1、工程GPS控制網平差轉換的要點與模型施一民(同濟大學測量與國土信息工程系,上海 200092 Key and Model of Adjustment and Transformationfor Engineering GPS Control NetworksShi Yimin摘要:本文從工程GPS控制網定位的實際需要出發,明確指出:在分別用GPS和常規技術所建立的控制網之間,不能直接采用7參數的坐標轉換模型或4參數的坐標差轉換模型。就空間坐標系的轉換而言,3個平移參數只能由單個基準點確定,而有效、適用的GPS網坐標差轉換模型其實就是僅有尺度和方位兩個參數(其余兩個旋轉軸不作旋轉的范士簡化模型。

2、本文又強調指出:工程GPS網平差轉換的又一關鍵是從投影變換方面保持高斯平面上邊長尺度的一致性。至于平差方法的選擇,按附合網或按獨立網則各有利弊。據此,本文概括了三種平差轉換模型,以供學習使用或進一步改進現有軟件時的參考。關鍵詞:工程GPS控制網,GPS網平差轉換,區域性橢球面(Department of Surveying and LandInformation Engineering,Tongji University,Shanghai 200092,China一、前言GPS相對定位已成為建立城市及工程控制網的主要技術手段,而與常規地面網相比,GPS控制網的數據處理有其自身的特點。除了為消除

3、GPS基線向量之間的矛盾(異步環閉合差而須對整網進行最小二乘平差外,由于基線向量是WGS-84坐標系中的三維坐標差,為將GPS網成果納入到國家大地坐標系或地方獨立坐標系,還需進行兩類不同坐標系之間的坐標轉換;與此同時還要進行同一類坐標系中表述形式雖有不同卻又互為等價的點位坐標間的投影變換,如空間直角坐標、大地坐標、高斯平面直角坐標間的換算。上述的GPS網平差、轉換和投影這三方面的工作,可按不同組合歸納為多種數據處理方法,采用不同的方法所得結果亦就略有不同。為滿足GPS定位的實際應用需要,本文闡述工程GPS網平差轉換的要點,據此來比較各種平差轉換模型的適用性。二. 工程GPS網平差轉換的要點1.

4、 關于工程GPS網和地面網之間的坐標轉換模型- 基金項目:國家自然科學基金資助項目(49971067眾所周知,兩個空間直角坐標系之間的三維坐標轉換一般采用含有7個轉換參數的布爾莎、莫洛金斯基和范士等模型, 對于坐標差轉換而言,因其不涉及三個平移轉換,可只采用余下的4個轉換參數。但這僅適用于在兩個坐標系中點位均具有精確的三維坐標的情況,例如兩個GPS網之間的轉換。因以往用常規技術測設的地面網屬于二維坐標系(大地經緯度或高斯平面坐標,由地面點的正常高加上概略的高程異常所得的已知橢球面上的大地高只有數米的精度,點間的大地高差的精度亦僅有米級,由此而進行的三維坐標轉換只能達到米級的精度。在地面網已知點

5、中,實際上至多只能提供一個點(作為位置基準點的三維坐標,其余已知點僅能提供經緯度來作轉換。在工程GPS網轉換中, 3個平移參數是由單個位置基準點上的兩組三維坐標來確定的,余下的3個旋轉參數及1個尺度參數顯然不可能利用上述模型獨立求定。范士模型中的三個旋轉參數可基于位置基準點上的站心地平坐標系來作出,其中繞z 軸(重合于位置基準點上的橢球面法線方向 的旋轉角正對應于方位旋轉角。因此,適用的GPS網坐標差轉換模型其實就是僅有尺度和方位兩個參數(其余兩個旋轉參數設定為零的簡化范士模型。這也就成為我國現有的GPS網平差轉換軟件如TGPPS及POWERADJ的基本出發點。2.從投影變換方面保持高斯平面上

6、邊長尺度的一致性利用GPS技術建立平面控制網,最后得到的是GPS網點的高斯平面直角坐標,因此GPS網不僅要從WGS-84系轉換到當地的平面坐標系,還須進行從三維直角坐標通過大地坐標再投影到高斯坐標的投影變換,這就必須選擇一個橢球面作為過渡,并須選定某一經線作為高斯投影的中央子午線,這兩者都關系到高斯平面上的邊長尺度。GPS網應與地面網從空間邊長投影方面應取得相一致的邊長尺度,與此相應的數據處理方法就是,采用與地面網邊長的歸算高程基準面(常稱為投影面較為接近的區域性橢球面2;采用與地面網中央子午線在位置或經度上相同的經線作為GPS網點投影變換的中央子午線。對于國家坐標系而言,通常是僅取一個國家控

