1、電磁理論的發(fā)展歷程電磁理論的發(fā)展歷程18201820年，奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)，隨后安培得年，奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)，隨后安培得出安培力定律；出安培力定律；18311831年，法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)定律；年，法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)定律；18451845年，法拉第引入年，法拉第引入“場(chǎng)場(chǎng)”的概念；的概念；18641864年，麥克斯韋以年，麥克斯韋以“麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組”建立了建立了系統(tǒng)的電磁理論系統(tǒng)的電磁理論18871887年，赫茲用實(shí)驗(yàn)證實(shí)電磁波的存在及其光的特性年，赫茲用實(shí)驗(yàn)證實(shí)電磁波的存在及其光的特性18951895年，波波夫和馬可尼實(shí)現(xiàn)了無(wú)線通信。年，波波夫和馬可尼實(shí)現(xiàn)了無(wú)線通信。靜電

2、場(chǎng)靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)恒定磁場(chǎng)恒定磁場(chǎng)時(shí)諧場(chǎng)時(shí)諧場(chǎng)平面波平面波麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組基基 本本 要要 求求 深刻理解標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)的概念；深刻理解標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)的概念； 深刻理解散度、旋度和梯度的物理意義并熟深刻理解散度、旋度和梯度的物理意義并熟練計(jì)算這三個(gè)度；練計(jì)算這三個(gè)度； 熟練使用直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)進(jìn)行熟練使用直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)進(jìn)行矢量的微積分運(yùn)算矢量的微積分運(yùn)算； 了解亥姆霍茲定理的內(nèi)容了解亥姆霍茲定理的內(nèi)容重重 點(diǎn)點(diǎn) 要要 求求在直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)中計(jì)算矢量場(chǎng)在直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)中計(jì)算矢量場(chǎng)的散度和旋度、標(biāo)量場(chǎng)的梯度以及矢量的線積的散度和旋度、

3、標(biāo)量場(chǎng)的梯度以及矢量的線積分、面積分和體積分。分、面積分和體積分。l 又稱(chēng)數(shù)學(xué)場(chǎng)論又稱(chēng)數(shù)學(xué)場(chǎng)論; ;l是研究各種類(lèi)型場(chǎng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)工具是研究各種類(lèi)型場(chǎng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)工具; ;l它的數(shù)學(xué)公式與場(chǎng)的物理概念緊密相關(guān)它的數(shù)學(xué)公式與場(chǎng)的物理概念緊密相關(guān); ;l把各種物理的場(chǎng)在數(shù)學(xué)上抽象成矢量場(chǎng)和把各種物理的場(chǎng)在數(shù)學(xué)上抽象成矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)來(lái)研究標(biāo)量場(chǎng)來(lái)研究。矢量運(yùn)算矢量運(yùn)算矢矢 量量 分分 析析矢量加法矢量加法矢量乘法矢量乘法矢量微積分矢量微積分 場(chǎng)的重要屬性場(chǎng)的重要屬性：占有一個(gè)空間，且在該區(qū)域占有一個(gè)空間，且在該區(qū)域中，除開(kāi)有限個(gè)點(diǎn)和某些表面外，場(chǎng)量是處處連續(xù)、中，除開(kāi)有限個(gè)點(diǎn)和某些表面外，場(chǎng)量是

4、處處連續(xù)、可微的。可微的。一一. . 什什 么么 是是 場(chǎng)場(chǎng) 如果在我們討論的空間中的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某如果在我們討論的空間中的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量（場(chǎng)量）的一個(gè)確定的值，就說(shuō)在這個(gè)空個(gè)物理量（場(chǎng)量）的一個(gè)確定的值，就說(shuō)在這個(gè)空間里確定了該物理量的一個(gè)間里確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)場(chǎng)。 在數(shù)學(xué)上在數(shù)學(xué)上，任何一個(gè)可以表示成空間和時(shí)間函，任何一個(gè)可以表示成空間和時(shí)間函數(shù)的量都可以稱(chēng)為數(shù)的量都可以稱(chēng)為場(chǎng)場(chǎng)。二二. . 場(chǎng)場(chǎng) 的的 分分 類(lèi)類(lèi)動(dòng)態(tài)場(chǎng)動(dòng)態(tài)場(chǎng)：場(chǎng)量與時(shí)間有關(guān)：場(chǎng)量與時(shí)間有關(guān) （時(shí)變場(chǎng)）（時(shí)變場(chǎng)） f ( x, y, z, t ) A( x, y, z ,t )標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)：場(chǎng)量是標(biāo)量：場(chǎng)量

