1、.適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級高二適用區(qū)域蘇教版區(qū)域課時時長(分鐘)2課時知識點直線與橢圓的位置關(guān)系。常見的幾類問題（交點個數(shù)問題、弦長問題、 中點弦問題）教學(xué)目標(biāo)1掌握直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷方法2掌握有關(guān)橢圓弦長問題的求解方法教學(xué)重點直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷和弦長的求解教學(xué)難點數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用【教學(xué)建議】本節(jié)課采用創(chuàng)設(shè)問題情景學(xué)生自主探究師生共同辨析研討歸納總結(jié)組成的“四環(huán)節(jié)”探究式學(xué)習(xí)方式，并在教學(xué)過程中根據(jù)實際情況及時地調(diào)整教學(xué)方案，通過創(chuàng)設(shè)問題情景、學(xué)生自主探究、展示學(xué)生的研究過程來激勵學(xué)生的探索勇氣【知識導(dǎo)圖】教學(xué)過程一、導(dǎo)入【教學(xué)建議】直線與圓有哪些位置關(guān)系？怎么判斷的？想

2、一想：直線與橢圓有哪些位置關(guān)系，能用直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法來判斷嗎？如果不能，你有哪些方法？二、知識講解考點1 直線與橢圓的位置關(guān)系考點1 單調(diào)函數(shù)的定義胞【問題導(dǎo)思】直線與橢圓的位置關(guān)系如何判斷？【提示】判斷直線l與橢圓C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程AxByC0(A，B不同時為0)代入橢圓C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程，即消去y，得ax2bxc0設(shè)一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則0直線與橢圓C相交；0直線與橢圓C相切；0，所以m，所以當(dāng)m0例題1類型二 求中點弦所在的直線方程已知(4，2)是直線l被橢圓1所截得的線段的

3、中點，則l的方程是_【自主解答】方法一：設(shè)直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，且1，兩式相減，得又x1x28，y1y24，所以，故直線l的方程為y2(x4)，即x2y80方法二：設(shè)直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)直線方程為，即聯(lián)立方程，得，即又x1x28，所以，解得故直線l的方程為y2(x4)，即x2y80【總結(jié)與反思】處理中點弦問題常用的求解方法1點差法：即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1x2，y1y2，三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率2根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線

4、的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解注意：中點弦問題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數(shù)的關(guān)系在解題過程中易產(chǎn)生漏解，需關(guān)注直線的斜率問題；點差法在確定范圍方面略顯不足例題1類型三 直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用設(shè)A1，A2與B分別是橢圓E：1(ab0)的左、右頂點與上頂點，直線A2B與圓C：x2y21相切(1)求證：1；(2)直線l與橢圓E交于M，N兩點，且0，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說明理由【解】(1)已知橢圓E：1(ab0)，A1，A2與B分別是橢圓E的左、右頂點與上頂點，所以A1(a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，直線A2B的方程是1因為直線A2B與圓C：x

5、2y21相切，所以1，即1(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：ykxm將ykxm代入1，得1，化簡，得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20(0)所以x1x2，x1x2，故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2kmm2因為0，所以x1x2y1y20把x1x2，y1y2代入上式，得(a2b2)m2a2b2(1k2)0結(jié)合1，得m21k2圓心到直線l的距離為d1，所以直線l與圓C相切若直線l的斜率不存在，設(shè)直線l：xn把直線l代入1，得y ，所以|n|，所以a2n2b2(a2n2)，解得n1，所以直線l與圓C相切綜上所述，直

6、線l與圓C相切【總結(jié)與反思】研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù)對于填空題，充分利用幾何條件，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解例題2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點A(2，1)的橢圓C：的左焦點為F，短軸端點為B1、B2，(1)求a、b的值；(2)過點A的直線l與橢圓C的另一交點為Q，與y軸的交點為R，過原點O且平行于l的直線與橢圓的一個交點為P若AQAR3OP2，求直線l的方程【解】(1)因為，所以，因為，所以c2b22b2因為橢圓C過A(2，1)，代入得1由解得a28，b22所以a2，b(2)由題意，設(shè)直線l的方程為y1k(x2)由得(x2)(4k21)(x

