1、數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院作業(yè)：作業(yè)：P301(2,4);8(2,4,6);14(3,4);魏平魏平理科樓理科樓239029-82665186數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院引言引言1.1.十六世紀中葉，十六世紀中葉，G.CardanoG.Cardano研究一元二次方程研究一元二次方程2.2.十七、十八世紀，隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況有所好轉(zhuǎn)十七、十八世紀，隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況有所好轉(zhuǎn). .瑞士：瑞士：EulerEuler sincosiei ibaz ba,復(fù)變函數(shù)才得以順利建立和發(fā)展復(fù)變函數(shù)才得以順利建立和發(fā)展, ,形成三大理論體系形成三大理論體系.210 x 1211xx 和Cauchy(柯西積分公式柯

2、西積分公式),Weierstrass(保形映射保形映射),Taylor(泰勒級數(shù)泰勒級數(shù))數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院(2) (2) 應(yīng)用于計算繞流問題中的壓力和力矩等應(yīng)用于計算繞流問題中的壓力和力矩等. .(3) (3) 應(yīng)用于計算滲流問題應(yīng)用于計算滲流問題. . 例如：大壩、鉆井的浸潤曲線例如：大壩、鉆井的浸潤曲線. .(4) (4) 應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電( (磁磁) )場強度場強度. . 例如：熱爐中溫度的計算例如：熱爐中溫度的計算. .飛機機翼剖面壓力的計算飛機機翼剖面壓力的計算, ,從而研究機翼的造型問題從而研究機翼的造型問題. .(1) (1) 流體的平面平行流動等

3、問題的研究流體的平面平行流動等問題的研究. .應(yīng)用背景應(yīng)用背景數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院（6 6）FourierFourier變換應(yīng)用于頻譜分析和信號處理等變換應(yīng)用于頻譜分析和信號處理等. . (5) (5) 復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ)復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ). .積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號分析、圖象處理和其他許通信和控制領(lǐng)域以及信號分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域 （7 7）LaplaceLaplace變換應(yīng)用于控制問題變換應(yīng)用于控制問題. .( )( )di

4、 tFf t et0( )( )dstF sf t et數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院基本說明基本說明1 復(fù)變函數(shù)內(nèi)容基本上是復(fù)數(shù)域中的微積分學(xué)復(fù)變函數(shù)內(nèi)容基本上是復(fù)數(shù)域中的微積分學(xué).主要方法主要方法:比較教學(xué)法比較教學(xué)法 .2 作業(yè)每兩周交一次作業(yè)每兩周交一次,雙周的星期三交作業(yè)雙周的星期三交作業(yè).3 每周三晚答疑每周三晚答疑 : 地點地點:理科樓理科樓239室室.4 教材教材:復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù); 積分變換積分變換輔導(dǎo)書輔導(dǎo)書:復(fù)變函數(shù)輔導(dǎo)書復(fù)變函數(shù)輔導(dǎo)書; 積分變換輔導(dǎo)書積分變換輔導(dǎo)書數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)的概念與運算復(fù)數(shù)的概念與運算1.1 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算210 x 引入一

5、個新數(shù)引入一個新數(shù) , i稱為稱為虛數(shù)單位虛數(shù)單位. 211.i (2) i可以和實數(shù)在一起按一定的法則進行四則運算可以和實數(shù)在一起按一定的法則進行四則運算.對虛數(shù)單位的對虛數(shù)單位的規(guī)定：規(guī)定：數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)形如形如 x+iy，其中，其中x和和y是任意兩個實數(shù)是任意兩個實數(shù).把這里的把這里的x和和y分別稱為復(fù)數(shù)的實部和虛部，分別稱為復(fù)數(shù)的實部和虛部，記作記作Re ,xz Im .yz 0,0 xyziy 稱為純虛數(shù)稱為純虛數(shù)0,0 xyzx 看做實數(shù)看做實數(shù)RC 復(fù)數(shù)不能比較大小復(fù)數(shù)不能比較大小復(fù)數(shù)的代數(shù)運算復(fù)數(shù)的代數(shù)運算設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù) z1=x1+iy1 和和 z2=x2+iy2

6、)()(212121yyixxzz )()(2112212121yxyxiyyxxzz 222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)實部相同、虛部絕對值相同符號想反的實部相同、虛部絕對值相同符號想反的一對復(fù)數(shù)一對復(fù)數(shù)與與z共軛的復(fù)數(shù)記作共軛的復(fù)數(shù)記作zzxiyzxiyzxiyzxiy 2 zzz共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì) 12121;zzzz;2121zzzz 1122.zzzz 223 Re( )Im( ).z zzz 4 2Re( ),2 Im( ).zzzzziz數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院1.2 復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)平面復(fù)平面zx

7、iy ,x y ,P x y( , )P x y xyxyoiyxz zxiy OP向量的長度向量的長度22zrxy, xzyzzxyr22 z zzz復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模12121212,zzzzzzzziyxz 與zz關(guān)于實軸對稱關(guān)于實軸對稱數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 Argarg2 0, 1, 2,.zzkk 記做記做幅角的主值幅角的主值0z 幅角不確定幅角不確定滿足滿足的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)z的幅角稱為輻角的主值的幅角稱為輻角的主值.0argz argz arctan0yxx 0,02xy arctan0,0yxyx 0,0 xy復(fù)數(shù)的幅角復(fù)數(shù)的幅角把把 x 軸的正向與向量軸的正向與向量 的夾角的夾角 稱為稱