5、是標(biāo)量 如：溫度場(chǎng)如：溫度場(chǎng)T(x,y,z)、密度場(chǎng)、密度場(chǎng)(x,y,z)靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)：場(chǎng)量與時(shí)間無(wú)關(guān)：場(chǎng)量與時(shí)間無(wú)關(guān) （恒定場(chǎng)）（恒定場(chǎng)） f ( x, y, z ) A( x, y, z)矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)：場(chǎng)量是矢量：場(chǎng)量是矢量如：速度場(chǎng)如：速度場(chǎng)v(x,y,z)、力場(chǎng)、力場(chǎng)F(x,y,z)2. 2. 圖示法：圖示法：u(x,y,z)： 等值面、等值線等值面、等值線u(x,y,z)=c1u(x,y,z)=c2u(x,y,z)=c3A(x,y,z)：矢線矢線 切向切向場(chǎng)量的場(chǎng)量的方向，疏密程度方向，疏密程度場(chǎng)量的大小。場(chǎng)量的大小。三三. . 場(chǎng)場(chǎng) 的的 表表 示示 方方 法法1. 1.數(shù)學(xué)法數(shù)學(xué)

6、法： f = f ( x, y, z )F(x,y,z)=exFx(x,y,z)+eyFy(x,y,z)+ezFz(x,y,z)手寫(xiě)體：手寫(xiě)體：FeFF標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)復(fù)習(xí)：矢量的代數(shù)運(yùn)算復(fù)習(xí)：矢量的代數(shù)運(yùn)算1. 1. 矢量加法：矢量加法： 定義定義：按平行四邊形或三角形法則相加：按平行四邊形或三角形法則相加ABA+BAB-BA-BA-B-BBAAA+BB 運(yùn)算法則運(yùn)算法則：a. A + B = B + Ab. A + B + C = ( A + B ) + C = A+( B + C )c. A B = A + ( -B )d. 若若 A=ex Ax(x,y,z) + ey Ay(x

7、,y,z) + ez Az(x,y,z) B= ex Bx(x,y,z) + ey By(x,y,z) + ez Bz(x,y,z) 則則 AB =ex (AxBy) +ey(AyBy )+ ez(AzBz) A=ex ( Ax) + ey ( Ay ) + ez ( Az )2. 2. 兩個(gè)矢量的標(biāo)量積兩個(gè)矢量的標(biāo)量積（點(diǎn)積，點(diǎn)乘點(diǎn)積，點(diǎn)乘）： 結(jié)果是標(biāo)量結(jié)果是標(biāo)量 定義定義：A B = A B cos 其中其中為為A 、 B間的夾角間的夾角 運(yùn)算法則運(yùn)算法則：a. A B = B A ( A+ B ) C = A C + B C b. A A = A 2直角坐標(biāo)中直角坐標(biāo)中， A A =

8、Ax2 + Ay2 + Az2A A 在在 B B 方向上的投影方向上的投影 AB c. 正交系中正交系中 ei ej =1 i = j0 i j 直角系中直角系中 A B = AxBx + AyBy +AzBzABBABABAABzzyyxx11coscosBAd. A B = 0 A B （可作為兩矢量相互垂直的判據(jù)可作為兩矢量相互垂直的判據(jù)）3. 兩個(gè)矢量的矢量積兩個(gè)矢量的矢量積（叉積、叉乘叉積、叉乘）： 結(jié)果是矢量結(jié)果是矢量 定義定義：C = A B 模值模值 C = A B =A B sin 方向方向 CA, CB 且 A ,B,C成右手螺旋關(guān)系成右手螺旋關(guān)系A(chǔ)BBsinC = A

