1、3.23.2立體幾何中的向立體幾何中的向量方法量方法-方向向量與法向量方向向量與法向量lAPa 直線的方向向量直線l的向量式方程 換句話說換句話說, ,直線上的非零向量叫做直線的直線上的非零向量叫做直線的 方向向量方向向量APta 一、方向向量與法向量直線的直線的方向方向向量不唯一向量不唯一2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP平面平面 的向量式方程0aAP 換句話說換句話說, ,與平面垂直的非零向量叫做平面與平面垂直的非零向量叫做平面的的法向量法向量注：平面注：平面 的法向量不唯一幾點注意：幾點注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互一個平面的所有法

2、向量都互相平行相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是與平面平行或在平面內，是與平面平行或在平面內，則有則有n m 0n m 鞏固性訓練11.設設 分別是直線分別是直線l1,l2的方向向量的方向向量,根據下根據下 列條件列條件,判斷判斷l1,l2的位置關系的位置關系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行鞏固性訓練21.設設 分別是平面分別是平面,的法向量的法向量,根據根據 下列條件下列條件,判斷判斷,的位置關系的位

3、置關系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交oxyzABCO1A1B1C1例1. 如圖所示, 正方體的棱長為1直線OA的一個方向向量坐標為_平面OABC 的一個法向量坐標為_(1)平面AB1C 的一個法向量坐標為_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)令令x、y、z中某個為定值中某個為定值 練習練習 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側棱正方形，側棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,

4、E是是PC的中點，的中點， 求平面求平面EDB的一個法向量的一個法向量.ABCDP PE E解：如圖所示建立空間直角坐標系解：如圖所示建立空間直角坐標系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依題題意意得得D DB B( (1 1, , 1 1，0 0) )1 1(0, )2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )XYZ設平面設平面EDB的法向量為的法向量為( , ,1)nx y, nnDEDB 則1101, 1, 1220ynxy于是(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 單位法向量。nxyz解：設平面的法向量為

5、（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nAB nACxyzxyz 則，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的單位法向量為， ，） 因為方向向量與法向量可以確定因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的用直線的方向向量方向向量與平面的與平面的法向量法向量表表示空間直線、平面間的示空間直線、平面間的平行、垂直、平行、垂直、夾角、距離夾角、距離等位置關系等位置關系. 用向量方法解決立體問題用向量方法解決立體問題二、立

6、體幾何中的向量方法二、立體幾何中的向量方法平行關系平行關系mlab一一. 平行關系平行關系：ml /) 1 (baba/au aAC axAByAD v u 例例1.用向量方法證明用向量方法證明 定理定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行則這兩個平面平行已知已知 :直線直線l與與m相交相交, ,lm,lm.求證 l,ma, .bv 證明 取的方向向量取 , 的法向量u,lm ,av bv ,b 又a 不共線 所以v是 的一個法向量于是 v 同時是 、 的一個法向量 .abv u 例例2 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面A

7、BCD是正方是正方形形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中點，中點，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求證：求證：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), A AE E = =( (- -3 3, ,3 3, ,3 3) ), ,F FG G = =( (- -2 2, ,2 2, ,2 2) )32 AE =FGAE =FGAE/FG 證證 ：如圖所示：如圖所示, , 建立建立空間直角坐標系空間直角坐標系. ./ A AE EF FG GAEAE與與FGFG不共線不共線幾何法呢？幾何法

8、呢？ 例例3 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點，中點， (1)求證：求證：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EG解法解法1 立體立體幾何法幾何法ABCDP PE EXYZG解法解法2：如圖所示建立空間直角坐標系，點：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設為坐標原點，設DC=1(1)證明：連結證明：連結AC,AC交交BD于點于點G,連結連結EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依題題意意得得G1 1 1 1( ( , , ，0 0) )2 2 2 211(1,0,

9、1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/ABCDP PE EXYZ解法解法3：如圖所示建立空間直角坐標系，點：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設為坐標原點，設DC=1(1)證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B B( (1 1, , 1 1，0 0) )(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )設平面設平面EDB的法向量為的法向量為( , ,1

10、)nx y, nnDEDB 則1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面練練 如圖，已知矩形如圖，已知矩形和矩形和矩形所在平面相交于所在平面相交于ADAD，點，點分別在對角線分別在對角線上，且上，且求證：求證：2133DCDE MNMDDEEN 證明2233DBDEEA 22()()33DADCDEDADE ABCEFDMN MNDCDE 所以、共面/MNCDE故故平平面面MNCDE 但但平平面面幾何法呢？幾何法呢？(1) lm0aba b 二、垂直關系：二、垂直關系：lmab(2) l /auau

