1、例1求曲線o圖4-1在曲線上點二 的附近另取一點，連接和 廠得割線 匚，當沿曲線趨于-時,割線的極限位置稱為曲線在 點廠的切線。ArIni 血*4/（心 +&） -/（心）aT令，則丁的斜率為，如果存在，則此極限值就是曲線的切線的斜率設切線的傾角為口，則tan oshiAx空從另一角度，二表示- 在區間-：（或空）的平均變化率，極限' 稱為函數在“的變化率。例2求變速直線運動的物體的瞬時速度。物體產生的位移藝是時 間上的函數，設運動方程為''''，求在）時刻的速度。 屮）= hn ' z a Al“d Az定義設函數、-）在點的鄰域內有定

2、義，當自變量 t從'變到I時，則函數得相應的增量 ：加廠3，如果極血叟=向迤也2如 血-*° &-*i+iAx存在，則稱函數*.在點可導，并稱此極限為函數，在點"的導數。記作"，或' J，即mJ：Ai如果記i "-，則上式可寫為八和=to心心:九-. 或記人 一;則八如果上述極限不存在，則稱函數在點 門不可導。例3設:r在口處可導Ar血八亠N） （曲）=”（2）貝y - i- 一 ？曲/（毛+A） -子（血迪解（1），； ''''=血區+冊一了心）一/（勿一甸10=to /（心十旳兀禺）+to 畑

3、桁-如）10訂鮎山-出=2/W缽加嚴3 心） （2） 一 l2解oot)(0, 0)2 Ar=2 lim/E十23*(和=2八和=1例5證明：'："在二:處不可導lira解'/ W J = lini-一 = liin 1_* x 旦暢廠蘇在盍兀處不可導例4設'-'且-"-' ''則A*->0主土如= g)”TD/(A0) -/(z0 -AAt)Ar注意：函數'' 在為工，所以函數在處的切線存在，斜率Em = go Av時，有時也稱幾在二處導數無窮大。圖4-2左、右導數左導數或m血住1土1X 石 Z

4、 -A（J右導數/（筍小）-%&或工知嘰込迪2 疔 x-xa顯然有，川 在I處可導的充要條件是：在"的左、右 導數都存在且相等。例6討論函數/« -ltL(l sin咼在丁 -處的可導性。八0）說伽F叭呦滬=1皆廿誥-0ar冥耳（0）=血蟲丄型=亦竺口JT-jO+ 齊 _0:wO*Xs 在工=1-可導且如果函數丄在區間內每一點都可導（閉區間時，左端點須右可導，右端點須左可導），則稱函數在區間匚內可導，此時其導數值是隨 二而變的函數，稱為I的導函數，簡稱導數，記作而-是丄的導函數二在處的函數值。用定義求函數-的導數（函數），可分三步進行:（1）求增量； '；

5、-S :川（2）求比值AzAvta (3)求極限例7求廠嚴為正整數）解- 一亍廠（應用二項式定理）十旳嚴比十禍舗-1）”呼+(虻鶉汁:所以為任意實數。例8求U h ；的導數。3 - X + Ar) -/(j) - sm( x + A?:) - sin少 _ sin( k + Ar) - sm ,xAtAxhmAxsin( r 斗 As) -smAx=ltfn業TOArArsin =Iutl tds(x 4- As/ 2) 1 lim = ec>sx竝toA/2所以(sill z/ CC>S A利用導數的定義和基本求導法則求出了常用初等函數的導數, 列于書中141頁公式表中，請大家背

6、下來。(cos x)r = - sin如.'/ :'=.,：'(sec x)r - sec xtan h (esc x)f - -esc rcotx律丿-xin a(arcsin x)f =】17(arccos x)f = - j 13I arctan x)' =1 + xOTE COt 27)例9設八二，求r''27 27尹=/y=-r3, 九 _解2八】2第-節ff 號導與連蛭的蓋黒匕 -定理 如果函數 -二 在點才可導，則函數' *在點工連續。因為人在點T可導，即hm = to 爪 + &-了址抄亠At二字=/'U)

7、 4可(&),'1"''(增量公式)即-1_'1 1，/ 11 . .所以一：時，?。匚人在*處連續。注：定理的逆不一定成立。既函數 J i J在點連續，卻不一定可導。例10函數I '-，在點上連續，但不可導rift0.Hm /W =l/(x)=O = /(O)# m(TJttCi*所以廠忖在齊=°連續。圖4-3"。十悶-幾0)._ 閔 _ p Ar> 0;Ax |-1? & W-匚- 一 在廠處不可導。例11討論函數sin ,x 產 0,0,r = Cl在x = 0處的連續性與可導性。 1lim= l

8、im ra sin - = 0解，1- 一 .在“處連續。2 - 1/W-/W r "害 r 1 r,lim-= lim lim Tsin 0小 A - 03 XttOx一 J在x =處可導，且丿，-。/（x）=F， x<o；例12設問當、為何值時，丿：在人連續且可導。解在：處連續，則二一，,'.3=1必）沁垃血沁業g川;0在莊=0處可導，則力（0）：£®, 二汗1第c輩qij尋數的幾何意艮ym 在忌點的導數廣厲）是曲線在點如處切線的 斜率。所以 ' 丿在 -1處的切線方程為y/o三/”（咼）（兀-心）法線方程為例13求在（-1,1）處的切線方程和法線方程。解 ” 缶,y（-i）- -2切線方程為i 1廠 .-'法線