1、第二章第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人微積分學(xué)的創(chuàng)始人: 德國(guó)數(shù)學(xué)家德國(guó)數(shù)學(xué)家 Leibniz 微分學(xué)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢描述函數(shù)變化快慢微分微分描述函數(shù)變化程度描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具 (從微觀上研究函數(shù)從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究在研究極值問題中提出極值問題中提出.英國(guó)數(shù)學(xué)家英國(guó)數(shù)學(xué)家 Newton一、引例一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的

2、概念導(dǎo)數(shù)的概念 1. 1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿直線作非勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿直線作非勻速運(yùn)動(dòng),其走過的路程其走過的路程S 與時(shí)間與時(shí)間 t 的函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為關(guān)系式為: S=S (t ) .求某一時(shí)刻求某一時(shí)刻 t0 的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度 .一、引例一、引例0ttS vttSttS )()(00)(tSS so)(0tS)(0ttStt0解解: 設(shè)從時(shí)刻設(shè)從時(shí)刻 t0 到到 t0+t這段時(shí)這段時(shí)間質(zhì)點(diǎn)走過的路程間質(zhì)點(diǎn)走過的路程 S = S (t0+t ) - S (t0) 從從 t0 到到 t0+t 這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi) , 平均速度平均速度對(duì)非勻速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)來(lái)說對(duì)非勻速

3、運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)來(lái)說 , 平均速度平均速度可作為可作為 t0 這時(shí)刻的這時(shí)刻的瞬時(shí)速度的近似值瞬時(shí)速度的近似值 , (t很小時(shí)很小時(shí))vvtt 0(t越小越小) ,0越接近越接近與與vvtt (當(dāng)當(dāng)t 0時(shí)時(shí)) ,v極限存在極限存在, 我們就有我們就有vvttt0lim0 即即vvttt0lim0 ttSttSt )()(lim0002.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位

4、置2.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置 T0 xxxoxy)(xfy CNM 假設(shè)假設(shè) N M 時(shí)時(shí), 割線割線 MN 的極限位置的極限位置 MT , 稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)M處的切線處的切線.的的斜斜率率為為割割線線MNxy tan,)()(00 xxfxxf , 0, xMNC沿沿曲曲線線的的斜斜率率為為切切線線MT.)()(limtan000 xxfxxfkx ),(,(00 xfxM設(shè)設(shè)).(,(00 xxfxxN 兩個(gè)問題的共性兩個(gè)問題的共性:so0t)(0tS)(tSt瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度 lim0ttv)()(0tStS 0tt 切線斜率切線斜率xy

5、o)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有類似問題還有:加速度加速度角速度角速度線密度線密度電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題變化率問題二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義定義定義1 . 1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x0limxxxf

6、xxf )()(00 xyx 0lim存在存在, ,)(xf并稱此極限為并稱此極限為)(xfy 記作記作: :;0 xxy ;)(0 xf ;dd0 xxxy 0d)(dxxxxf 即即0 xxy )(0 xf xyx 0limxxfxxfx )()(lim000hxfhxfh)()(lim000 則稱函數(shù)則稱函數(shù)假設(shè)假設(shè)的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo), , 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 導(dǎo)數(shù)定義的另外一種形式導(dǎo)數(shù)定義的另外一種形式,0 xxx )(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx 若記若記)(0 xf xxfxxfx )()(lim0

7、00,0 xxx 當(dāng)當(dāng)x0 x0 時(shí)時(shí), , x x 0 0lim xxxfxxf )()(00 xyx 0lim若上述極限不存在若上述極限不存在 ,在點(diǎn)在點(diǎn) 不可導(dǎo)不可導(dǎo). 0 x假假設(shè)設(shè),lim0 xyx也稱也稱)(xf在在0 x若函數(shù)在開區(qū)間若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo)內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù)此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作記作:;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf就說函數(shù)就說函數(shù)就稱函數(shù)在就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). 的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大 .注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0例例1. 常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)Cxf )(解解

8、:yCC 0即即0)( C)()(xfxxf 求初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式求初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式xxyxfx 00lim)( xyxfx 0lim)( 00lim0 xx步驟步驟: :);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限解解:y )()(xfxxf 例例2. 冪函數(shù)冪函數(shù))N()( nxxfnnnxxx )(nnnxxxnnxnx)()(! 2)1(221 xyxfx 0lim)( xxxxnnxnxnnnx )()(! 2)1(lim22101nnx 說明：對(duì)一般冪函數(shù)對(duì)一般冪函數(shù) xy ( 為常數(shù)為常數(shù)) 1

9、)( xx例如，例如，)( x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）（以后將證明）xxxysin)sin( 例例3. 三角函數(shù)三角函數(shù)xxfsin)( 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解解:xxxxx )2cos()2sin(2lim0即即xxcos)(sin 類似可證得類似可證得xxsin)(cos xcosxyxfx 0lim)( )2cos()2sin(2xxx 例例4.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(l

10、oglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例5. 設(shè)設(shè))(0 xf 存在存在, 求極限求極限.2)()(lim000hhxfhxfh 解解: 原式原式 0lim hhhxf2)(0 )(0 xfhhxf2)( 0 )(0 xf)()(lim21000hxfhxfh )()(lim21000hxfhxfh )(210 xf )(210 xf )(0 xf 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義,.1作作變變速速運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)物物體體 G, )(tss 已已知知運(yùn)運(yùn)行行的的路路程程為為, )(0tv瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度000)()(lim)(0tttststv

