1、九年級數學上 21.4 二次函數的應用（最新滬科版）【教案一】21.4二次函數的應用適用學科數學適用年級初三適用區域滬科版課時時長80知識點1.二次函數的最值確定最大利潤、最節省方案等問題用二次函數圖象解決幾何問題教學目標1.知識與技能：會運用二次函數計其圖像的知 識解決現實生活中的實際問題。過程與方法：通過本節內容的學習，提高自主探索的能 力，在運用知識解決問題中體會二次函數的應用意義及數學 轉化思想。情感態度與價值觀：提高探索能力，激發學習的興趣和 欲望。教學重點利用二次函數解決最值問題。教學難點根據題意進行相應形式的解設，進而用最恰當 的方法確定二次函數的解析式。教學過程一、復習預習我們

2、學習了利用二次函數最值的求法，我們要能利用二 次函數解決最值問題的同時還要能利用二次函數與其他知 識相結合解決綜合性的問題。二、知識講解考點/易錯點1用二次函數的性質解決實際問題利用二次函數的最值確定最大利潤、最節省方案等問題 是二次函數應用最常見的問題，解決此類問題的關鍵是認真 審題，理解題意，建立二次函數的數學模型，再用二次函數 的相關知識解決.利用二次函數的性質解決許多生活和生產實際中的最 大和最小值的問題，它的一般方法是：列出二次函數的解析式， 列解析式時， 要根據自變量的 實際意義，確定自變量的取值范圍.在自變量取值范圍內，運用公式法或配方法求出二次函 數的最大值或最小值.考點/易錯

3、點2用二次函數圖象解決幾何問題二次函數與幾何知識聯系密切，互相滲透，以點的坐標 和線段長度的關系為紐帶，把二次函數常與全等、相似、最 大面積、周長等結合起來，解決這類問題時，先要對已知和 未知條件進行綜合分析，用點的坐標和線段長度的聯系，從 圖形中建立二次函數的模型，從而使問題得到解決.解這類 問題的關鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數的有關性 質和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題 目的.三、例題精析【例題11【題干】我市某鎮的一種特產由于運輸原因， 長期只能在當地銷售.當地政府對該特產的銷售投資收益 為：每投入x萬元，可獲得利潤。當地政府擬在“十二五” 規劃中加快開發該特產的

4、銷售，其規劃方案為：在規劃前后 對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建 一條公路，兩年修成，通車前該特產只能在當地銷售；公路 通車后的3年中，該特產既在本地銷售，也在外地銷售.在 外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤.若不進行開發， 求5年所獲利潤的最大值是多少？ 若按規劃實施，求5年所獲利潤的最大值是多少？ 根據、，該方案是否具有實施價值？【答案1【解析1由可得p最大為41。.繼而求的5年所獲利潤的最大值。首先求前兩年的獲利最大值，然后后三年。比較可知，該方案具有極大的實施價值。【例題21【題干】牡丹花會前夕，我

5、市某工藝廠設計了一款成本為10兀/件的工藝品投放市場進行試銷.經過調查，得到如 下數據：把上表中x、y的各組對應值作為點的坐標，在下面的 平面直角坐標系中描出相應的點，猜想y與x的函數關系，并求出函數關系式；當銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得 的利潤最大？最大利潤是多少？菏澤市物價部門規定，該工藝品銷售單價最高不能超過35元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品 每天獲得的利潤最大？【答案】解：畫圖如圖：由圖可猜想y與x是一次函數關系，設這個一次函數為，這個一次函數的圖象經過、這兩點，,解得，函數關系式是設工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是元，依題意得：當時x=40，有

6、最大值9000.對于函數，當x時，的值隨著x值的增大而增大，銷售單價定為35元/件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大.【解析】設好一次函數關系式，利用函數的性質【例題3】【題干】某公司營銷A B兩種產品，根據市場調研，發現如下信息：信息1:銷售A種產品所獲利潤y與銷售產品x之間存 在二次函數關系y=ax2+bx.在x=1時，y=1.4;當x=3時，y=3.6.信息2:銷售B種產品所獲利潤y與銷售產品x之間存 在正比例函數關系y=0.3x.根據以上信息，解答下列問題；求二次函數解析式；該公司準備購進A、B兩種產品共10噸，請設計一個營 銷方案，使銷售A、B兩種產品獲得的利潤之和最大，最大

7、利潤是多少？【答案】解：當x=1時，y=1.4;當x=3時，y=3.6, 解得，所以，二次函數解析式為y=-0.1x2+1.5x;設購進A產品噸，購進B產品噸，銷售A、B兩種產品 獲得的利潤之和為元，則=-0.12+1.5+0.3=-0.12+1.2+3=-0.12+6.6,- 0.1V0,當=6時，有最大值6.6,購進A產品6噸，購進B產品4噸，銷售A、B兩種 產品獲得的利潤之和最大，最大利潤是6.6萬元.【解析】把兩組數據代入二次函數解析式，然后利用待 定系數法求解即可；設購進A產品噸，購進B產品噸，銷售A B兩種產品 獲得的利潤之和為元，根據總利潤等于兩種產品的利潤的和 列式整理得到與的

