1、電磁理論的發(fā)展歷程電磁理論的發(fā)展歷程18201820年，奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應，隨后安培得年，奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應，隨后安培得出安培力定律；出安培力定律；18311831年，法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應定律；年，法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應定律；18451845年，法拉第引入年，法拉第引入“場場”的概念；的概念；18641864年，麥克斯韋以年，麥克斯韋以“麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組”建立了建立了系統(tǒng)的電磁理論系統(tǒng)的電磁理論18871887年，赫茲用實驗證實電磁波的存在及其光的特性年，赫茲用實驗證實電磁波的存在及其光的特性18951895年，波波夫和馬可尼實現(xiàn)了無線通信。年，波波夫和馬可尼實現(xiàn)了無線通信。靜電

2、場靜電場恒定電場恒定電場恒定磁場恒定磁場時諧場時諧場平面波平面波麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組基基 本本 要要 求求 深刻理解標量場和矢量場的概念；深刻理解標量場和矢量場的概念； 深刻理解散度、旋度和梯度的物理意義并熟深刻理解散度、旋度和梯度的物理意義并熟練計算這三個度；練計算這三個度； 熟練使用直角坐標、圓柱坐標和球坐標進行熟練使用直角坐標、圓柱坐標和球坐標進行矢量的微積分運算矢量的微積分運算； 了解亥姆霍茲定理的內容了解亥姆霍茲定理的內容重重 點點 要要 求求在直角坐標、圓柱坐標和球坐標中計算矢量場在直角坐標、圓柱坐標和球坐標中計算矢量場的散度和旋度、標量場的梯度以及矢量的線積的散度和旋度、

3、標量場的梯度以及矢量的線積分、面積分和體積分。分、面積分和體積分。l 又稱數(shù)學場論又稱數(shù)學場論; ;l是研究各種類型場運動規(guī)律的數(shù)學工具是研究各種類型場運動規(guī)律的數(shù)學工具; ;l它的數(shù)學公式與場的物理概念緊密相關它的數(shù)學公式與場的物理概念緊密相關; ;l把各種物理的場在數(shù)學上抽象成矢量場和把各種物理的場在數(shù)學上抽象成矢量場和標量場來研究標量場來研究。矢量運算矢量運算矢矢 量量 分分 析析矢量加法矢量加法矢量乘法矢量乘法矢量微積分矢量微積分 場的重要屬性場的重要屬性：占有一個空間，且在該區(qū)域占有一個空間，且在該區(qū)域中，除開有限個點和某些表面外，場量是處處連續(xù)、中，除開有限個點和某些表面外，場量是

4、處處連續(xù)、可微的。可微的。一一. . 什什 么么 是是 場場 如果在我們討論的空間中的每一點都對應著某如果在我們討論的空間中的每一點都對應著某個物理量（場量）的一個確定的值，就說在這個空個物理量（場量）的一個確定的值，就說在這個空間里確定了該物理量的一個間里確定了該物理量的一個場場。 在數(shù)學上在數(shù)學上，任何一個可以表示成空間和時間函，任何一個可以表示成空間和時間函數(shù)的量都可以稱為數(shù)的量都可以稱為場場。二二. . 場場 的的 分分 類類動態(tài)場動態(tài)場：場量與時間有關：場量與時間有關 （時變場）（時變場） f ( x, y, z, t ) A( x, y, z ,t )標量場標量場：場量是標量：場量

5、是標量 如：溫度場如：溫度場T(x,y,z)、密度場、密度場(x,y,z)靜態(tài)場靜態(tài)場：場量與時間無關：場量與時間無關 （恒定場）（恒定場） f ( x, y, z ) A( x, y, z)矢量場矢量場：場量是矢量：場量是矢量如：速度場如：速度場v(x,y,z)、力場、力場F(x,y,z)2. 2. 圖示法：圖示法：u(x,y,z)： 等值面、等值線等值面、等值線u(x,y,z)=c1u(x,y,z)=c2u(x,y,z)=c3A(x,y,z)：矢線矢線 切向切向場量的場量的方向，疏密程度方向，疏密程度場量的大小。場量的大小。三三. . 場場 的的 表表 示示 方方 法法1. 1.數(shù)學法數(shù)學

6、法： f = f ( x, y, z )F(x,y,z)=exFx(x,y,z)+eyFy(x,y,z)+ezFz(x,y,z)手寫體：手寫體：FeFF標量場標量場矢量場矢量場復習：矢量的代數(shù)運算復習：矢量的代數(shù)運算1. 1. 矢量加法：矢量加法： 定義定義：按平行四邊形或三角形法則相加：按平行四邊形或三角形法則相加ABA+BAB-BA-BA-B-BBAAA+BB 運算法則運算法則：a. A + B = B + Ab. A + B + C = ( A + B ) + C = A+( B + C )c. A B = A + ( -B )d. 若若 A=ex Ax(x,y,z) + ey Ay(x