9、B 運(yùn)算法則運(yùn)算法則：a. AB = -BA A(B+C)=AB+ACb. A A = 0 c. 正交系中正交系中 ei ej = 1 i j0 i = j直角系中直角系中 AB = ex(AyBz AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez( AxBy- AyBx) zyxzyxzyxBBBAAAeeeABBA1sind. A B = 0 A B （可作為兩矢量相互平行的判據(jù)）（可作為兩矢量相互平行的判據(jù)）4. 4. 三個(gè)矢量的混合積：三個(gè)矢量的混合積：AB C)(zzyyxxzyxzyxzyxCeCeCeBBBAAAeeezyxzyxzyxBBBAAACCC 由行列式交換法則可得由行列式

10、交換法則可得： (AB)C = (BC) A =(CA)B =-(BA)C = -(CB) A =- - (AC)B 物理意義：物理意義：以以 A、B 、C為鄰邊的平行六面體的體積為鄰邊的平行六面體的體積ABC 正正 交交 坐坐 標(biāo)標(biāo) 系系 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介常用的正交坐標(biāo)系有常用的正交坐標(biāo)系有3 3種：種：直角直角圓柱圓柱球球 一一. . 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系xeyeze單位矢量單位矢量任意矢量任意矢量A在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式zzyyxxeAeAeAA直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中x yz長(zhǎng)度元、面積元、體積元長(zhǎng)度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdd

11、dzxeSyyddd體積元體積元面積元面積元zzyyxxedledledll d長(zhǎng)度元矢量長(zhǎng)度元矢量zyxedzedyedx直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中A矢量：矢量： xxyyzzAe Ae Ae A B矢量：矢量：xxyyzzBe Be Be B ()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB xxyyzzA BA BA BA B ()()()xyyxyzzyyzxxzzxyyxxyzxyzeeeA B e ABABe ABABe ABABAAABBB （圓柱坐標(biāo)系及（圓柱坐標(biāo)系及 球坐標(biāo)系下相應(yīng)知識(shí)）類(lèi)似球坐標(biāo)系下相應(yīng)知識(shí)）類(lèi)似二二. . 圓圓 柱柱 坐坐 標(biāo)標(biāo) 系系P ( , , z

12、) P到到z軸垂直距離軸垂直距離 與與+x軸的夾角軸的夾角z xzyOezeezP1. 叉乘關(guān)系叉乘關(guān)系： (e)( e )(ez)1 i = j0 i j ei ej =2. 2. 點(diǎn)乘關(guān)系點(diǎn)乘關(guān)系：3. 3. 換算關(guān)系換算關(guān)系：sincosyxxyyxtan22cossinsincosyxyxeeeeeecossinsincoseeeeeeyxexyxyOex eyecossinsincosyxyxeeeeee注意注意： nex 、 ey 、ez是常矢量，模值為是常矢量，模值為1，方向不變。，方向不變。ne、 e 模值為模值為1，但方向隨，但方向隨 變化，是變化，是 的函數(shù)，是變矢。的函數(shù)

13、，是變矢。 exyxyOeeeeeyxcossineeeeyxsincos4. 4. 位置矢量位置矢量r ：（從原點(diǎn)指向某點(diǎn)）從原點(diǎn)指向某點(diǎn)）直角直角：r = ex x + ey y + ezz 圓柱圓柱：r = e + ezz5. 5.線元矢量線元矢量: :（位移矢量）（位移矢量）)(ddzeezrdrr+drrxyOezzrzeeddzdPzedeezddddlddddzeeez6. 6. 面元矢量面元矢量：方向的定義：方向的定義： 開(kāi)表面開(kāi)表面與面積外沿的繞向呈右手螺旋關(guān)系與面積外沿的繞向呈右手螺旋關(guān)系dS 閉合面閉合面外法線方向外法線方向dSdS例如直角系中例如直角系中：dS = ex

14、 dSx + eydSy + ezdSz 其中其中 dSx =dydz，dSy =dxdz，dSz =dxdy 分別是分別是dS在在yOz面面，xOz面和面和xOy面上的投影面上的投影7. 7. 體積元體積元：直角系中直角系中圓柱系中圓柱系中dV=dx dy dzdV= d d dzxyOezzrzeeddzdP圓柱系中圓柱系中： dS = e dS+ edS + ezdSzdS= d dz， dS =ddz，dSz=dd二球坐標(biāo)系二球坐標(biāo)系ezxyereOrPP ( r， )r P到球心距離到球心距離1. 叉乘關(guān)系叉乘關(guān)系： (er)(e )(e ) 0 r與與+z軸的夾角軸的夾角 r在在x

