1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上概率常見問題以及方法一、基本古典概型問題（1）古典概型公式：.（2）古典概型的本質(zhì)實(shí)際上是排列組合問題，所以上一節(jié)課總結(jié)的排列組合的方法及題型，在此問題中適用.（3）常用正難則反的思路(對(duì)立事件).例1.已知10件產(chǎn)品中有4件一等品，從中任取2件，則至少有1件一等品的概率為（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】任取2件，沒有一等品的概率為，故至少有一件一等品的概率為.【答案】B例2.某公司有9名工程師，張三是其中之一，從中任意抽調(diào)4人組成攻關(guān)小組，包括張三的概率是（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】選張三，再從其余的8個(gè)人中任意選3個(gè)即可，即為；故包括張

2、三的概率為.【答案】D例3.將2個(gè)紅球與1個(gè)白球隨機(jī)地放人甲、乙、丙三個(gè)盒子中，則乙盒中至少有一個(gè)紅球的概率為（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】方法一：可分為兩類：乙盒子中有1個(gè)紅球：先從2個(gè)紅球中選1個(gè)放入乙盒子，另外1個(gè)紅球在甲、丙兩個(gè)盒子中任選一個(gè)，白球在3個(gè)盒子中任意選擇，即；乙盒子中有2個(gè)紅球：先將2個(gè)紅球放入乙盒子，白球可以在3個(gè)盒子中任意選擇，即;所以，概率為.方法二：剔除法.乙盒中沒有紅球，則紅球在甲丙兩個(gè)盒子中任意選擇，白球在3個(gè)盒子中任意選擇，即，所以乙盒中至少有1個(gè)紅球的概率為.二、古典概型之骰子問題（1）骰子問題必用窮舉法.（2）常與解析幾何結(jié)合考查，一般需要

3、轉(zhuǎn)化為不等式求解.例1若以連續(xù)擲兩枚骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)與作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)落入圓內(nèi)(不含圓周）的概率是（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】點(diǎn)落入圓內(nèi)，即，則、，共計(jì)10種，所以，落在圓內(nèi)的概率.【答案】D例2若以連續(xù)兩次擲色子得到的點(diǎn)數(shù)和作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)落在直線和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形內(nèi)的概率為（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】落在三角形內(nèi)部，只需要即可，利用窮舉法可知，點(diǎn)可以為：、共計(jì)10種，總共的不同可能點(diǎn)數(shù)為6636(種).故所求概率為.【答案】E三、古典概型之幾何體涂漆問題將一個(gè)正方體六個(gè)面涂成紅色，然后切成個(gè)小正方體，則（1）3面紅色的小正方體：8個(gè)，位于原正方體角

4、上.（2）2面紅色的小正方體：個(gè)，位于原正方體棱上.（3）1面紅色的小正方體：個(gè)，位于原正方體面上(不在棱上的部分).（4）沒有紅色的小正方體：個(gè)，位于原正方體內(nèi)部.例1將一個(gè)白木質(zhì)的正方體的六個(gè)表面都涂上紅漆，再將它鋸成64個(gè)小正方體.從中任取3個(gè)，其中至少有1個(gè)三面是紅漆的小正方體的概率是（ ）.(A)0.065(B)0.578(C)0.563(D)0.482(E)0.335【解析】3面有紅漆的小正方體位于大正方體的頂點(diǎn)上，有8個(gè)；任取3個(gè)至少1個(gè)三面是紅漆的反面是任取3個(gè)沒有1個(gè)三面是紅漆，故所求概率為.【答案】E例2將一塊各面均涂有紅漆的正立方體鋸成125個(gè)大小相同的小正立方體，從這些