7、,y,z) + ez Az(x,y,z) B= ex Bx(x,y,z) + ey By(x,y,z) + ez Bz(x,y,z) 則則 AB =ex (AxBy) +ey(AyBy )+ ez(AzBz) A=ex ( Ax) + ey ( Ay ) + ez ( Az )2. 2. 兩個矢量的標量積兩個矢量的標量積（點積，點乘點積，點乘）： 結果是標量結果是標量 定義定義：A B = A B cos 其中其中為為A 、 B間的夾角間的夾角 運算法則運算法則：a. A B = B A ( A+ B ) C = A C + B C b. A A = A 2直角坐標中直角坐標中， A A =

8、Ax2 + Ay2 + Az2A A 在在 B B 方向上的投影方向上的投影 AB c. 正交系中正交系中 ei ej =1 i = j0 i j 直角系中直角系中 A B = AxBx + AyBy +AzBzABBABABAABzzyyxx11coscosBAd. A B = 0 A B （可作為兩矢量相互垂直的判據(jù)可作為兩矢量相互垂直的判據(jù)）3. 兩個矢量的矢量積兩個矢量的矢量積（叉積、叉乘叉積、叉乘）： 結果是矢量結果是矢量 定義定義：C = A B 模值模值 C = A B =A B sin 方向方向 CA, CB 且 A ,B,C成右手螺旋關系成右手螺旋關系ABBsinC = A

9、B 運算法則運算法則：a. AB = -BA A(B+C)=AB+ACb. A A = 0 c. 正交系中正交系中 ei ej = 1 i j0 i = j直角系中直角系中 AB = ex(AyBz AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez( AxBy- AyBx) zyxzyxzyxBBBAAAeeeABBA1sind. A B = 0 A B （可作為兩矢量相互平行的判據(jù)）（可作為兩矢量相互平行的判據(jù)）4. 4. 三個矢量的混合積：三個矢量的混合積：AB C)(zzyyxxzyxzyxzyxCeCeCeBBBAAAeeezyxzyxzyxBBBAAACCC 由行列式交換法則可得由行列式

10、交換法則可得： (AB)C = (BC) A =(CA)B =-(BA)C = -(CB) A =- - (AC)B 物理意義：物理意義：以以 A、B 、C為鄰邊的平行六面體的體積為鄰邊的平行六面體的體積ABC 正正 交交 坐坐 標標 系系 簡簡 介介常用的正交坐標系有常用的正交坐標系有3 3種：種：直角直角圓柱圓柱球球 一一. . 直角坐標系直角坐標系xeyeze單位矢量單位矢量任意矢量任意矢量A在直角坐標系下的表達式在直角坐標系下的表達式zzyyxxeAeAeAA直角坐標系中直角坐標系中x yz長度元、面積元、體積元長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdd

11、dzxeSyyddd體積元體積元面積元面積元zzyyxxedledledll d長度元矢量長度元矢量zyxedzedyedx直角坐標系中直角坐標系中A矢量：矢量： xxyyzzAe Ae Ae A B矢量：矢量：xxyyzzBe Be Be B ()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB xxyyzzA BA BA BA B ()()()xyyxyzzyyzxxzzxyyxxyzxyzeeeA B e ABABe ABABe ABABAAABBB （圓柱坐標系及（圓柱坐標系及 球坐標系下相應知識）類似球坐標系下相應知識）類似二二. . 圓圓 柱柱 坐坐 標標 系系P ( , , z

12、) P到到z軸垂直距離軸垂直距離 與與+x軸的夾角軸的夾角z xzyOezeezP1. 叉乘關系叉乘關系： (e)( e )(ez)1 i = j0 i j ei ej =2. 2. 點乘關系點乘關系：3. 3. 換算關系換算關系：sincosyxxyyxtan22cossinsincosyxyxeeeeeecossinsincoseeeeeeyxexyxyOex eyecossinsincosyxyxeeeeee注意注意： nex 、 ey 、ez是常矢量，模值為是常矢量，模值為1，方向不變。，方向不變。ne、 e 模值為模值為1，但方向隨，但方向隨 變化，是變化，是 的函數(shù)，是變矢。的函數(shù)