7、制點的大地經緯度及大地高為起始值,并采用國家參考橢球的元素,據此確定的橢球面與國家參考橢球面在該點相切(不去顧及所取用的高程異常的誤差,在不太大的范圍內可認為兩個橢球面是較為接近的。對于地方獨立坐標系而言,一個簡易的處理辦法是,改變已知橢球的定位或是改變已知橢球的元素,使與高斯平面直角坐標相對應的大地經緯度所屬的橢球面與地面網邊長歸算基準面(大多取測區平均程面 在位置基準點上相合。為使GPS網與原有地面網在高斯投影邊長改正上取得一致,應采用原有的中央子午線。若原為三度帶的中央子午線,應仍按其經度選取中央子午線。若為任意帶,而并未提供中央子午線的經度,僅知中央子午線經過某點,則取該點的經度為中央

8、子午線的經度,從而使兩種網所相應的中央子午線位置相同。3. 按附合網還是按獨立網進行平差定位采用GPS技術來加強改善原有地面控制網,如何合理對待、處理地面網的已知點須根據網的用途、地面網的實際精度作認真細致的分析、比較而定。只要固定GPS網位置基準點上由地面網已知點所給出的三維坐標, 即增加三個位置基準條件,就能獲得GPS 網中各點的三維坐標的最小二乘解,此時尺度及坐標軸指向仍由基線向量所確定。除了固定地面網一個起始點外,如再固定地面網的一個起始方位角,則可在誤差方程中加入方位旋轉參數,并加入方位基準條件式,則在GPS 網平差的同時又作方位旋轉轉換,此時就能獲得方位旋轉參數,空間邊長的尺度基準

9、仍由GPS 基線向量所維持,它同樣也不改變平差后GPS 網的相對構形,均屬于獨立網平差,亦可稱之為純GPS 網的無約束平差。只要如上所述選擇合適的橢球面和高斯投影中央子午線, 純GPS 網在高斯平面上的邊長尺度就能與地面網坐標系中應有的邊長尺度相一致。其優點是在歸算到地面網坐標系后仍保持GPS 測量高精度的優勢,有利于在已有控制網的坐標基準中鑒定和改善原有的地面網,從而顯著地提高已有控制網的精度。但由于只是在位置基準點上仍保持原有坐標值,在其它GPS 點上的高斯坐標必與原有坐標值不相一致,而且離位置基準點越遠,坐標較差也越大。對于近萬平方公里的大城市,在邊緣點上的最大坐標較差估計約有30cm

10、。另一種處理方法是對GPS 網進行附合網平差,對于重合于多個已有控制點的GPS 點,除固定基準點的三維坐標外,其余重合點均固定其二維坐標,在平差的同時就能獲得由GPS 網轉換到地面網坐標系的尺度及方位旋轉參數。由于在重合點上保持了原有的二維坐標,非重合點上與原有坐標的差異也會小些,這就減小了啟用GPS 網新成果所產生的與巳有成果的矛盾,迎合了一些生產單位不愿更動原有點位坐標的要求。但這樣就會因難以估計的地面網的固有誤差而使GPS 相對網形遭受扭曲,從而不能體現GPS 網應有的高精度,由此而建立的GPS 網充其量只能達到與原有地面網大致相當的精度。三. 、GPS 網平差轉換的幾種模型1.模型之一

11、:在WGS -84系中作純GPS 網平差,再選取合適的橢球面及中央子午線,最后在高斯平面上轉換到地面網坐標系。因觀測值是WPS -84系中的三維坐標差,誤差方程是十分簡單的線性式,就網中任一基線向量而言,取基線向量兩端點i 和j 的三維坐標近似值的改正數為未知參數,則有=o ij ij o ij ij o ij ij i i i j j j z y x Z Z Y Y X X Z Y X Z Y X V V V ij ij ij - (1 上式右端的最后一項為常數項,是由三維坐標差觀測值減去由三維坐標近似值所得的坐標差計算值。匯總全網所有的互獨立基線向量的誤差方程,寫成一般形式為L xA V

12、-= (2 所須固定網中一點(位置基準點的已知坐標,可由GPS 單點定位或由已有的GPS 點或由國家控制點的三維直角坐標得出,位置基準條件式為0=xG T (3式中, =010000010000010L L L L L L T G位置基準點由解算基線向量時所得出的協方差陣D L 及所設的單位權方差20,得出基線向量觀測值的權矩陣120L D P =。由(2及 (3式組成法方程式,得出未知參數的最小二乘解 (Pl A GG PA A x T T T 1+= (4同濟大學研制的TGPPSW 網平差軟件,即是以三維直角坐標為待定參數來進行平差的。爾后選定與地面網邊長歸算基準面相接近的橢球面,而由三維

