數關系式；并分別寫出定義域；d, x)(),(fdxgd（2）當兩艘船之間的距離是多少時搜救范圍最大（即最BA,d大）. 18（本小題滿分 15 分）已知橢圓的右焦點，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，)0( 12222babyax)0 , 1 (F22FCDAB,設的中點分別為.CDAB,NM,（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線必過定點，并求出此定點坐標；MN（3）若弦的斜率均存在，求面積的最大值. CDAB,FMN19 （本小題滿分 16 分）已知函數，實數滿足，設.xxxf24)(ts,0)()(tfsftstsba2,22（1）當函數的定義域為時，求

7、的值域；)(xf1 , 1)(xf（2）求函數關系式，并求函數的定義域；)(agb )(ag（3）求的取值范圍.ts88 20 （本小題滿分 16 分）已知數列中，在之間插入 1 個數，在之間插入 2 個數，在之間插入 3 個數， na11a21,aa32,aa43,aa，在之間插入個數，使得所有插入的數和原數列中的所有項按原有位置順序構成一個正1,nnaan na項等差數列. nb（1）若，求的通項公式；194a nb（2）設數列的前n項和為nS，且滿足為常數） ，求的通項公式. nb,(2nnbS na高高 三三 數數 學學 第第卷（理科附加卷）卷（理科附加卷）21.【選做題】本題包括 A

8、,B,C,D 四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區域內作答，若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.(選修 4-1：幾何證明選講)如圖，圓與圓相交于兩點，點在圓上，圓的弦切圓于點,及其延長線交圓OPBA,POOBCPBCP于兩點，過點作交延長線于點.若，求的長.PED,ECEEF CBF22, 2CBCDEFB.(選修 4-2：矩陣與變換)已知矩陣，試求曲線在矩陣變換下的函數解析式.10021,2001NMxysinMNC.(選修 4-4：坐標系與參數方程)已知直線 的極坐標方程為，圓的參數方程為為參數）.lsin()63prq-=C10cos(10si

9、nxyqqq=（1）請分別把直線 和圓的方程化為直角坐標方程；lC（2）求直線 被圓截得的弦長.lD.(選修 4-5：不等式選講)已知函數，若不等式對任意恒成立，求實數的取( )12f xxx=-+-( )ababa f x+-, a bRx值范圍.【必做題】第 22，23 題，每小題 10 分，計 20 分.請把答案寫在答題紙的指定區域內.22.（本小題滿分 10 分）已知為曲線上的動點，定點，若，求動點的軌跡方程.A2:410Cxy-+ =( 2,0)M -2ATTM= T23.（本小題滿分 10 分）已知四棱錐的底面為直角梯形，底面,且PABCD-/ /,90 ,ABCDDABPA=AB

10、CD是的中點.11,2PAADDCABM=PB（1）證明：平面平面；PAD PCD（2）求與所成角的余弦值；ACPB（3）求平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值. AMCBMCMPADBC高三數學期末考試參考答案高三數學期末考試參考答案第第卷卷一、填空題（每小題 5 分）題號答案試題出處知識點能力難度134i模考題改編復數的運算，共軛復數運算易22, 1,0教材改編集合的交集與補集運算易375教材改編分層抽樣運算易433yx 教材改編雙曲線的幾何性質運算易51教材改編向量的數量積運算易6516教材改編算法流程圖識圖易7教材改編立體幾何的判定和性質定理空間想象中8512原創概率問題，向量的夾角運

11、算中9448教材改編等比數列的性質，求和運算中10，10 x 3450 xy教材改編直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式運算中11(2,)?？碱}改編正弦定理，角度范圍的確定直覺，圖形分析較難12e(, )原創題函數的奇偶性，函數求導，函數單調性圖象分析難131模考題改編函數求導，構造函數及畫新函數圖像轉化，運算難1425?？碱}改編基本不等式求最值轉化難二、解答題15. 解：（1） 的面積為，且，ABCS2AB ACS ， 2 分分1cos2sin2bcAbcA ，3 分分sin2cosAA 為銳角，且， 5 分分A2222213sincossinsinsin122AAAAA 6 分分6sin

12、3A （2）設中角對邊分別為ABC, ,A B C, ,a b c，7 分分|3ABc |2 3ABACCBa 由正弦定理得：，即 9 分分sinsincaCA32 3sin63C ，又,則銳角，10 分分2sin2C caC ， 11 分分4C 12 分分sinsin()sincoscossin444BAAA= 14 分分62322 3632326【說明說明】本題是由模擬試題改編，考查三角形中的邊角關系、向量的數量積運算，考查正弦定理，三角本題是由模擬試題改編，考查三角形中的邊角關系、向量的數量積運算，考查正弦定理，三角變換；考查學生的字母符號處理能力、運算能力能力、書寫表達變換；考查學生的