7、2)(8k4)0因為x20，所以x2，即xQ2由題意，直線OP的方程為ykx由得(14k2)x28，則x因為AQAR3OP2，所以|xQ(2)|0(2)|3x即23，解得k1，或k2當(dāng)k1時，直線l的方程為xy10，當(dāng)k2時，直線l的方程為2xy50【總結(jié)與反思】涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解四 、課堂運用【基礎(chǔ)】1直線ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系是_2已知橢圓C：1(ab0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點，過F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C

8、的方程為_答案與解析1【解析】由于直線ykxk1k(x1)1過定點(1，1)，而(1，1)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交【答案】相交2【解析】由題意，得解得所以橢圓C的方程為1 【答案】1【鞏固】1橢圓y21的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是_2焦點分別為(0，5)和(0，5)的橢圓截直線y3x2所得橢圓的弦的中點的橫坐標(biāo)為，求此橢圓方程答案與解析1【解析】設(shè)弦的兩個端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，y1y21因為A，B在橢圓上，所以y1，y1(y1y2)(y1y2)0，即，即直線AB的斜率為所以直線AB的方程為y，即2x4y30【答案】2x4y302【解】設(shè)1(ab0

9、)，且a2b2(5)250由，得(a29b2)x212b2x4b2a2b20，因為，所以，所以a23b2，此時0，由，得a275，b225，所以1【提高】1設(shè)橢圓C：1(ab0)的右焦點為F，過點F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60，2(1)求橢圓C的離心率；(2)如果AB，求橢圓C的方程答案與解析1【解】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10)，(1)直線l的方程為y(xc)，其中c聯(lián)立消去x，得(3a2b2)y22b2cy3b40，解得y1，y2，因為2，所以y12y2，即2，解得離心率e(2)因為AB|y2y1|，所以由得ba所以a，得a3，b所以橢圓C的方程為

10、1五、課堂小結(jié)直線與橢圓位置關(guān)系的判斷、有關(guān)橢圓弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點，特別是焦點弦和中點弦等問題，涉及中點公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學(xué)思想方法的熱點題型六、課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1若橢圓的弦被點(4，2)平分，則此弦所在直線的斜率為_2過點M(2，0)的直線m與橢圓y21交于P1、P2兩點，線段P1P2的中點為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k10)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為_3斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點，則的最大值為_4橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別為F1(，0)和 F2(，0)，且橢圓過點

11、(1)求橢圓的方程；(2)過點作不與y軸垂直的直線l交橢圓于M，N兩點，A為橢圓的左頂點，試判斷MAN的大小是否為定值，并說明理由答案與解析1 2 34(1)由題意，即可得到y(tǒng)21(2)設(shè)直線MN的方程為xky，聯(lián)立直線MN和曲線C的方程可得得(k24)y2ky0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2，0)，y1y2，y1y2，則(x12，y1)(x22，y2)(k21)y1y2k(y1y2)0，即可得MAN【鞏固】1已知橢圓4x2y21及直線yxm(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程2已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，

12、且橢圓經(jīng)過點M(4，1)，直線交橢圓于不同的兩點A，B(1)求該橢圓的方程；(2)求實數(shù)m的取值范圍3橢圓ax2by21與直線xy10相交于A，B兩點，C是AB的中點，若AB2，OC的斜率為，求橢圓的方程答案與解析1【解】(1)由得5x22mxm210因為直線與橢圓有公共點，所以4m220(m21)0，解得m故m的取值范圍為(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，由(1)知，5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)設(shè)弦長為d，且y1y2(x1m)(x2m)x1x2，所以d所以當(dāng)m0時，d最大，此時直線方程為yx2(1)由題意可設(shè)橢圓的方程為因為，所以又因為橢圓過

13、點M(4，1)，所以，由解得，故橢圓的方程為(2)將代入，整理，得，由題意知，解得，所以實數(shù)的取值范圍為3【解】解法一：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0而1，kOC，代入上式可得ba由方程組得(ab)x22bxb10，所以 x1x2，x1x2再由AB |x2x1|x2x1|2，得44，將ba代入得a，所以 b所以所求橢圓的方程是1解法二：由得(ab)x22bxb10設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則AB因為AB2，所以1設(shè)C(x，y)，則x，y1x，因為OC的斜率為，所以 代入，得a，b所以 橢圓方程為1【提高】1已知橢圓C：的一個焦點為，離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動點P(x0，y0)為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切