13、直角坐標求出各點的大地經緯度和大地高, 按所選定的與地面網相同位置的中央子午線來計算高斯坐標。為使GPS 網點的高斯平面直角坐標與地面網坐標取得一致,最簡便的方法是利用地面網起始點的高斯坐標及起始坐標方位角在高斯平面上進行平移、旋轉變換。設地面網起始點的坐標為(0(0T T y x ,該點的GPS 平面坐標為(00y x ,起始方位角為(01T T ,由GPS 網得出的坐標方位角為T 01于是,平移旋轉變換后的GPS 點坐標為sin(cos(01(01001(0100(0T T y y T T x x x x x T j T j T j -+-=cos(sin(01(01001(0100(0T

14、 T y y T T x x y y y T j T j T j -+-+-= (5為使GPS 網點坐標與原有控制點坐標差值盡可能地小,再可利用多個重合點上的坐標較差進行旋轉、伸縮變換,以位置基準點為變換中心的第i 個重合點的誤差方程式為(i T i i T i T o i T o i T i T o i y x y y x x K T y y x x x x y y v v i i -=(0( (6 由各重合點所組成的誤差方程可寫為V =C -L (7式中,以各重合點的坐標差值為偽觀測值L 。加入尺度參數將使GPS 網尺度統一到原有控制網的尺度,但若求得的尺度差過大,可知原地面網邊長精度不高

15、,則有損于GPS 網的精度,此時不宜再作伸縮變換而可僅作旋轉變換。采用上述方法,平差簡便,由于是在高斯平面上依據地面網點已知的高斯平面坐標將GPS 網坐標系轉換到地面網坐標系,毋須知道地面網點的大地坐標,對于任何形式的地面網坐標系都能方便地進行變換。就其平差、轉換結果而言,或是按固定地面網一個起始點及一個起始方位角,或是按若干個重合點的坐標差異再進行擬合。2.模型之二:基于已知橢球(通常為國家參考橢球對基線向量觀測值同時進行平差、轉換,再按所設定的橢球面進行高斯投影,在高斯平面上再進行平移、旋轉變換。 該法的特點是以網點的大地經緯度、大地高為未知參數來進行平差和轉換。利用三維直角坐標與大地坐標

16、間的微分關系式8(1000cos (000sin 0cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin =+=i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i dH dL dB R dH dL dB J C dH dL dB B H N H M B B L B L L B L B L L B dZ dY dX 可將誤差方程式(1化為以下形式。ij ij o ij ij o ij ij i i i i j j j j zij yij xij Z Z Y Y X X H L B R H

17、 L B R V V V -= (9 若設包含全部GPS 網點的大地坐標改正數(i B ,i L i H T 為y ,可將全部基線向量觀測值的誤差方程組寫為V =B y-L (10 式中B =AR =ACJ而C ,J 為分塊對角陣,相應于第i 個網點的子塊分別為C i 及i J ,其表示式參看式(8 為了能夠在GPS 網平差的同時轉換到地面網坐標系,可視所給出的地面網數據的不同情況,進行獨立網平差或附合網平差。a.地面網僅提供位置基準點的大地經緯度、大地高以地面網的一個起始點0P 為GPS 網的位置基準點, 通常給出其在國家參考橢球上的大地經緯度、大地高,此時位置基準條件式 (3變為G T &

18、#183;R y=0 (11 可以推證大地坐標改正數的最小二乘解為yPL B CJ GG C J PB B T T T T T 1(+= (12 平差后的GPS 網的位置基準已由一個點上茌國家坐標系中的大地坐標所確定,相當于已進行平移轉換,但尺度基準和方位基準仍由GPS 基線所隱含給出,為轉換到地面網坐標系,除了選擇合適的區域性橢球面來作投影外,尚須在高斯平面進行旋轉乃至伸縮變換。 b. 除固定位置基準點的大地坐標外, 還固定地面網的起始方位角 這就要求 GPS 網經平差、轉換后,除了保持地面網起始點的大地坐標外,還須維持其上 亦即 GPS 網在平差的同時, 還要參照于地面網作平移及方位旋 的

19、一個起始方位角 A01 不變。 轉。其基線向量觀測值的誤差方程式還須增加一個方位旋轉角 A 作為待定參數，即有 0 V x X ijX ij B j Bi ij V yij R j L j Ri Li RijA AYijYij0 H 0 H i j V zij Z ijZ ij (13 由范士模型的定義,可證上式中方位旋轉角 A 參數前面的系數矩陣為 0 Yij0 sin Bi0Z ij cos Bi0 sin L0 i A 0 0 0 0 0 Rij X ij sin Bi Z ij cos Bi cos Li X 0 cos B 0 sin L0Y 0 cos B 0 cos L0 ij