13、字母符號處理能力、運算能力能力、書寫表達. .16解：（1）因為 是正三角形，且，所以，2 分分 BCDABBCa234BCDSa因為平面，ABBCDSBCD. 5 分分13D ABCA BCDVVAB21334aa3312a（2）在底面在底面中中， （以下運用的定理不交代在同一平面中，扣（以下運用的定理不交代在同一平面中，扣 1 分）分）ABC取的中點，連接，ACHBHABBC,BHAC為的中點，3,AFFCFCH為的中點， EBC 是正三角形,BCDDEBC .10 分分ACDEF面EF6EFAC 分BH,B BCABBAACBBC面,(98,)DEABCABDECACAC面分分面,),(

14、7BCDBABABDEDCED面分面,ADE EFCEFDEEDEFFE面（注意：涉及到立體幾何中的結論，缺少一個條件，扣（注意：涉及到立體幾何中的結論，缺少一個條件，扣 1 1 分，扣滿該邏輯段得分為止）分，扣滿該邏輯段得分為止）（3）當時，連，設，連38CNCACMCMDEOOF為的重心,，當時,(11 分分) )OBCD23COCM23CFCNMNOF .14 分分MNDEF面【說明說明】本題是由?？碱}改編，考查錐體體積、垂直的判定、平行的判定；考查空間想象能力和識圖能本題是由?？碱}改編，考查錐體體積、垂直的判定、平行的判定；考查空間想象能力和識圖能力，規范化書寫表達能力力，規范化書寫表

15、達能力. .17. 解：設的單位為百海里 x（1）由，=， 2 分分OAB2cosABOAA2cos A2cosADAB 在中， 3 分分AOD22( )2cos()2ODfOAOBOA OB ；（定義域 1 分） 5 分分214cos4cossin(0,)2 若小島 O 到的距離為， 6 分分ABx222 1ABx 8 分分22( )()()22ADABODg xx ， （定義域 1 分） 10 分分22212xxx(0,1)x （2）；224cos14cossinOD (0,)21cos2sin241422 2(sin2cos2 )3. 11 分分2 2sin(2)3,(0,)42當，則時

16、，即，取得最大值， 12 分分 52(,)4442428OD此時（百海里）. 13 分分1cos42cos22282AB答：當間距離海里時，搜救范圍最大. 14 分分 AB100 22【說明說明】本題是原創題，考查余弦定理，三角恒等變換，數學建模的能力，選擇合適的模型求最值的問本題是原創題，考查余弦定理，三角恒等變換，數學建模的能力，選擇合適的模型求最值的問題題. .18. 解：（1）由題意：，則， （每個（每個 1 分）分）3 分分21,2cca2,1,1abc,OFDEFEMND F面面橢圓的方程為 4 分分2212xy（2）斜率均存在，設直線方程為：，,AB CDAB(1)yk x，12

17、121122(,), (,),(, (1)22xxxxA x yB xyMk 得，5 分分22(1),220,yk xxy2222(12)4220kxk xk，故， 6 分分212221224122212kxxkkx xk2222(,)1212kkMkk將上式中的換成，則同理可得：， 8 分分k1k222(,)22kNkk如，得，則直線斜率不存在， 22222122kkk1k MN此時直線過點，下證動直線過定點. 9 分（法一）分（法一）若直MN2( ,0)3MN2( ,0)3P線斜率存在，則 ， MN22224222(33)3122222221122MNkkkkkkkkkkkkk直線為，11

18、 分分MN22232()2212kkyxkkk令，得，0y 222222212312232323kkxkkk綜上，直線過定點. 12 分分MN2( ,0)3（法二）（法二）動直線最多過一個定點，由對稱性可知，定點必在軸上，設與軸交點為，MNx23x x2( ,0)3P下證動直線過定點.MN2( ,0)3P當1k 時，PMk，10 分分22223122221123kkkkkk同理將上式中的換成，可得，11 分分k1k221()3312211PMkkkkk則PMPNkk，直線過定點. 12 分分MN2( ,0)3P（3）由第（2）問可知直線過定點，MN2( ,0)3P 故 SFMN=SFPM+SF