15、Oy面上的面上的投影投影（）與與 +x 軸的夾角軸的夾角1 i = j0 i j ei ej =2. 2. 點(diǎn)乘關(guān)系點(diǎn)乘關(guān)系：3. 3. 換算關(guān)系換算關(guān)系：cossinsinsincoscossinrzryrxxyzzyxzzyxrtantan2222222zxereOrPyecossinsincossincoscoscossinsinsincosyxzyxzyxreeeeeeeeeeezxereOrPyesincoscossincossinsinsincoscoscossineeeeeeeeeeerzryrx注意注意： er (，）、 e (，） 、e (）均不均不是常矢量是常矢量zxere

16、OrPyecossin0cossineeeeeeeeeeeerrrr4. 4. 位置矢量位置矢量： r = e r r5. 5. 線元矢量線元矢量: :)dd(drrreerre)(ddrerrlddsinddrerererzxyereeOd d rdr6. 6. 矢量面元：矢量面元：dS = er dSr+ edS + edSdS =rsinddr7. 7. 體積元體積元：dV = r2 sin drd dlrddsindddrerererdSr=r2sind d dS=rd drzxyereeOd d rdrxeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)

17、系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)ereeecossincossinsincos0直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系xeyesinsinsincoscossinoz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 oxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 xeyeeezeeree四四. .坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 一一. . 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 定義定義：ludd 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) u ( r ) 在在l

18、 l方向上的變化率方向上的變化率在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，dl dx、dy、dz，全微分：全微分：zzuyyuxxuudddd則則 u（r）在在dl方向上的方向?qū)?shù)為方向上的方向?qū)?shù)為lzzulyyulxxuludddddddd u 沿沿x方向的變化率方向的變化率xudd例如：例如：在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中zueyuexueuzyx在圓柱坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中zueueueuz在球坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中sinrueruerueur二標(biāo)量場(chǎng)的梯度二標(biāo)量場(chǎng)的梯度三梯度的性質(zhì)三梯度的性質(zhì)1. 1. 一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)。一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)。 u 矢量矢量2. 2. 在空

19、間任何一點(diǎn)，梯度的方向總是與過(guò)該點(diǎn)的在空間任何一點(diǎn)，梯度的方向總是與過(guò)該點(diǎn)的等值面相垂直，即梯度的方向與等值面的法線方等值面相垂直，即梯度的方向與等值面的法線方向是一致的。向是一致的。u0 u0+dudlu3. 3. 在空間任何一點(diǎn)，梯度的模都等于標(biāo)量場(chǎng)在在空間任何一點(diǎn)，梯度的模都等于標(biāo)量場(chǎng)在 該點(diǎn)的方向?qū)?shù)可能取得的最大值。該點(diǎn)的方向?qū)?shù)可能取得的最大值。證：證：cosddueulul其中其中為為 u與與dl之間的夾角之間的夾角ludd最大最大即即ulumaxdd當(dāng)當(dāng) = 0時(shí)，時(shí)，u0 u0+dudlumaxddluu 4. 4. 在空間任何一點(diǎn)，梯度的方向都指向標(biāo)量場(chǎng)在空間任何一點(diǎn)，梯度

20、的方向都指向標(biāo)量場(chǎng) 場(chǎng)量增加的方向。場(chǎng)量增加的方向。u0 u0+dudlu5. 5. 一個(gè)單值標(biāo)量場(chǎng)梯度的線積分僅與曲線的起止點(diǎn)一個(gè)單值標(biāo)量場(chǎng)梯度的線積分僅與曲線的起止點(diǎn) 有關(guān)，而與曲線的形狀無(wú)關(guān)。即一個(gè)單值標(biāo)量場(chǎng)有關(guān)，而與曲線的形狀無(wú)關(guān)。即一個(gè)單值標(biāo)量場(chǎng) 的梯度是一個(gè)保守的矢量場(chǎng)。的梯度是一個(gè)保守的矢量場(chǎng)。證：證：ldddduueulul)()(dd1221PuPuuuPPcl得得若若P1、P2重合，則重合，則0d culP1P2由由0d cul6. 6. 運(yùn)算法則：運(yùn)算法則：(uv) = (vu) = vu + uv（f A）= Af + f A（f A）= f A + f A u = 0