11、 lauABC3 （）0uvu v u v 例1 四面體ABCD的六條棱長相等, AB、CD的中點分別是M、N,求證MNAB, MNCD.證1 立體幾何法 例1 四面體ABCD的六條棱長相等, AB、CD的中點分別是M、N,求證MNAB, MNCD.證法2MAADDN 1122ABADDC 11()22ABADACAD 111222ABACAD 111()0222MN ABABACADAB MNAB, 同理 MNCD. 例1 四面體ABCD的六條棱長相等, AB、CD的中點分別是M、N,求證MNAB, MNCD.證法3 如圖所示建立空間直角坐標系，設AB=2.xyZxy(0,0,0)B(0,2

12、,0)D( 3,1,0)C32 6(,1,)33A3 16(,)623M3 3(,0)22N 練習練習 棱長為棱長為a a 的正方體的正方體 中中,E,E、F F分別是棱分別是棱AB,OAAB,OA上的動點，且上的動點，且AF=BE,AF=BE,求證：求證： CBAOOABC OCBAOAB CEFZ11A FO Exy 解：如圖所示建立空間直角坐標系，設AF=BE=b.1( , , )A a a a(0,0)Fab1(0,0, )Oa(, ,0)E ab a1(,)A Faba 1(, ,)O Eab aa 110A F O E 11A FO E 1A FO EABCDPEFXYZ-, ,.

13、 (2) :.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱錐錐中中 底底面面是是正正方方形形底底面面點點是是的的中中點點 作作交交于于點點求求證證平平面面 證法1：如圖所示建立空間直角坐標系，設DC=1.)1,1 ,1(PB021210故DEPB)21,21,0(DEDEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中點，求證：中點，求證：D1F1111DCBAABCD 練習練習 正方體正方體中，中，E、F分別分別平面平面ADE. 證明：設正方體棱長為證明：設正方體棱長為1，

14、 為單位為單位正交正交 基底，建立如圖所示坐標系基底，建立如圖所示坐標系D-xyz，1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 則則， 所以所以1D FADE 平平面面DADE 則則 ， ,E,E是是AA1 1中點，中點，1111DCBAABCD 例例3 3 正方體正方體平面平面C1 1BD. 證明：證明：E求證：求證：平面平面EBD設正方體棱長為設正方體棱長為2, 建立如圖所示坐標系建立如圖所示坐標系平面平面C1BD的一個法向量是的一個法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2, 1)E

15、D 設平面設平面EBD的一個法向量是的一個法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v 平面平面C1 1BD. 平面平面EBD-,:P ABCDABCDPDABCD GPB 練練習習 四四棱棱錐錐中中 底底面面是是正正方方形形底底面面是是上上的的點點求求證證 平平面面GACGAC平平面面PDBPDBABCDPXYZG開放性問題開放性問題 直三棱柱直三棱柱A1B1C1ABC的三視圖如圖所示，的三視圖如圖所示，D、E分別分別為棱為棱CC1和和B1C1的中點的中點. (2)在在AC上是否存在一點上是否存在一點F，使，使EF平面平

16、面A1BD，若存，若存在確定其位置；若不存在，說明理由在確定其位置；若不存在，說明理由.解：解：(1)如圖建立空間直角坐標系如圖建立空間直角坐標系.則則B(0,2,0)，D(0,0,1)，A1(2,0,2)， (2,0，1)， (2,2，2).設平面設平面A1DB的法向量為的法向量為n1(1，x，y)，則則(2)當當F為為AC的中點時，的中點時，EF平面平面A1BD，證明：設證明：設F(x,0,0)，由由E(0,1,2)，得，得 (x，1，2).若若EF平面平面A1BD，則，則 n1.由由n1(1，1，2)得得x1，F為為AC的中點的中點.存在存在F為為AC的中點，使的中點，使EF平面平面A1

17、BD. n1(1，1，2). 考題印證考題印證 (2009福建高考福建高考)(12分分)如圖，四邊形如圖，四邊形ABCD是邊長為是邊長為1的正方形，的正方形，MD平面平面ABCD，NB平面平面ABCD，且，且MDNB1，E為為BC的中點的中點. (1)求異面直線求異面直線NE與與AM所成角的余弦值；所成角的余弦值； (2)在線段在線段AN上是否存在點上是否存在點S，使得，使得ES平面平面AMN？若存在，求線段若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由的長；若不存在，請說明理由. 【解解】(1)如圖，以如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐為坐標原點，建立空間直角坐標系標系Dxyz.依題意，易得依題意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E( ，1,0).(2分分) ( ，0，1)， (1,0,1).(3分分)cos ，(5分分)所以異面直線所以異面直線NE與與AM所成角的余弦值為所成角的余弦值為 .(6分分)(2)假設在線段假設在線段AN上存在點上存在點S，使得，使得ES平面平面AMN. (0,1