5、小正立方體中隨機(jī)抽取一個(gè)，所取到的小正立方體至少兩面涂有紅漆的概率是（ ）.(A)0.064(B)0.216(C)0.288(D)0.352(E)0.235【解析】小立方體位于大正立方體的角上時(shí)，有3面為紅色，數(shù)量為8個(gè)；小立方體位于大正立方體的棱上時(shí)，有2面為紅色，數(shù)量為36個(gè).故所求概率.【答案】D練習(xí)：將一個(gè)表面漆有紅色的長方體分割成若干個(gè)體積為1立方厘米的小正方體，其中，一點(diǎn)紅色也沒有的小正方體有3塊，那么原來的長方體的表面積為（ ）平方厘米.(A)32(B)64(C)78(D)27(E)18【解析】沒有紅色的小正方體位于原來的長方體的內(nèi)部，這三個(gè)小正方體一定是一字排開的，長寬高分別為

6、1，1，3；所以，原長方體的長寬高應(yīng)為3,3,5.故表面積為23345378(平方厘米).四、數(shù)字之和問題例1袋中有6只紅球、4只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，則得分不大于6分的概率是（）.(A)(B)(C)(D)【解析】得分不大于6,分為三種情況：兩紅兩黑，三黑一紅，四黑；故得分不大于6的概率為.【答案】A例2若從原點(diǎn)出發(fā)的質(zhì)點(diǎn)向軸的正向移動(dòng)一個(gè)和兩個(gè)坐標(biāo)單2甿甩率分別是和，則該質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)3個(gè)坐標(biāo)單位，到達(dá)的概率是（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】，故可分為三類：先移動(dòng)1個(gè)單位，再移動(dòng)2個(gè)單位：；先移動(dòng)2個(gè)單位，再移動(dòng)一個(gè)單位：；三次移動(dòng)1個(gè)

7、單位：.故到達(dá)的概率為.【答案】B五、袋中取球問題袋中取球模型有3類：（1）無放回取球模型.設(shè)口袋中有個(gè)白球，個(gè)黑球，逐一取出若干個(gè)球，看后不再放回袋中，則恰好取了個(gè)白球，個(gè)黑球的概率是；【拓展】抽簽?zāi)Ｐ?設(shè)口袋中有個(gè)白球，個(gè)黑球，逐一取出若干個(gè)球，看后不再放回袋中，則第次取到白球的概率為，與無關(guān).（2）一次取球模型.設(shè)口袋中有個(gè)白球，個(gè)黑球，一次取出若干個(gè)球，則恰好取了個(gè)白球，個(gè)黑球的概率是；可見一次取球模型的概率與無放回取球相同.（3）有放回取球模型.設(shè)口袋中有個(gè)白球，個(gè)黑球，逐一取出若干個(gè)球，看后放回袋中，則恰好取了個(gè)白球，個(gè)黑球的概率是.上述模型可理解為伯努利概型：口袋中有個(gè)白球，個(gè)黑

8、球，從中任取一個(gè)球，將這個(gè)實(shí)驗(yàn)做次，出現(xiàn)了次白球，次黑球.例1袋中有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，求：（1）取得的兩球同色的概率；（2）取得的兩球至少有一個(gè)是白球的概率.【解析】從8個(gè)球中任取2個(gè)球的取法為，所以（1）任取兩球同色的取法為,所以，取兩球同色的概率為.（2）任取兩球全是黑球的概率，所以，任取兩球至少有一白球的概率為.例2小袋中有10個(gè)小球，其中有7個(gè)黑球，3個(gè)紅球，從中任取2個(gè)小球，至少有一個(gè)是紅球的概率為（）.【解析】方法一：恰好有1個(gè)紅球的概率為；恰好有2個(gè)紅球的概率為；所以至少有一個(gè)紅球的概率是.方法二：剔除法.從10個(gè)小球中任取2個(gè)，全為黑球的概率為,事件是“從10