21、( u + v ) = ( v + u ) = u + v四四. . 梯度的物理意義梯度的物理意義 在空間任何一點(diǎn)，標(biāo)量場(chǎng)梯度的在空間任何一點(diǎn)，標(biāo)量場(chǎng)梯度的方向方向是該是該點(diǎn)標(biāo)量場(chǎng)場(chǎng)量增加最快的方向；它的點(diǎn)標(biāo)量場(chǎng)場(chǎng)量增加最快的方向；它的模模是由該是由該點(diǎn)向各個(gè)不同方向移動(dòng)時(shí)場(chǎng)量可能有的最大增點(diǎn)向各個(gè)不同方向移動(dòng)時(shí)場(chǎng)量可能有的最大增加率。加率。標(biāo)量場(chǎng)的梯度是標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)量空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)的梯度是標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)量空間變化率。u0 u0+dudlu例1.3.1 已知 R=ex(x-x)+ey(y-y)+ez(z-z)RR 求證： )()(3)1(213RfRfRRRR RR證： 222)()()(1zz

22、yyxxRRRxxzzyyxxxxxR222)()()(同理可得：RyyyRRzzzRzReyRexReRzyxRRRzzeyyexxeRzyx)()()( )1()1()1()1(2RzeRyeRxeRzyxxRRRx21)1(yRRRy21)1(zRRRz21)1(RRzReyRexReRRzyx221)(1)1(321)1(RRRRRRRRR(3)設(shè)有標(biāo)量場(chǎng)，求證：以設(shè)有標(biāo)量場(chǎng)，求證：以(x,y,z)為動(dòng)點(diǎn)的梯度為動(dòng)點(diǎn)的梯度f(wàn)（R）與以與以（x，y，z）為動(dòng)點(diǎn)時(shí)的梯度為動(dòng)點(diǎn)時(shí)的梯度f(wàn)（R）之間有如下關(guān)系：之間有如下關(guān)系：f（R）= - f（R）zfeyfexfefzyxzfeyfexfe

23、fzyxO rrR(x, y, z)(x，y，z)其中：RxxRfxRRfxfxfRxxRfxRRfxf)(O rrR(x, y, z)(x，y，z)同理同理zfzfyfyf)()(RRfzfeyfexfefzyx證明：一一. . 矢量場(chǎng)的矢量線矢量場(chǎng)的矢量線1. 1. 矢量線的定義矢量線的定義: :形象的描述矢量在空間分布的有形象的描述矢量在空間分布的有向曲線向曲線靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)線 rE磁場(chǎng)中的磁場(chǎng)線 rB例如：例如：2. 2. 矢量線的特點(diǎn)矢量線的特點(diǎn): :在矢量線上任意一點(diǎn)的切線方向都與該點(diǎn)的場(chǎng)矢在矢量線上任意一點(diǎn)的切線方向都與該點(diǎn)的場(chǎng)矢量方向相同量方向相同3. 3. 矢量線的微分方程矢

24、量線的微分方程: :0)(rFrd（1）定義式）定義式：rd：矢量切線方向上的微分矢量：矢量切線方向上的微分矢量物理意義物理意義： 與與 夾角為零。夾角為零。即，二者方向相同即，二者方向相同rd)(rF（2）在直角坐標(biāo)系下的形式）在直角坐標(biāo)系下的形式)()()(rFdzrFdyrFdxzyx例例1.4.11.4.1已知：已知：點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)，任意場(chǎng)點(diǎn)的點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)，任意場(chǎng)點(diǎn)的（x,y,zx,y,z）處的電場(chǎng)強(qiáng)度，）處的電場(chǎng)強(qiáng)度， rrqrE304)(其中其中 為介電常數(shù)，位置矢量：為介電常數(shù)，位置矢量：求：求： 的矢量線的矢量線0zeyexerzyxE解：解：)(443030zeye

