1、精品文檔北京理工大學珠海學院20102011學年第二學期高等數(shù)學（A）2期末試卷A （答案） 適用年級專業(yè)：2010級信息、計算機、機械與車、化工與材料學院 各專業(yè)選擇填空題（每小題 3分，共18分）i分析：a b = 231 .設向量 a = (2,0,-2) ,b = (3,-4,0),則 a b = jk02 = -6j - 8k - 8i =(-8,-6,-8)40、r222 .設 u = x xy2_2_, u _2 _分析:2x y ,貝U = (2x y ) = 2yx y精品文檔3 .橢球面 x2 2y2 3z2 15在點1,-1,2）處的切平面方程為 222分析：由方程可得,

2、F(x, y,z) x 2y 3z 15 ,則可知法向重 n =( Fx, Fy, Fz);則有 Fx = 2x , Fy = 4y , Fz = 6z ,則過點(1,-1,2)處的法向量為n = (2,-4,12)因此，其切平面方程為：2（x 1） 4（y 1）12(z 2) 0，即 x 2y 6z 15 0則(y 2)dD4 .設D: y = x, y = - x, x = 2直線所圍平面區(qū)域分析：畫出平面區(qū)域 D （圖自畫），觀圖可得,(y 2)dDxdx x(y 2)dy 85 .設L:點（0,0 ）到點（1 ,1）的直線段.則L x2ds 分析：依題意可知：L是直線y = x上點（0

3、,0 ）與點（1 ,1）的一段弧，則有x2dsx2、. 1 x'2dxL0x2 2dx06 .D提示：級數(shù) un發(fā)散，則稱級數(shù)un條件收斂n 1n 12 .解答下列各題（每小題 6分，共36分）21.設 z x y ln(x y) tan2 ,求 dz分析:由dzdxx-zdy可知，需求-z及2xy則有dzdxxdyy(2xy1 )dx x y(x21 )dy y2.設uf (4xy,2 x 3y),其中f 一階偏導連續(xù),分析：設 v = 4xy , t = 2x -3y ,則u yf 4xf ( 3)(4x 3)f23.設 z z(x, y)由 x2z xyz100確定求 y分析：由

4、x2 y2xyz 100 得,F (x, y, z)x2xyz100則有由Fx 2x(yzxyzx) , Fy 2y (xz xyzy)Fz2zxy則二旦y Fz2y(xz xyzy)(xz xyzy) 2y2z xy2z xy4.求函數(shù)f (x, y)x3 y3 3x2 3y2 9x 的極值提示：詳細答案參考高數(shù)2課本第111頁例42 x5.求二重積分eDD:分析：依題意，得x則有， eDy26.求三重積分xyz2dV(e9e):平面 x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1所圍區(qū)域0x3c321c分析：依題意，得 0 y 2 則有 xyz dV &#

5、176; dx ° dy ° xyz dz 30 z 13 .解答下列各題（每題 6分，共24分） 1.求 ydx xdy , L：圓周x2 y2 9,逆時針L.一 QP分析：令 P=y , Q= - x，貝U-Q1 , 1xyQ P、由格林公式得 ydx xdy ()dxdy( 2)dxdyLD x yDx r cos作逆時針方向的曲線 l： y rsin , 02-Q P2則 ydx xdy( )dxdy ( 2)dxdy 2dLD x yD0xdS2.設 ：平面x 3y z 1位于第一卦限部分.試求曲面積分分析：由 ：平面x 3y z 1可得z 1 x 3y則 zx

6、-1, zy = -3xy則有 xdS x 1 (zx)2 (zy)2dxdy11 xdxdyDxyDxy即由x 0, y 0及x 3y 1所圍成的閉區(qū)-1118由于Dxy是在xOy面的第一卦限的投影區(qū)域，域.因此 ，一 13xdS . 11 xdxdy .11 dx 3 xdy00Dxy-22 . .3.設 是z x y位于平面z 4,z 9之間部分且取下側，求 zdxdy分析：依題意，可得 02,由于4 z 9是取下側，則有4.設zdxdy92zzdz d d40063054是錐面zx2y2與平面z1所圍立體區(qū)域整個邊界曲面的外側。試求23xdydz 2yzdzdx z dxdy.分析：依

7、題意，可令 P 3x,Q2yz,R z2,則有P 3二x y2乙工 z2z所以,2 , 3xdydz 2 yzdzdx z dxdyR)dv z3dv是錐面z x2 y2與平面 z1所圍立體區(qū)域整個邊界曲面的外側，則有02,則有 3xdydz 2yzdzdx z2dxdy0 z 13dv12z3dz d d000四.解答下列各題(第 1,2題每題6分，第3,4題每題5分，共22分)1.判斷正項級數(shù)3 (n 1)的斂散性。n 1 n!分析：設an3n(n 1)，則 an 13n1(n 2)(n 1)!3n 1(n 2)則有，lim an-1 lim (-1) lim 0 1 ,x an x 3n

8、(n 1) x n 1n!3n(1)所以，正項級數(shù)3 (n 1)是收斂的1 n!2.試將函數(shù)f (x)(1)展開成x的哥級數(shù)(2)展開成x -1的哥級數(shù).分析：(1)展開成x的哥級數(shù)為：f (x)1)nxn,( 1 x 1)(2)f(x)(x 1) 21( 1)n(?)n,( 1f(x>2n1(1n(x21)112+1(1n(x 1n=,(13)nx3.求哥級數(shù)一的收斂域及和函數(shù)n 1 n分析：因為limxan 1anlimxn 1nx(n 1)xn當x 1時級數(shù)收斂；當 x1時級數(shù)發(fā)散.所以收斂半徑R=1.則收斂區(qū)間為x 1,即1, 1當x = 1時，級數(shù)成為1n 1 n,這級數(shù)發(fā)散;當x = - 1時，級數(shù)成為(1)nn 1 n這級數(shù)收斂.所以，原級數(shù)的收斂域為-1, 1 ).設和函數(shù)為S(x),即 S(x)nx一,x n 1 n1,1).S(x)'昌'1 nxn 10xn e,(x1)則 S(x)ln(1 x), x1,1)2 214.設 f(x)連續(xù)， ：x y u,0 z .22(I)試用柱面坐標化簡三重積分f (x y ) 10v.22、若 f (u) f (x y ) 1dv,試求 f (u).0