13、，是變矢。 exyxyOeeeeeyxcossineeeeyxsincos4. 4. 位置矢量位置矢量r ：（從原點指向某點）從原點指向某點）直角直角：r = ex x + ey y + ezz 圓柱圓柱：r = e + ezz5. 5.線元矢量線元矢量: :（位移矢量）（位移矢量）)(ddzeezrdrr+drrxyOezzrzeeddzdPzedeezddddlddddzeeez6. 6. 面元矢量面元矢量：方向的定義：方向的定義： 開表面開表面與面積外沿的繞向呈右手螺旋關系與面積外沿的繞向呈右手螺旋關系dS 閉合面閉合面外法線方向外法線方向dSdS例如直角系中例如直角系中：dS = ex

14、 dSx + eydSy + ezdSz 其中其中 dSx =dydz，dSy =dxdz，dSz =dxdy 分別是分別是dS在在yOz面面，xOz面和面和xOy面上的投影面上的投影7. 7. 體積元體積元：直角系中直角系中圓柱系中圓柱系中dV=dx dy dzdV= d d dzxyOezzrzeeddzdP圓柱系中圓柱系中： dS = e dS+ edS + ezdSzdS= d dz， dS =ddz，dSz=dd二球坐標系二球坐標系ezxyereOrPP ( r， )r P到球心距離到球心距離1. 叉乘關系叉乘關系： (er)(e )(e ) 0 r與與+z軸的夾角軸的夾角 r在在x

15、Oy面上的面上的投影投影（）與與 +x 軸的夾角軸的夾角1 i = j0 i j ei ej =2. 2. 點乘關系點乘關系：3. 3. 換算關系換算關系：cossinsinsincoscossinrzryrxxyzzyxzzyxrtantan2222222zxereOrPyecossinsincossincoscoscossinsinsincosyxzyxzyxreeeeeeeeeeezxereOrPyesincoscossincossinsinsincoscoscossineeeeeeeeeeerzryrx注意注意： er (，）、 e (，） 、e (）均不均不是常矢量是常矢量zxere

16、OrPyecossin0cossineeeeeeeeeeeerrrr4. 4. 位置矢量位置矢量： r = e r r5. 5. 線元矢量線元矢量: :)dd(drrreerre)(ddrerrlddsinddrerererzxyereeOd d rdr6. 6. 矢量面元：矢量面元：dS = er dSr+ edS + edSdS =rsinddr7. 7. 體積元體積元：dV = r2 sin drd dlrddsindddrerererdSr=r2sind d dS=rd drzxyereeOd d rdrxeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標直角坐標與與圓柱坐標

17、系圓柱坐標系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標圓柱坐標與與球坐標系球坐標系zereeecossincossinsincos0直角坐標直角坐標與與球坐標系球坐標系xeyesinsinsincoscossinoz單位圓單位圓 柱坐標系與球坐標系之間柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系 oxy單位圓單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系 xeyeeezeeree四四. .坐標單位矢量之間的關系坐標單位矢量之間的關系 一一. . 方向導數(shù)方向導數(shù) 定義定義：ludd 標量場標量場 u ( r ) 在在l

18、 l方向上的變化率方向上的變化率在直角坐標系中，在直角坐標系中，dl dx、dy、dz，全微分：全微分：zzuyyuxxuudddd則則 u（r）在在dl方向上的方向導數(shù)為方向上的方向導數(shù)為lzzulyyulxxuludddddddd u 沿沿x方向的變化率方向的變化率xudd例如：例如：在直角坐標系中在直角坐標系中zueyuexueuzyx在圓柱坐標系中在圓柱坐標系中zueueueuz在球坐標系中在球坐標系中sinrueruerueur二標量場的梯度二標量場的梯度三梯度的性質三梯度的性質1. 1. 一個標量場的梯度構成一個矢量場。一個標量場的梯度構成一個矢量場。 u 矢量矢量2. 2. 在空

19、間任何一點，梯度的方向總是與過該點的在空間任何一點，梯度的方向總是與過該點的等值面相垂直，即梯度的方向與等值面的法線方等值面相垂直，即梯度的方向與等值面的法線方向是一致的。向是一致的。u0 u0+dudlu3. 3. 在空間任何一點，梯度的模都等于標量場在在空間任何一點，梯度的模都等于標量場在 該點的方向導數(shù)可能取得的最大值。該點的方向導數(shù)可能取得的最大值。證：證：cosddueulul其中其中為為 u與與dl之間的夾角之間的夾角ludd最大最大即即ulumaxdd當當 = 0時，時，u0 u0+dudlumaxddluu 4. 4. 在空間任何一點，梯度的方向都指向標量場在空間任何一點，梯度