25、xerqrrqEzyx代入方程組代入方程組 得得zyxEdzEdyEdxzdzydyxdx即即zdzxdxzdzydy解方程組得解方程組得1lnlnczx2lnlnczy1lnczx2lnczy11cezxc22cezyczcx1zcy2一一. . 矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量1. 1. 通量的定義通量的定義: :(1)(1)矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)A A穿過(guò)面元穿過(guò)面元dS S的通量：的通量：SAdcosdSA(2)(2)矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)A A穿過(guò)開(kāi)表面穿過(guò)開(kāi)表面S S的通量的通量：SSSAdcosdSA(3)(3)矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)A A穿過(guò)閉合面穿過(guò)閉合面S S的通量的通量：SSSAdcosdSA2. 2. 通量

26、的物理意義通量的物理意義：以流體為例，若以流體為例，若0dSSv每秒有凈流量每秒有凈流量流出，包面內(nèi)流出，包面內(nèi)有有正源正源0dSSv每秒有凈流量每秒有凈流量流入，包面內(nèi)流入，包面內(nèi)有有負(fù)源負(fù)源每秒流入包面和流每秒流入包面和流出包面的凈流量相出包面的凈流量相等，包面內(nèi)等，包面內(nèi)無(wú)源無(wú)源，或正源與負(fù)源相等或正源與負(fù)源相等0dSSv二二. . 矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的散度1. 1. 散度的定義散度的定義: :VSSVdlimdiv0AA2. 2. 散度的數(shù)學(xué)計(jì)算式散度的數(shù)學(xué)計(jì)算式: :PAzAxAyzxyPOyxz123zAyAxAzyxVSSVdlimdiv0AAzAyAxAzyxA)()(zzyy

27、xxzyxAeAeAezeyexe式中式中zeyexezyx定義為定義為矢量矢量微分算子，也叫漢密頓算符。微分算子，也叫漢密頓算符。VSSVdlimdiv0AA圓柱系中：圓柱系中：zAAAz1)(1A球系中：球系中：ArArrArrrsin1)(sinsin1)(122A3. 3. 矢量場(chǎng)散度的性質(zhì)：矢量場(chǎng)散度的性質(zhì)：a. . 一個(gè)矢量場(chǎng)的散度在空間構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。一個(gè)矢量場(chǎng)的散度在空間構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。b. 矢量場(chǎng)的散度反映了矢量場(chǎng)在空間各點(diǎn)的凈通量狀態(tài)矢量場(chǎng)的散度反映了矢量場(chǎng)在空間各點(diǎn)的凈通量狀態(tài)有散場(chǎng)有散場(chǎng) 有散場(chǎng)有散場(chǎng) 無(wú)散場(chǎng)無(wú)散場(chǎng)0A0A0Ac. 散度具有通量體密度的量綱。散度具有通量

28、體密度的量綱。d. BAABBA)()(三三. . 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理） 1. 1. 定理內(nèi)容定理內(nèi)容：設(shè)在空間有一閉合曲面設(shè)在空間有一閉合曲面S S，它所包圍的空，它所包圍的空 間體積為間體積為V，如果矢量場(chǎng)，如果矢量場(chǎng)A A在在S S和和V上都是連續(xù)可導(dǎo)的，上都是連續(xù)可導(dǎo)的，則則VSVddASA 表明了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合面發(fā)出的凈通量與矢量表明了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合面發(fā)出的凈通量與矢量場(chǎng)在曲面內(nèi)的通量源之間的關(guān)系。場(chǎng)在曲面內(nèi)的通量源之間的關(guān)系。一一. . 矢量場(chǎng)的環(huán)量（環(huán)流）矢量場(chǎng)的環(huán)量（環(huán)流）1. 1. 矢量場(chǎng)做功：矢量場(chǎng)做功：llFdP1 P22. 2. 環(huán)流的定義：環(huán)流的定