9、個(gè)球中任取2球，至少一個(gè)是紅球”的對(duì)立事件，所以至少有一個(gè)紅球的概率.【答案】D例3在一個(gè)不透明的布袋中裝有2個(gè)白球、個(gè)黃球和若干個(gè)黑球，它們只有顏色不同.則.（1）從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到白球的概率是0.2；（2）從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到黃球的概率是0.3.【解析】單獨(dú)顯然不充分，聯(lián)立兩個(gè)條件：由條件（1）：摸到白球的概率，得，可知一共有10個(gè)球；由條件（2）：，得，可知黃球?yàn)?個(gè)；故聯(lián)立起來充分.【答案】C練習(xí)：某裝置的啟動(dòng)密碼是由0到9中的3個(gè)不同數(shù)字組成，連續(xù)3次輸入錯(cuò)誤密碼，就會(huì)導(dǎo)致該裝置永久關(guān)閉，一個(gè)僅記得密碼是由3個(gè)不同數(shù)字組成的人能夠啟動(dòng)此裝置的概率為（）.(A)(B)

10、(C)(D)(E)【解析】分為三類：第一類：嘗試一次即成功的概率為；第二類：第一次嘗試不成功，第二次嘗試成功的概率為；第三類：第一、二次嘗試不成功，第三次嘗試成功的概率為由加法原理，能啟動(dòng)裝置的概率為.【快速得分法】抽簽原理的應(yīng)用(不放回的取球).本題相當(dāng)于有720個(gè)簽，抽3個(gè)抽中正確密碼即可，故概率為.【答案】C六、獨(dú)立事件的概率獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：.例1檔案館在一個(gè)庫房中安裝了個(gè)煙火感應(yīng)報(bào)警器，每個(gè)報(bào)警器遇到煙火成功報(bào)警的概率為.該庫房遇煙火發(fā)出報(bào)警的概率達(dá)到0.999.（1），；（2），.【解析】條件（1）:均未報(bào)警的概率為，故報(bào)警概率為,條件（1）充分.條件（2）:均未報(bào)警的概

11、率為，故報(bào)警概率為，故條件（2）充分.【答案】D例2圖7-9是一個(gè)簡單的電路圖，,表示開關(guān)，隨機(jī)閉合,中的兩個(gè)，燈泡發(fā)光的概率是（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】閉合兩個(gè)開關(guān)，燈泡發(fā)光的情況為：或，共2種情況；閉合兩個(gè)開關(guān)的所有可能情況為：或或，共3種情況.故概率為.【答案】E例3在10道備選試題中，甲能答對(duì)8題，乙能答對(duì)6題.若某次考試從這10道備選題中隨機(jī)抽出3道作為考題，至少答對(duì)2題才算合格，則甲、乙兩人考試都合格的概率是（）.(A)(B)(C)(D)(E)【解析】甲考試合格的概率是；乙考試合格的概率是甲、乙兩人相互獨(dú)立，所以他們考試都合格的概率為.【答案】A七、闖關(guān)問題（1）闖關(guān)問題一般符合獨(dú)立事件的概率公式：；（2）闖關(guān)問題一般前幾關(guān)滿足題干要求后，后面的關(guān)就不用闖了，因此未必是每關(guān)都試一下成功不成功.所以要根據(jù)題意進(jìn)行合理分類.例1在一次競猜活動(dòng)中，設(shè)有5關(guān)，如果連續(xù)通過2關(guān)就算闖關(guān)成功，小王通過每關(guān)的概率都是，他闖關(guān)成功的概率為（）.乙獲勝：首次正面出現(xiàn)在第2，5，8，次，概率為.丙獲勝概率為.【答案】D八、伯努利概型（1）伯努利概型公式：.（2）獨(dú)立地做一系列的伯努利試驗(yàn)，直到第次試驗(yàn)時(shí)，事件才首次發(fā)生的概率為.例1某乒乓球男子單打決賽在甲乙兩選手間進(jìn)行比賽用7局4勝制.已知每局比賽甲選手戰(zhàn)勝乙選手的概率為0.7，則甲選手以戰(zhàn)勝乙的概率