8、為非零非零復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的輻角的輻角, 記做記做Argz. OP 2 0, 1, 2,kk 數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示cos ,xr sin ,yr cossinzri三角表示式三角表示式再利用再利用Euler公式公式 cossiniei izre 指數(shù)表示式指數(shù)表示式其中其中r=|z|, =Argz( , )P x y xyxyoiyxz rzxiy復(fù)數(shù)的三種表示法復(fù)數(shù)的三種表示法: cossinriire 數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院解解例例1 將下列復(fù)數(shù)表示成將下列復(fù)數(shù)表示成 x + iy 的形式的形式 7111ii 121iiii 7441iiee 72ie 72

9、ie 2ie i (1)(1)221iii i 1(22 )22ii322i 數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院例例2設(shè)設(shè)z1, z2是兩個復(fù)數(shù)是兩個復(fù)數(shù), 證明證明 2211121Re()2z zz zz z 2211121Im()2z zz zz zi證明證明 111222,zxiy zxiy1 21122()()z zxiyxiy12121221()()x xy yi x yx y1 21122()()z zxiyxiy12121221()()x xy yi x yx y 2211121Re()2z zz zz z 2211121Im()2z zz zz zi數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院1.3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)數(shù)的

10、乘冪與方根111111(cossin)izrire222izr e 12)1212.izzr r e 1 21212z zr rzz.ArgArg)(Arg2121zzzz .)(212121 ierrzz, 2121zzzz .ArgArgArg2121zzzz 復(fù)數(shù)乘積和商的模與幅角復(fù)數(shù)乘積和商的模與幅角數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院兩個復(fù)數(shù)相乘的幾何意義兩個復(fù)數(shù)相乘的幾何意義2 oxyr2r1r 2z 1z z1 .nnn izr e 1,2,kikkzr ekn 12()1 21 2ninnz zzrrr e 12(cossin ),nzzzri r=1,De Movie公式公式復(fù)數(shù)的乘冪復(fù)數(shù)的乘冪

11、12()1212.izzzr r e 數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的n次方根次方根,izre , nr .nn iiere 對給定的復(fù)數(shù)對給定的復(fù)數(shù)z, 方程方程wn=z的解的解w稱為稱為z的的n次方根次方根記作記作 or 1nnzz.iwe1,nr 2 (0,1,2,),nkk12kinnnkwzr e (0,1,2,).k 011,nwww 2 (0,1,2,),kkn 數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院例例3 求方程求方程 w4+16=0的四個根的四個根. oxy1w2w3w0w一般情況下一般情況下, 1nnzz n個根就是以原點為中心、個根就是以原點為中心、半徑為半徑為 1nr的圓的內(nèi)接正多邊的圓的內(nèi)接正

12、多邊 形的形的n個頂點所表示的復(fù)數(shù)個頂點所表示的復(fù)數(shù). 4022(1),iwei 34122( 1),iwei 54222(1),iwei 74322(1).iwei 解解 14( 16)w 14(16)ie 242ik ie (0,1,2,3)k 數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院1.4 復(fù)球面與無窮遠點復(fù)球面與無窮遠點 復(fù)數(shù)可以用平面上的點表示，另外還可以用球面上的點表示復(fù)數(shù)可以用平面上的點表示，另外還可以用球面上的點表示復(fù)數(shù)復(fù)數(shù). xyPNOS),(yx1P),(11yx球面上的點球面上的點, 除去北極除去北極 N 外外, 與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系. 我

13、們用球面上的點來表示復(fù)數(shù)我們用球面上的點來表示復(fù)數(shù) . 有限復(fù)平面有限復(fù)平面擴充復(fù)平面擴充復(fù)平面. 數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 : 的四則運算規(guī)定如下的四則運算規(guī)定如下關(guān)于關(guān)于 對于復(fù)數(shù)對于復(fù)數(shù)的無窮遠點而言的無窮遠點而言, , 它的實部、虛部它的實部、虛部, ,輻角等概念均無意義輻角等概念均無意義, , 規(guī)定規(guī)定它的模為正無窮大它的模為正無窮大. .(); (1) 加法加法(); (2) 減法減法(0); (3) 乘法乘法0,(),(0).0 (4) 除法除法數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院例例4 用復(fù)數(shù)形式的方程來表示過兩點用復(fù)數(shù)形式的方程來表示過兩點111222與zxiyzxiy的直線和直線段的直線和直線段.解解

14、oxy2z121()zzt zzz1z直線直線線段線段121(),01zzt zzt 121121()()xxt xxyyt yy直線直線線段線段121121(),01()xxt xxtyyt yy 數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院解解例例5 用復(fù)數(shù)形式表示圓的方程用復(fù)數(shù)形式表示圓的方程 022 dcybxyxa.,都是實常數(shù)都是實常數(shù)dcba,zxiy,zxiy,22zzzzxyi022zzzzazzbcdi()()02222bcibciazzzzd2()()0azzbci zbci zd數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院例例6 說明下列方程所表示的平面圖形說明下列方程所表示的平面圖形. 2 312221,Im0zizizzz解解oxy2i (1)2zi (2)22ziz2222(2)(2)xyxyyx oxyyx (3)1,Im0zzoxy數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院例例7 把復(fù)數(shù)把復(fù)數(shù)1cossin,0zi化為三角表示與指數(shù)表示化為三角表示與指數(shù)表示, 并求幅角的主值并求幅角的主值.解解22sin2sincos222zi2sin(sincos)222i222()iiieee (1)ie數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院例例8 設(shè)設(shè) 滿足滿足123,z zz證明：它們是某正