29、義：cclAdcosdlA直角系中直角系中czyxczAyAxA)ddd(dlA圓柱系中圓柱系中czczAAA)ddd(dlA球系中球系中crcrArArA)dsindd(dlA3 3 環(huán)量的物理意義：環(huán)量的物理意義：0dclA表明表明c包圍渦旋源包圍渦旋源0dclA表明表明c不包含渦旋源不包含渦旋源水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng) =0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)0，有產(chǎn)生渦旋的源有產(chǎn)生渦旋的源例：例：流速場(chǎng)流速場(chǎng)二二. . 矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度1. 1. 旋度的定義：旋度的定義：對(duì)對(duì)M點(diǎn)，仿照散度的定義，取點(diǎn)，仿照散度的定義，取ScMSlA

30、dlim)(0（環(huán)流面密度）環(huán)流面密度）顯然，上面的算式與積分路徑的選取有關(guān)顯然，上面的算式與積分路徑的選取有關(guān)SSScMScMScMS123dlimdlimdlim)(0)(0)(0lAlAlAM Ac1c2c3n3n2n定義：定義：dlimmaxrot)(0ScMSlAnA其中其中n是最大環(huán)流密度所在環(huán)路的單位法線方向是最大環(huán)流密度所在環(huán)路的單位法線方向(rotation)柱坐標(biāo)：柱坐標(biāo)：AzzAAAzeee2. 2. 旋度的數(shù)學(xué)計(jì)算式：旋度的數(shù)學(xué)計(jì)算式：zyxzyxAAAzyxeeeA直角坐標(biāo)：直角坐標(biāo)：AArot球坐標(biāo)：球坐標(biāo)：ArrAArrererersinsinsin2A 求求A=

31、 exx2 + eyy2 + ezz2 沿著沿著 xy面上的一個(gè)閉合回路面上的一個(gè)閉合回路c的線積的線積 分。如圖所示，再計(jì)算分。如圖所示，再計(jì)算A。P(2,)2y2=xOyx解：解： 回路回路c在在xOy面上面上，dz = 0 0224202202d)2(dddyyyyyyxxclAyyxxddd22 lA0236203203)33(33yyyx= 0例例1.61.60222zyxzyxeeezyxA討論討論： A = ex x2 + ey y2 + ez z2 = er r2是輻射狀的場(chǎng)，是輻射狀的場(chǎng)，必定是無(wú)旋的。必定是無(wú)旋的。A= exx2 + eyy2 + ezz2P(2,)2y2=

32、xOyx3. 3. 旋度的性質(zhì)：旋度的性質(zhì)：a. 一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度構(gòu)成一個(gè)新的矢量場(chǎng)。一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度構(gòu)成一個(gè)新的矢量場(chǎng)。b. . 分類(lèi)：有旋場(chǎng)、分類(lèi)：有旋場(chǎng)、無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)c. . 旋度具有環(huán)流面密度的量綱。旋度具有環(huán)流面密度的量綱。d. ( A + B ) = A + B ( A ) = 0說(shuō)明任一矢量場(chǎng)的旋度一定是無(wú)散的。反過(guò)來(lái)也成立，即說(shuō)明任一矢量場(chǎng)的旋度一定是無(wú)散的。反過(guò)來(lái)也成立，即若若 B B=0 ，則一定對(duì)應(yīng)著一個(gè)矢量場(chǎng)則一定對(duì)應(yīng)著一個(gè)矢量場(chǎng)A A，使，使B B= A A。三三. . 斯托克斯斯托克斯（stockes)定理定理ScSAlAdd 1 1、定義、定義：一個(gè)矢量場(chǎng)：一個(gè)矢量場(chǎng) ，對(duì)任意閉合路徑都有，對(duì)任意閉合路徑都有0d clFF無(wú)旋場(chǎng)對(duì)應(yīng)著一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)對(duì)應(yīng)著一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)uuF0 F則稱(chēng)其為無(wú)旋場(chǎng)則稱(chēng)其為無(wú)旋場(chǎng)一、無(wú)旋場(chǎng)一、無(wú)旋場(chǎng)2 2、恒等式、恒等式：梯度的旋度恒為零：梯度的旋度恒為零 0)(0)(證明證明：xyzdddeeedxdydz 222222()()()()()0 xyzxyzeeedddeeedxdydzz yz yx zx zx yx yddddxdydz 1、定義、定義：一個(gè)矢量場(chǎng)一個(gè)矢量場(chǎng)F F，對(duì)任意閉合面都有，對(duì)任意閉合面都有0d S