11、tt . )(0ts:0得得為為換換tt. )()(tstv . )()()(tvts速率速率的導(dǎo)數(shù)為瞬時(shí)速度的導(dǎo)數(shù)為瞬時(shí)速度即路程函數(shù)即路程函數(shù), )(G.2tvv 的的速速度度物物體體中速度中速度在時(shí)段在時(shí)段則則,G0tt, )()(0tvtv 增量為增量為上上在在時(shí)時(shí)段段為為比比值值,G)()(000tttttvtv ,速度的平均增加率速度的平均增加率, )(,000tattt時(shí)時(shí)刻刻的的加加速速度度則則得得讓讓 0000tttvtvtatt)()(lim)(. )(0tv:0得得為為換換tt. )()(tvta. )()(tatv的導(dǎo)數(shù)為加速度的導(dǎo)數(shù)為加速度即速度即速度,.3非均勻的金

12、屬絲非均勻的金屬絲ox0 x,xxo段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為, )(xmmxo 段段的的質(zhì)質(zhì)量量,)()(00段的質(zhì)量段的質(zhì)量為為則則xxxmxm .)()(000段段上上的的平平均均密密度度為為xxxxxmxm )(單單位位長(zhǎng)長(zhǎng)度度上上的的質(zhì)質(zhì)量量, )(,000 xxxx 點(diǎn)的質(zhì)量密度點(diǎn)的質(zhì)量密度得到得到讓讓0000 xxxmxmxxx)()(lim)( . )(0 xm. )()(xmx 或或. )()()(xmxxmx 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)長(zhǎng)度對(duì)長(zhǎng)度是質(zhì)量是質(zhì)量即線密度即線密度 幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的切線斜率為的切線斜率為)(tan0

13、xf 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)處的處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy 法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy )0)(0 xf,)(0時(shí) xf,)(0時(shí) xf注意注意: 假設(shè)假設(shè)切線方程切線方程: x = x 0 表示切線垂直于表示切線垂直于x 軸軸,法線方程法線方程: y = y 0 例例6. 問曲線問曲線3xy 哪一點(diǎn)有垂直切線哪一點(diǎn)有垂直切線 ? 哪一點(diǎn)處哪一點(diǎn)處的切線與直線的切線與直線131xy平行平行 ? 寫出其切線方程寫出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令令,3113132x得得,1x對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng),1y則在點(diǎn)則在點(diǎn)(1,1

14、) , (1,1) 處與直線處與直線131xy平行的切線方程分別為平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即即023 yx故在原點(diǎn)故在原點(diǎn) (0 , 0) 有垂直切線有垂直切線1111處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)xxf)(四、四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理定理1.處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)xxf)(證證: 設(shè)設(shè))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處可導(dǎo)處可導(dǎo),)(lim0 xfxyx存在存在 , 因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函數(shù)所以函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) x 連續(xù)連續(xù) .即即可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)可導(dǎo)可導(dǎo)證證:.

15、0不可導(dǎo)不可導(dǎo)在在即即 xx注意注意: 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo).例例7:xy 在在 x = 0 處連續(xù)處連續(xù) , 但不可導(dǎo)但不可導(dǎo).xyoxy 2xxy為初等函數(shù)為初等函數(shù) , 所以在所以在R上連續(xù)上連續(xù),xfxfxy)0()0(xx0 x,10 x,1xyx0lim不存在不存在 , 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某個(gè)右的某個(gè)右 鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)五、五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù))(xfy 若極限若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為則稱此極限值為)(xf在在 處的右處的右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),0 x記作記作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左

16、)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在在 x = 0 處有處有,1)0(f1)0(fxyoxy 定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)有定義有定義,存在存在,定理定理2. 函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為在點(diǎn)在點(diǎn)處右處右 導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)存在0 x定理定理3. 函數(shù)函數(shù))(xf)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x必必 右右 連續(xù)連續(xù).(左左)(左左)若函數(shù)若函數(shù))(xf)(af)(bf與與都存在都存在 , 則稱則稱)(xf顯然顯然:)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , b 上可

17、導(dǎo)上可導(dǎo),)(baCxf在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),),(ba在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上可導(dǎo)上可導(dǎo).,ba可導(dǎo)的充分必要條件可導(dǎo)的充分必要條件是是且且內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4. 可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo)但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 已學(xué)求導(dǎo)公式已學(xué)求導(dǎo)公式 :6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù), 一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.axf)(02. axfxf)()(00增量比的極限增量比的極限;切線的斜率切線的斜率;,)(0c,)(1 xx,cos)(sin

18、xx,sin)(cosxxaxxaln1)(log 連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)的幾種常見情形連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)的幾種常見情形.,)()()(,)(. 1000函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)的角點(diǎn)的角點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)若若連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如, ,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角點(diǎn)點(diǎn)為為處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在xfxx 31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可導(dǎo)不可導(dǎo)有無(wú)窮導(dǎo)數(shù)有無(wú)窮導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)稱函數(shù)稱函數(shù)但但連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, , 1)(3 x

19、xf.1處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在 x., )()(. 30點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)則則指指擺擺動(dòng)動(dòng)不不定定不不存存在在在在連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)的的左左右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都函函數(shù)數(shù)xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如, ,.0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x011/1/xy. )()(,)(. 4000不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)的的尖尖點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)符符號(hào)號(hào)相相反反的的兩兩個(gè)個(gè)單單側(cè)側(cè)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且在在點(diǎn)點(diǎn)若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 例如例如 y = x23( (其圖形大致如上圖其圖形大致如上圖) )思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 函數(shù)函數(shù) 在某點(diǎn)在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別區(qū)別:)(xf 是函數(shù)是函數(shù) ,)(0