8、函數關系式，再根據二次函數的最值問題 解答.【例題4】【題干】某高中學校為高一新生設計的學生單人桌的抽 屜部分是長方體形.其中， 抽屜底面周長為180c,高為20c.請 通過計算說明，當底面的寬x為何值時，抽屜的體積y最大？ 最大為多少？.【答案】已知抽屜底面寬為xc,則底面長為180+2-x=c.由題意得：y=xx20二20=-202+40500當x=45時，y有最大值，最大值為40500.答：當抽屜底面寬為45c時，抽屜的體積最大，最大體 積為40500C3.【解析】根據題意列出二次函數關系式，然后利用二次函數的性質求最大值.【例題5】【題干】如圖，在RtABc中，/c=90 ,Ac=3,

9、Bc=4, 點E在Ac上，點F在斜邊AB上.若EF平分RtABc的周長，設AE=x,AEF的面積為y, 寫出y與x之間的函數關系式，并指出x的取值范圍；試問：是否存在直線EF將RtABc的周長和面積同時 平分？若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由.【答案】解：在直角三角形ABc中，Ac=3,Bc=4,所以AB=5三角形ABc的周長為12,又因EF平方三角形ABc的 周長， AE+AF=6而AE=x, AF=6- x過點F作FD丄Ac于D則 所以這樣的EF存在，SAABc=Bc?Ac=X4X3=6 EF平分ABc的面積，所以解得： Ov xv 3 6-xv5符合題意，所以這樣的EF存在，此時

10、AE=.【解析】根據AE=x得到AF,然后表示出DF,利用三角形的面積列出兩個變量之間的關系式即可；根據EF平分三角形ABc的面積列出有關x的一元二次方程，解得有意義即可判定存在【例題61【題干】如圖，在平面直角坐標系中， 拋物線y=ax2+bx+c經過A,o,B三點.求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；若點是該拋物線對稱軸上的一點，求A+o的最小值.【答案1解：把A,o,B三點的坐標代入y=ax2+bx+c中，得解這個方程組，得所以解析式為由，可得拋物線的對稱軸為x=1，并且對稱軸垂直平分線段oB o=B o+A=B+A連接AB交直線x=1于點，則此時o+A最小過點A作AN丄x軸于點N,在

11、RtABN中，因此o+A最小值為.【解析】待定系數法求函數解析式兩點之間線段最短四、課堂運用【基礎】如圖，用長為20米的籬笆恰好圍成一個扇形花壇，且 扇形花壇的圓心角小于180,設扇形花壇的半徑為米，面 積為平方米.求出與的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；當半徑為何值時，扇形花壇的面積最大，并求面積的最 大值.【答案】設扇形的弧長為I米.由題意可知，.其中.當時，.【解析】本題主要考查了函數模型的選擇與應用.此題涉及中間量轉換問題，不過根據公式進行轉換難度不是很大 已知二次函數的圖像經過點P與Q.求此二次函數的解析式；若點A是象限內該二次函數圖像上一點，過點A作x軸 的平行線交二次函數圖像

12、于點B，分別過點B、A作x軸的垂 線，垂足分別為c、D,且所得四邊形ABcD恰為正方形.1求正方形的ABcD的面積；2聯結PA、PD, PD交AB于點E,求證：s【答案】【解析】【鞏固】為鼓勵大學畢業生自主創業，某市政府出臺了相關政策：由政府協調，本市企業按成本價提供產品給大學畢業生 自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔.李明按 照相關政策投資銷售本市生產的一種新型節能燈.已知這種 節能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷 售量y與銷售單價x之間的關系近似滿足一次函數：y=-10 x+500.李明在開始創業的個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元

13、？設李明獲得的利潤為，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？物價部門規定，這種節能燈的銷售單價不得高于25元.如果李明想要每月獲得的利潤不低于300元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？【答案】：當x=20時，y=-10 x+500=-10X20+500=300,00X=300X2=600,即政府這個月為他承擔的總差價為600元.依題意得，=-10 x2+600 x-5000=-102+4000a=-10v0,.當x=30時，有最大值4000.即當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000.由題意得：解得：x仁20,x2=40.a=-10v0,拋物線開口向下，結合圖象可知：當2