20、的方向都指向標量場 場量增加的方向。場量增加的方向。u0 u0+dudlu5. 5. 一個單值標量場梯度的線積分僅與曲線的起止點一個單值標量場梯度的線積分僅與曲線的起止點 有關，而與曲線的形狀無關。即一個單值標量場有關，而與曲線的形狀無關。即一個單值標量場 的梯度是一個保守的矢量場。的梯度是一個保守的矢量場。證：證：ldddduueulul)()(dd1221PuPuuuPPcl得得若若P1、P2重合，則重合，則0d culP1P2由由0d cul6. 6. 運算法則：運算法則：(uv) = (vu) = vu + uv（f A）= Af + f A（f A）= f A + f A u = 0

21、( u + v ) = ( v + u ) = u + v四四. . 梯度的物理意義梯度的物理意義 在空間任何一點，標量場梯度的在空間任何一點，標量場梯度的方向方向是該是該點標量場場量增加最快的方向；它的點標量場場量增加最快的方向；它的模模是由該是由該點向各個不同方向移動時場量可能有的最大增點向各個不同方向移動時場量可能有的最大增加率。加率。標量場的梯度是標量場的場量空間變化率。標量場的梯度是標量場的場量空間變化率。u0 u0+dudlu例1.3.1 已知 R=ex(x-x)+ey(y-y)+ez(z-z)RR 求證： )()(3)1(213RfRfRRRR RR證： 222)()()(1zz

22、yyxxRRRxxzzyyxxxxxR222)()()(同理可得：RyyyRRzzzRzReyRexReRzyxRRRzzeyyexxeRzyx)()()( )1()1()1()1(2RzeRyeRxeRzyxxRRRx21)1(yRRRy21)1(zRRRz21)1(RRzReyRexReRRzyx221)(1)1(321)1(RRRRRRRRR(3)設有標量場，求證：以設有標量場，求證：以(x,y,z)為動點的梯度為動點的梯度f（R）與以與以（x，y，z）為動點時的梯度為動點時的梯度f（R）之間有如下關系：之間有如下關系：f（R）= - f（R）zfeyfexfefzyxzfeyfexfe

23、fzyxO rrR(x, y, z)(x，y，z)其中：RxxRfxRRfxfxfRxxRfxRRfxf)(O rrR(x, y, z)(x，y，z)同理同理zfzfyfyf)()(RRfzfeyfexfefzyx證明：一一. . 矢量場的矢量線矢量場的矢量線1. 1. 矢量線的定義矢量線的定義: :形象的描述矢量在空間分布的有形象的描述矢量在空間分布的有向曲線向曲線靜電場中的電場線 rE磁場中的磁場線 rB例如：例如：2. 2. 矢量線的特點矢量線的特點: :在矢量線上任意一點的切線方向都與該點的場矢在矢量線上任意一點的切線方向都與該點的場矢量方向相同量方向相同3. 3. 矢量線的微分方程矢

24、量線的微分方程: :0)(rFrd（1）定義式）定義式：rd：矢量切線方向上的微分矢量：矢量切線方向上的微分矢量物理意義物理意義： 與與 夾角為零。夾角為零。即，二者方向相同即，二者方向相同rd)(rF（2）在直角坐標系下的形式）在直角坐標系下的形式)()()(rFdzrFdyrFdxzyx例例1.4.11.4.1已知：已知：點電荷位于坐標原點，任意場點的點電荷位于坐標原點，任意場點的（x,y,zx,y,z）處的電場強度，）處的電場強度， rrqrE304)(其中其中 為介電常數(shù)，位置矢量：為介電常數(shù)，位置矢量：求：求： 的矢量線的矢量線0zeyexerzyxE解：解：)(443030zeye

25、xerqrrqEzyx代入方程組代入方程組 得得zyxEdzEdyEdxzdzydyxdx即即zdzxdxzdzydy解方程組得解方程組得1lnlnczx2lnlnczy1lnczx2lnczy11cezxc22cezyczcx1zcy2一一. . 矢量場的通量矢量場的通量1. 1. 通量的定義通量的定義: :(1)(1)矢量場矢量場A A穿過面元穿過面元dS S的通量：的通量：SAdcosdSA(2)(2)矢量場矢量場A A穿過開表面穿過開表面S S的通量的通量：SSSAdcosdSA(3)(3)矢量場矢量場A A穿過閉合面穿過閉合面S S的通量的通量：SSSAdcosdSA2. 2. 通量

