1、重難點講解函數的單調性和奇偶性本節重難點 本節的重點和難點都是對函數單調性和奇偶性的理解和應用重難點講解1基礎知識圖表2函數的單調性如果對于屬于定義域A內某個區間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2，都有f（x1）f（x2），那么就說f（x）在這個區間上是增函數如果對于屬于定義域A內某個區間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2時，都有f（x1）f（x2），那么就說f（x）在這個區間上是減函數如果函數f（x）在某個區間是增函數或減函數，那么就說f（x）在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做f（x）的單調區間函數的單調性是針對定義域內的某個區間而言的例如函數y 在（-，0）上

2、是減函數，在（0，+）上也是減函數，但不能說它在整個定義域即（-，0）（0，+）因為當取x1-1，x21時，對應的函數值為f（x1）-1，f（x2）1，顯然有x1x2，但f（x1）f（x2），不滿足減函數的定義有些函數在整個定義域內具有單調性例如函數yx就是這樣有些函數在定義域內某個區間上是增函數，而在另一些區間上是減函數例如函數y=x2在（-，0）是減函數，在，+）上是增函數中學階段我們所討論的函數，只要它們在區間的端點有定義，那么在考慮單調區間時，包括端點、不包括端點都可以函數的單調性所刻畫的是當自變量變化時其對應的函數值的變化趨勢，是函數在區間上的整體性質，函數圖像能直觀地顯示函數的這個

3、性質在單調區間上的增函數，它的圖像是沿x軸正方向逐漸上升的；在單調區間上的減函數，它的圖像是沿x軸正方向逐漸下降的求函數的單調區間，必須先求函數的定義域討論函數yf（x）的單調性時要注意兩點：（1）若u（x），yf（u）在所討論的區間上都是增函數或都是減函數，則yf（x）為增函數；（2）若u（x），yf（u）在所討論的區間上一個是增函數，另一個是減函數，則yf（x）為減函數若函數f（x），g（x）在給定的區間上具有單調性，利用增（減）函數的定義容易證得，在這個區間上：（1）函數f（x）與f（x）+C（C為常數）具有相同的單調性（2）C0時，函數f（x）與C·f（x）具有相同的單調性；

4、C0時，函數f（x）與C·f（x）具有相反的單調性（3）若f（x）0，則函數f（x）與 具有相反的單調性（4）若函數f（x），g（x）都是增（減）函數，則f（x）+g（x）仍是增（減）函數（5）若f（x）0，g（x）0，且f（x）與g（x）都是增（減）函數，則f（x）·g（x）也是增（減）函數；若f（x）0，g（x）0，且f（x）與g（x）都是增（減）函數，則f（x）·g（x）是減（增）函數使用上述結論，可以簡便地求出一些函數的單調區間例如函數f（x） （x-1）可等價變形為f（x）1- （x-1）由于一次函數1+x是增函數，所以當x-1時，函數 在（-，-1）上

5、是減函數，在（-1，+）上也是減函數于是- 在（-，-1）和（-1，+）上均為增函數故f（x）1- 在（-，-1）和（-1，+）上都是增函數根據定義討論（或證明）函數增減性的一般步驟是：（1）設x1、x2是給定區間內的任意兩個值且x1x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并將此差化簡、變形；（3）判斷f（x1）-f（x2）的正負，從而證得函數的增減性利用函數的單調性可以把函數值的大小比較的問題轉化為自變量的大小比較的問題函數的單調性只能在函數的定義域內來討論這即是說，函數的單調區間是其定義域的子集3函數的奇偶性如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）-f（x），那么f（x）叫

6、做奇函數如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）f（x），那么f（x）叫做偶函數奇函數的圖像關于原點對稱；偶函數的圖像關于y軸對稱如果函數f（x）是奇函數或是偶函數，那么就說函數f（x）具有奇偶性函數按是否具有奇偶性可分為四類：奇函數，偶函數，既奇且偶函數（既是奇函數又是偶函數），非奇非偶函數（既不是奇函數也不是偶函數）函數的奇偶性是針對函數的整個定義域而言，因此奇偶性是函數在定義域上的整體性質由于任意x和-x均要在定義域內，故奇函數或偶函數的定義域一定關于原點對稱所以，我們在判定函數的奇偶性時，首先要確定函數的定義域（函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件如果其定

7、義域關于原點不對稱，那么它沒有奇偶性）然后再判斷f（-x）與f（x）的關系，從而確定其奇偶性判斷函數的奇偶性有時可用定義域的等價形式f（-x）±f（x）0或 ±1（f（x）0）來代替存在既奇且偶函數，例如f（x） + 當f（-x）與f（x）之間的關系較隱蔽時，容易產生“非奇非偶”的錯覺，萬萬不可草率下結論函數的圖像能夠直觀地反映函數的奇偶性f（x）為奇函數的充要條件是函數f（x）的圖像關于原點對稱，f（x）為偶函數的充要條件是函數f（x）的圖像關于y軸對稱奇函數和偶函數還具有以下性質：（1）兩個奇函數的和（差）仍是奇函數，兩個偶函數的和（差）仍是偶函數（2）奇偶性相同的兩個函數的積（商、分母不為零）為偶函數，奇偶性相反的兩個函數的積（商、分母不為零）為奇函數（3）奇函數