19、PN221111|23 223 12kkkk 13 分分2222421|(33)1|(1)6 (2)(12)2252kkkkkkkk ， 221(|)1|2225kkkk令，SFMN 14 分分 1|2,)|tkk21( )22(2)5tf tt21221tt，則在單調遞減， 15 分分2221 12( )02 (21)tftt( )f t2,)t當時取得最大值，此時 SFMN取得最大值，此時. 16 分分2t ( )f t191k 【說明說明】本題原創本題原創. . 考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質；考查函數最值、定點定值問題題型；考查考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質；考查函數最值、定點

20、定值問題題型；考查變量代換法、函數思想、分類討論思想、一般與特殊思想；考查運算能力、演繹論證（分析法證明）能變量代換法、函數思想、分類討論思想、一般與特殊思想；考查運算能力、演繹論證（分析法證明）能力、直覺思維能力，猜想探究能力力、直覺思維能力，猜想探究能力. . 本題可以不妨設本題可以不妨設，可直接對，可直接對求導，判斷單調性求導，判斷單調性. .0k 242(1)252k kkk 19. 解：（1）若，令， 1 分分 1,1x 12 ,22xm 在上為增函數2 分分2211( )( )()24f xl mmmm1 ,22；，3 分分minmin11( )( )( )24f xl ml ma

21、xmax( )( )(2)2f xl ml值域為. 4 分分( )f x1,24（2）實數滿足，則，, s t( )( )0f sf t42420sstt 則，6 分分2(22 )22(22 )0sts tst 而，故， ， 7 分分22sta 2s tb220aba21( )()2bg aaa 由題意，則，故， 8 分分0,0ba21()02aa1a 又， 22222442()2ststst即，故，當且僅當時取得等號， 9 分分 22aa 2a st綜上：. 10 分分12a（3）88(22 )(4224 )()ststsstta ab ， 12 分分2321113()2222a aaaaa

22、 (1,2a 令， 3213( ),(1,222h aaaa 當恒成立， 14 分分( )h a2333(2)022aaa a (1,2a故在單調遞增，故. 16 分分( )h a(1,2a( )( (1), (2)h ahh88st(1,2【說明說明】本題原創，考查二次函數、指數函數的單調性，考查基本不等式、導數的應用；考查換元法、本題原創，考查二次函數、指數函數的單調性，考查基本不等式、導數的應用；考查換元法、劃歸思想；考查運算變形能力劃歸思想；考查運算變形能力. . 20. 解：（1）設的公差為，由題意：數列的前幾項為： nbd nb 2 分分1121,bab324563789104,1

23、9ba b b ba b b b ba 為的第 10 項，則， 4 分分4a nb1019bbd ，而， 5 分分2d 11b 故數列的通項公式為. 6 分分 nbnb12(1)21nn （2）由（為常數） ，2nnSb, 得， 7 分分2222()2nnnnSbbb 當得：，1n 2212 當時， 2n 2211122nnnSbb -得， 8 分分221122 ()nnnnnbbbbb則， 9 分分12()2(2)2nnnnbd bbddbdd若，則，代入式，得，不成立； 10 分分0d 11nbb20（法一）（法一）當，常數恒成立，又為正項等差數列， 2n 2(22 )2nd bdd nb

24、當時，不為常數，則得， 11 分分0d nb2220,20,ddd11,2d代入式，得. 12 分分14（法二）（法二）,，即， 2(2)2nnbdbdd2(22 )2nd bdd21(22 )(1) 2d bnddd則對2 恒成立， 222 (1)2(1)2dd ndddn令，得 解得 11 分分2,3n 22224 (1)2(1)2,6 (1)2(1)2,dddddddddd1,1,2d【或者:常數，則，得，222 (1)2(1)2dd nddd2 (1)0dd1d 當時，代入上式得】1d 1,2代入式，得. 12 分分14（法三）（法三）由12()2(2)nnnbd bbd n，得112

25、2()2(3)nnnbd bbd n，-，得222dd， 代入上式得11 分分1d 1,2代入式，得. 12 分分14所以等差數列的首項為，公差為，則. 13 分分 nb11b 1d nbn設中的第項為數列中的第項，則前面共有的項，又插入了nan nbknana1n 項，則：15 分分(1)123(1)2n nn(1)(1)12n nkn22nn故. 16 分分22nknnabk【說明說明】本題是原創題，考查等差數列的性質、通項、求和、簡單遞推；考查一般與特殊思想、轉化與本題是原創題，考查等差數列的性質、通項、求和、簡單遞推；考查一般與特殊思想、轉化與劃歸思想；考查運算能力；考查分析探究能力劃歸思想；考查運算能力；考查分析探究能力. .第第卷理科附加卷卷理科附加卷 21.B 解：MN =， 4 分分100210201102