1、習題一1-1.質點運動學方程為：其中a，b，均為正常數，求質點速度和加速度與時間的關系式。分析：由速度、加速度的定義，將運動方程對時間t求一階導數和二階導數，可得到速度和加速度的表達式。解：1-2. 一艘正在沿直線行駛的電艇，在發動機關閉后，其加速度方向與速度方向相反，大小與速度平方成正比，即， 式中K為常量試證明電艇在關閉發動機后又行駛x距離時的速度為 。 其中是發動機關閉時的速度。分析：要求可通過積分變量替換，積分即可求得。證： , 1-3一質點在xOy平面內運動，運動函數為。（1）求質點的軌道方程并畫出軌道曲線；（2）求時質點的位置、速度和加速度。分析：將運動方程x和y的兩個分量式消去參

2、數t，便可得到質點的軌道方程。寫出質點的運動學方程表達式。對運動學方程求一階導、二階導得和，把時間代入可得某時刻質點的位置、速度、加速度。解：（1）由得：代入 可得：，即軌道曲線。畫圖略（2）質點的位置可表示為： 由則速度： 由則加速度：則：當t=1s時，有當t=2s時，有1-4一質點的運動學方程為，x和y均以m為單位，t以s為單位。（1）求質點的軌跡方程；（2）在時質點的速度和加速度。分析同1-3.解：（1）由題意可知：x0，y0，由，可得,代入 整理得：，即軌跡方程 （2）質點的運動方程可表示為： 則： 因此, 當時，有1-5一質點沿半徑為R的圓周運動，運動學方程為，其中v0，b都是常量。

3、（1）求t時刻質點的加速度大小及方向；（2）在何時加速度大小等于b； （3）到加速度大小等于b時質點沿圓周運行的圈數。分析：由質點在自然坐標系下的運動學方程，求導可求出質點的運動速率，因而，當時，可求出t，代入運動學方程，可求得時質點運動的路程，即為質點運動的圈數。解：（1）速率：，且 加速度： 則大小： 方向： （2）當a=b時，由可得：（3）當a=b時，代入可得： 則運行的圈數 1-6一枚從地面發射的火箭以的加速度豎直上升0.5min后，燃料用完，于是像一個自由質點一樣運動，略去空氣阻力，試求（1）火箭達到的最大高度；（2）它從離開地面到再回到地面所經過的總時間。分析：分段求解：時，求出、

4、；t30s時，。求出、。當時，求出、，根據題意取舍。再根據，求出總時間。解：（1）以地面為坐標原點，豎直向上為x軸正方向建立一維坐標系，且在坐標原點時，t=0s，且0.5min=30s則：當0t30s，由, 得， 時， 由，得，則：當火箭未落地, 且t30s,又有：， 則： 且：，則：當，即時，由得，（2）由（1）式，可知，當時，t16(s)30(s)（舍去）1-7. 物體以初速度被拋出，拋射仰角60°，略去空氣阻力，問（1）物體開始運動后的1.5s末，運動方向與水平方向的夾角是多少？ 2.5s末的夾角又是多少？（2）物體拋出后經過多少時間，運動方向才與水平成45°角？這時

5、物體的高度是多少?（3）在物體軌跡最高點處的曲率半徑有多大？（4）在物體落地點處，軌跡的曲率半徑有多大？分析：（1）建立坐標系，寫出初速度，求出、，代入t求解。（2）由（1）中的關系，求出時間t；再根據方向的運動特征寫出，代入t求。（3）物體軌跡最高點處，且加速度，求出。（4）由對稱性，落地點與拋射點的曲率相同 ，求出。解：以水平向右為x軸正向，豎直向上為y軸正向建立二維坐標系（1）初速度， 且加速度 則任一時刻：與水平方向夾角有當t=1.5(s)時，當t=2.5(s)時，（2）此時, 由得t=0.75(s)高度（3）在最高處， 則：（4）由對稱性，落地點的曲率與拋射點的曲率相同。由圖1-7可