20、i i ij i i (14 與此同時，除了須有位置基準式(11外，還須加上由地面網所提供的方位基準條件， 這亦可等價于附加中誤差為甚小值的地面網的起始大地方位角角 A01 的觀測方程式 (T dB1 dB0 T T (G (T V A01R A01 C 0 R1 dL1 R A01 C 0 R0 dL0 A01 A01 dH dH 1 0 式中 (15 y R A01 = 2 1 2 x y 1 1 x1 x y12 2 1 0 (16 (G A01 為由兩端點 P0 和 P1 間的 GPS 三維直角坐標差由下式得出的方位角計算值 (G A01 = arctg cos L0 Y01 sin

21、L0 X 01 y1 = arctg x1 sin B0 (cos L0 X 01 + sin L0 Y01 + cos B0 Z 01 (17 GPS 網平差后，除得出全部網點的大地坐標外，還能求解出(13式中的方位旋轉參數 A ，但尺度基準仍由 GPS 基線向量所確定。 c. 除固定位置基準點上的三維大地坐標外， 還固定至少一個點的大地經緯度。 此時誤差方程式中不僅含有方位旋轉參數 A ，另增加了一個尺度參數 µ ，即有 1 0 0 V X X ijX ij B j Bi X ij ij VYij R j L j Ri Li Yij0 µRijA AYijYij0 H

22、0 H i Z 0 ij VZ ij Z ijZ ij j (18 在平差解算時， 可將位置基準點的大地經緯度、 大地高以及其它二維固定點的大地經緯 度未知參數的改正值均取為零， 亦即在誤差方程組中消去這些未知參數， 從而使系數矩陣列 滿秩，即可求得待定點的大地坐標改正值、二維固定點的大地高改正值以及由 WGS84 轉 換到國家大地坐標系的方位轉換參數及尺度參數， 但轉換是通過多個二維固定點的強制附合 來完成的。如果僅滿足于原有地面網的精度，因其保持了固定點上原有二維坐標不變，而為 生產單位所樂于采用。 d. 地面網的邊長歸算高程基準面(投影面采用了某一水準面 此時須采用設投影面相貼近的區域橢

23、球面，并由其來進行高斯投影。文獻 E1 橢球是將在其上進行網平差的國家參考橢球面的長半徑 a 改為 a1 a1a h o (19 1 所采用的 式中，h 為投影面的正常高， o 為測區的平均高程異常。若近似地認為國家參考橢球面上 GPS 點平差后的大地經緯度與 E1 橢球面上的大地經緯度相等， 就可按照 E1 橢球元素(a1， 2 e 及選定的中央子午線對國家參考橢球面上 GPS 點的大地經緯度進行高斯投影。所得出的高 斯平面直角坐標與原有的平面坐標往往并不一致， 因為有些城市控制網雖則采用了任意帶中 央子午線， 但在其起始點上仍采用原有的三度帶國家坐標或自行作些更動。 因此還須在高斯 平面上

24、再作平移變換。它是利用位置基準點上的兩組高斯平面直角坐標來進行的。 其實對于相當數量的工程控制網而言, 也不必非要以國家參考橢球面作過渡,采用 E2 橢 球 1 更為簡便，只須將位置基準點相對于 WGS84 橢球的大地高數值改為該點到投影面 的水準高程，不改變該點的大地經緯度以及 WGS84 橢球的元素，平差后按指定的中央子 午線進行高斯投影，再在高斯平面作平移旋轉變換而轉換到地面網坐標系。 同濟大學測量系的 GPS 靜態定位后處理軟件系統 TGPPS(4.0在網平差、 轉換方面即是 采用以大地坐標為待定參數的三維平差模型，在以后的改進版本 TGPPS(5.0中，則是以三 維直角坐標為待定參數

25、。但與模型之一不同，在平差時還加入了尺度、方位旋轉參數，于是 任一基線向量觀測值的誤差方程式為 o o V x X X X ij X ijX ij j ij i V yij Y j Yi Yijo µRijA AYijYijo o o V zij Z j Z i Z ij Z ijZ ij (20 至少須固定一個點的三維直角坐標,位置基準方程式如(3式所示。方位基準方程式則為 1 X 1 X 0 T (G (T R A01 C Y1 R A01 C 0 Y0 A01 A01 = 0 Z Z 1 0 T 0 (21 當除了一個位置基準點外， 若地面網還提供了不少于一個點的大地經緯度為固定值， 可 4 得出任一個二維固定點(設點號為 k上的大地經緯度的條件方程為 sin Bko sin Lo X k sin Bk sin Lk Ykcos BkoZ ko k sin Lo X kcos Lo Yko k k (22 平差后就能實現從 WGS84 系到地面網坐標系的強制附合轉換，從而求得尺度差參數及方 位旋轉參數以及全部網點的三維直角坐標平差值。再得出基于國家參考橢球面的大地經緯 度、大地高, 現有的一些軟件是按照近似的處理方法：不改動大地經緯度僅改變橢球的長半 徑，而在與測區投影面相近的 E1 橢球面上投影得出全部網點的高斯平面直