1、平面向量的坐標表示【基礎知識精講】1. 平面向量的坐標表示：在平面直角坐標系內，分別取與 x 軸、 y 軸正 方向相同的兩個單位向量 i 、 j 作為基底，對任一向量 a ，由平面向量基本 定理知， 有且只有一對實數 (x,y) ，使得 a=xi +y j , 則實數對 (x,y) 叫做向量 a 的直角坐標 ( 簡稱坐標 ) ，記作 a =(x,y) ，其中 x 和 y 分別稱為向量 a 的 x 軸上的坐標與 y 軸上的坐標，而 a =(x,y) 稱為向量的坐標表示 .相等的向量其坐標相同 . 同樣，坐標相同的向量是相等的向量 .顯然 i =(1,0), j =(0,1), 0 =(0,0)2

2、. 平面向量的坐標運算：(1) 兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差：a ± b =(x 1± x2,y 1± y2)( 其中 a=(x1,y2)、b=(x2,y2).(2) 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點 的坐標 .如果 A(x 1， y1) 、 (x 2,y 2)，則 AB =(x 1-x 2,y 1-y 2)(3) 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘以原來向量的相應坐標 .若a =(x,y), 則a=(x, y)3. 向量平行的坐標表示已知向量 a、b(b0)，則 a b的充要條件為存在實數 ，使a= b.如

3、果 a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)( b 0 ) 則 a b 的 充 要 條 件 為 ： x1y2-x 2y1=0.平面向量的坐標表示， 實際是向量的代數表示， 此入向量的坐標表示以 后， 可以使向量運算完全代數化， 將數與形緊密地結合起來， 這樣很多的幾 何問題的證明，就可以轉化為學生熟悉的數量的運算 .兩個向量相加減， 是這兩個向量的對應坐標相加減， 這個結論可以推廣到有限個向量相加減 .【重點難點解析】1. 向量 a 的坐標與表示該向量的有向線段的起始點的具體位置沒有關 系，只與其相對位置有關系，即兩個向量不論它們的起始點坐標是否相同， 只要這兩個向量的坐標相同，那

4、么它們就是相等向量 .兩個向量如果是相等的，那么它們的坐標也應該是相同的 .2. 向量 AB 的坐標是終點的坐標減去始點的對應坐標， 而不是始點的坐 標減去終點的坐標 .3. 實數 與向量 a 的積的運算時， 應與 a 的相應坐標相乘， 以下的結 論都是錯誤的 .設R， a =(x,y) a= (x,y)=( x,y)或 a = (x,y)=(x, y)2例 1 若向量 a =(x+3,x 2-3x-4) 與 AB相等，其中 A(1， 2) ， B(3， 2) ， 則 x=例 2 已知 a =(3x+4y,-2x-y), b =(2x-3y+1,-3x+y+3) ，若 2a=3b ,9 試求

5、x 與 y 的值 .例 3 已知平行四邊形三個頂點是 (3 ， -2) ，(5，2)，(-1 ，4) ，求第四 個頂點的坐標 .解：如圖，設 OA=(3,-2),OB =(5,-2), OC =(-1,4), OD =(x,y)依題意， AB=DC或 AC=DB或AB=CD由 AB = DC ，可得： OB - OA=OC - OD即 (5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y)(2,4)=(-1-x,4-y)D(-3 ，0)同理，若 AC= DB可得： (-4 ， 6)=(5-x,2-y). x=9,y=-4, D(9,-4)若 AB=CD 可得： (2 ， 4)=(x+1,y-4) x

6、=1,y=8. D(1,8)點 D的坐標為 (-3 ， 0)或(9 ， -4) 或(1 ，8)例 4 已知 a =10, b =(3,-4), 且ab, 求a.例 5 已知 a =(3,2), b =(-2,1), c =(7,-4), 用 a ， b 表示 c.例 6 如圖，已知凸四邊形 ABCD中， E、F 分別是 AB 與 CD的中點，試 證： 2EF = AD+BC【難題巧解點拔】例 1 已知：點 A（2， 3） 、B（5 ， 4） ，C（7，10）若 AP=AB+· AC （ R）, 試求為何值時，點 P 在一、三象限 角平分線上 ?點 P 在第三象限內 ?例 2 如圖已知

7、 OA=a, OB=b, OC =c,求證 A、B、C三點在一條直線上的充要條件是： 有不全為 0的實數 m,n,l ，使得 l a +mb +nc =0且 l+m+n=0【典型熱點考題】例 1 若向量 a =(1,2), b =(x,1), u=a+2b, v=2a- b,且u v， 則 x= .解： u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4)v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3)4解得： 31x2由uv,一定存在 R，使 u=v 則有(2x+1,4)=(2-x),3 )2x 1 (2 x)431應填 1 .2例 2 若點 A（-1，2），B（2，3），C（3，-1），且 AD=2AB-3BC，則 點 D 的坐標為 .例 3 若