6、知：1-8應以多大的水平速度v把一物體從高h處拋出， 才能使它在水平方向的射程為h的n倍？分析：若水平射程，由消去，即得。解：設從拋出到落地需要時間t 則，從水平方向考慮，即從豎直方向考慮消去t，則有： 1-9汽車在半徑為400m的圓弧彎道上減速行駛，設在某一時刻，汽車的速率為，切向加速度的大小為。求汽車的法向加速度和總加速度的大小和方向。分析：由某一位置的、求出法向加速度，再根據已知切向加速度求出的大小和方向。解：法向加速度的大小 方向指向圓心總加速度的大小如圖1-9，則總加速度與速度夾角1-10. 質點在重力場中作斜上拋運動，初速度的大小為，與水平方向成角求質點到達拋出點的同一高度時的切向

7、加速度，法向加速度以及該時刻質點所在處軌跡的曲率半徑（忽略空氣阻力）已知法向加速度與軌跡曲率半徑之間的關系為。分析：運動過程中，質點的總加速度。由于無阻力作用，所以回落到拋出點高度時質點的速度大小，其方向與水平線夾角也是。可求出，如圖1-10。再根據關系求解。解：切向加速度 法向加速度 因 1-11火車從A地由靜止開始沿著平直軌道駛向B地，A，B兩地相距為S。火車先以加速度a1作勻加速運動，當速度達到v后再勻速行駛一段時間，然后剎車，并以加速度大小為a2作勻減速行駛，使之剛好停在B地。求火車行駛的時間。分析：做v-t圖，直線斜率為加速度，直線包圍面積為路程。解：由題意，做v-t圖（圖1-11）

8、則梯形面積為S，下底為經過的時間t，則：則：1-12. 一小球從離地面高為H的A點處自由下落，當它下落了距離h時，與一個斜面發生碰撞，并以原速率水平彈出，問h為多大時，小球彈的最遠？分析：先求出小球落到A點的小球速度，再由A點下落的距離求出下落時間，根據此時間寫出小球彈射距離,最后由極植條件求出h。解：如圖1-12，當小球到達A點時，有 則速度大小：, 設從A點落地的時間為t，則有， 則小球彈射的距離， 則當時，有最大值。 1-13離水面高為h的岸上有人用繩索拉船靠岸，人以恒定速率v0拉繩子，求當船離岸的距離為s時，船的速度和加速度的大小。分析：收繩子速度和船速是兩個不同的概念。小船速度的方向

9、為水平方向，由沿繩的分量與垂直繩的分量合成，沿繩方向的收繩的速率恒為。可以由求出船速和垂直繩的分量。再根據關系，以及與關系求解。解：如圖1-13， 船速 當船離岸的距離為s時，則， 即：1-14. A船以的速度向東航行，B船以的速度向正北航行，求A船上的人觀察到的B船的速度和航向。分析：關于相對運動，必須明確研究對象和參考系。同時要明確速度是相對哪個參照系而言。畫出速度矢量關系圖求解。解：如圖1-14，B船相對于A船的速度則速度大小：方向：，既西偏北1-15. 一個人騎車以的速率自東向西行進時，看見雨滴垂直落下，當他的速率增加至時，看見雨滴與他前進的方向成120°角下落，求雨滴對地的

10、速度。分析：相對運動問題，雨對地的速度不變，畫速度矢量圖由幾何關系求解。解：如圖1-15，為雨對地的速度， 分別為第一次，第二次人對地的速度，分別為第一次，第二次雨對人的速度由三角形全等的知識，可知：三角形ABC為正三角形，則：，方向豎直向下偏西。1-16如題圖116所示，一汽車在雨中以速率沿直線行駛，下落雨滴的速度方向偏于豎直方向向車后方角，速率為，若車后有一長方形物體，問車速為多大時，此物體剛好不會被雨水淋濕？分析：相對運動問題，畫矢量關系圖，由幾何關系可解。解：如圖1-16（a），車中物體與車蓬之間的夾角 若，無論車速多大，物體均不會被雨水淋濕若，則圖1-16（b）則有=又則：1-17，漁人在河中乘舟逆流航行，經過某橋下時，一只水桶落入水中，0.5h后他才發覺，即回頭追趕，在橋下游5.0km處趕上，設漁人順流及逆流相對水劃行速率不變，求水流速率。分析：設靜水中船、水的速率分別為，從桶落水開始記時，且船追上桶時為t時刻。取水速的反方向為正方向，則順水時，船的速率為，逆水時船的速率為,做-t圖，見圖1-17解： 即：則：又：則：水流速率1-18一升降機以2g的加速度從靜止開始上升，在2.0s末時有一小釘從頂板下落，若升降機頂板到底板的距離h=2.0m，求釘子從頂板落到底板的