14、0 x40時，3000.又x25,當20 x25時，3000.設政府每個月為他承擔的總差價為p元，p=x=-20 x+1000.少元時，才能使每天獲得的利潤P最大? =-20v0. p隨x的增大而減小，當x=25時，p有最小值500.即銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差 價最少為500元.【解析】把x=20代入y=-10X+500求出銷售的件數，然后求出政府承擔的成本價與出廠價之間的差價；由利潤=銷售價-成本價，得=，把函數轉化成頂點坐標式，根據二次函數的性質求出最大利潤；令-10 x2+600 x-5000=3000,求出x的值，結合圖象求出利潤的范圍，然后設設政府每個月為他承擔

15、的總差價為p元，根據一次函數的性質求出總差價的最小值【拔高】在“母親節”前夕，我市某校學生積極參與“關愛貧困母親”的活動，他們購進一批單價為20元的“孝文化衫”在課余時間進行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親.經試驗 發現，若每件按24元的價格銷售時，每天能賣出36件；若每件按29元的價格銷售時，每天能賣出21件.假定每天銷售件數y與銷售價格x滿足一個以x為自變量的一次函數.求y與x滿足的函數關系式；在不積壓且不考慮其他因素的情況下，銷售價格定為多【答案】設y與x滿足的函數關系式為：y=x+b.由題意可得：解得故y與x的函數關系式為：y=-3x+108.每天獲得的利潤為P=- 3x2+168x-2

16、160=-32+192.故當銷售價定為28元時，每天獲得的利潤最大【解析】設y與x滿足的函數關系式為：y=x+b.，由 題意可列出和b的二元一次方程組，解出和b的值即可； 根據題意：每天獲得的利潤為：P=,轉換為P=-32+192, 于是求出每天獲得的利潤P最大時的銷售價格.已知：拋物線的對稱軸為x=-1與x軸交與A,B兩點，與y軸交于點c,其中A,c求這條拋物線的函數表達式.已知在對稱軸上存在一點P,使得的周長最小.請求出點P的坐標【答案】解：由題意得解得所以此拋物線的解析式為連結Ac,Bc.因為Be的長度一定，所以周長最小，就是 使Pc+PB最小。B點關于y對稱軸的對稱點是A點，Ac與對

17、稱軸的交點即為所求的點P。設直線Ac的表達式為則，解得此直線的表達式為把x=-1代入得所以點p坐標為【解析】根據已知條件列出方程解拋物線的解析式。利用拋物線 的對稱性找到對稱點即可課程小結二次函數的應用中有關最值的問題是和一元二次方程、 一次函數相結合的產物，所以要求的綜合能力較強，對知識 的要求也較高。在解決利潤問題時，應認清變量所表示的實 際意義，注意隱含條件的使用，同時注意考慮問題要周全。課后作業【基礎】教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，發現鉛球行進 高度y與水平距離x之間的關系為，由此可知鉛球推出的距 離是。【答案】10【解析】本題考查二次函數的應用。令函數式中，解得即鉛球推出的距離

18、是10。【鞏固】某商場購進一種每件價格為100元的新商品在商場試銷發現：銷售單價x與每天銷售量y之間滿足如圖 所示的關系：求出y與x之間的函數關系式；寫出每天的利潤與銷售單價x之間的函數關系式；若你是商場負責人，會將售價定為多少，來保證每天獲得的利潤 最大，最大利潤是多少？【答案】設y與x之間的函數關系式為y=x+b由所給函數圖象得解得函數關系式為y= x+180.=y=x2+280 x18000=2+1600當售價定為140元，最大=1600.售價定為140元/件時，每天最大利潤=1600元【解析】本題主要考查學生利用函數解決實際問題的能力，問，我們可以利用待定系數法求出一次函數的解析式；然

19、后利用計算利潤的公式：利潤=X銷售量，得到二次函數解析式，并會利用配方法求二次函數最值。【拔高】某商場購進一批單價為4元的日用品.若按每件5元的 價格銷售，每月能賣出3萬件；若按每件6元的價格銷售， 每月能賣出2萬件，假定每月銷售件數y與價格x之間滿足 一次函數關系.試求y與x之間的函數關系式；當銷售價格定為多少時，才能使每月的利潤最大？每月 的最大利潤是多少？【答案】：由題意，可設y=x+b,把，代入得：解得：，所以y與x之間的關系式為：y=-10000X+80000;設利潤為，則=-10000=-10000=-100002-4=-100002+40000所以當x=6時，取得最大值，最大值為40000元.答：當銷售價格定為6元時，每月的利潤最大，每月的 最大利潤為40000元.【解析】利用待定系數法求得y與x之間的一次函數關系式；根據“利潤=x售出件數”，可得利潤與銷售價格x之間的二次函數關系式，然后求出其最大值如圖，拋物線y=ax2+bx+c與雙曲線相交于點A,B,且拋物線經過坐標原點，點A的坐標為，點B在第四象限內， 過點B作直線Be/x軸，點c為直線Be