26、的物理意義通量的物理意義：以流體為例，若以流體為例，若0dSSv每秒有凈流量每秒有凈流量流出，包面內流出，包面內有有正源正源0dSSv每秒有凈流量每秒有凈流量流入，包面內流入，包面內有有負源負源每秒流入包面和流每秒流入包面和流出包面的凈流量相出包面的凈流量相等，包面內等，包面內無源無源，或正源與負源相等或正源與負源相等0dSSv二二. . 矢量場的散度矢量場的散度1. 1. 散度的定義散度的定義: :VSSVdlimdiv0AA2. 2. 散度的數(shù)學計算式散度的數(shù)學計算式: :PAzAxAyzxyPOyxz123zAyAxAzyxVSSVdlimdiv0AAzAyAxAzyxA)()(zzyy

27、xxzyxAeAeAezeyexe式中式中zeyexezyx定義為定義為矢量矢量微分算子，也叫漢密頓算符。微分算子，也叫漢密頓算符。VSSVdlimdiv0AA圓柱系中：圓柱系中：zAAAz1)(1A球系中：球系中：ArArrArrrsin1)(sinsin1)(122A3. 3. 矢量場散度的性質：矢量場散度的性質：a. . 一個矢量場的散度在空間構成一個標量場。一個矢量場的散度在空間構成一個標量場。b. 矢量場的散度反映了矢量場在空間各點的凈通量狀態(tài)矢量場的散度反映了矢量場在空間各點的凈通量狀態(tài)有散場有散場 有散場有散場 無散場無散場0A0A0Ac. 散度具有通量體密度的量綱。散度具有通量

28、體密度的量綱。d. BAABBA)()(三三. . 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理） 1. 1. 定理內容定理內容：設在空間有一閉合曲面設在空間有一閉合曲面S S，它所包圍的空，它所包圍的空 間體積為間體積為V，如果矢量場，如果矢量場A A在在S S和和V上都是連續(xù)可導的，上都是連續(xù)可導的，則則VSVddASA 表明了矢量場通過閉合面發(fā)出的凈通量與矢量表明了矢量場通過閉合面發(fā)出的凈通量與矢量場在曲面內的通量源之間的關系。場在曲面內的通量源之間的關系。一一. . 矢量場的環(huán)量（環(huán)流）矢量場的環(huán)量（環(huán)流）1. 1. 矢量場做功：矢量場做功：llFdP1 P22. 2. 環(huán)流的定義：環(huán)流的定

29、義：cclAdcosdlA直角系中直角系中czyxczAyAxA)ddd(dlA圓柱系中圓柱系中czczAAA)ddd(dlA球系中球系中crcrArArA)dsindd(dlA3 3 環(huán)量的物理意義：環(huán)量的物理意義：0dclA表明表明c包圍渦旋源包圍渦旋源0dclA表明表明c不包含渦旋源不包含渦旋源水流沿平行于水管軸線方向流動水流沿平行于水管軸線方向流動 =0，無渦旋運動無渦旋運動流體做渦旋運動流體做渦旋運動0，有產生渦旋的源有產生渦旋的源例：例：流速場流速場二二. . 矢量場的旋度矢量場的旋度1. 1. 旋度的定義：旋度的定義：對對M點，仿照散度的定義，取點，仿照散度的定義，取ScMSlA

30、dlim)(0（環(huán)流面密度）環(huán)流面密度）顯然，上面的算式與積分路徑的選取有關顯然，上面的算式與積分路徑的選取有關SSScMScMScMS123dlimdlimdlim)(0)(0)(0lAlAlAM Ac1c2c3n3n2n定義：定義：dlimmaxrot)(0ScMSlAnA其中其中n是最大環(huán)流密度所在環(huán)路的單位法線方向是最大環(huán)流密度所在環(huán)路的單位法線方向(rotation)柱坐標：柱坐標：AzzAAAzeee2. 2. 旋度的數(shù)學計算式：旋度的數(shù)學計算式：zyxzyxAAAzyxeeeA直角坐標：直角坐標：AArot球坐標：球坐標：ArrAArrererersinsinsin2A 求求A=

31、 exx2 + eyy2 + ezz2 沿著沿著 xy面上的一個閉合回路面上的一個閉合回路c的線積的線積 分。如圖所示，再計算分。如圖所示，再計算A。P(2,)2y2=xOyx解：解： 回路回路c在在xOy面上面上，dz = 0 0224202202d)2(dddyyyyyyxxclAyyxxddd22 lA0236203203)33(33yyyx= 0例例1.61.60222zyxzyxeeezyxA討論討論： A = ex x2 + ey y2 + ez z2 = er r2是輻射狀的場，是輻射狀的場，必定是無旋的。必定是無旋的。A= exx2 + eyy2 + ezz2P(2,)2y2=

32、xOyx3. 3. 旋度的性質：旋度的性質：a. 一個矢量場的旋度構成一個新的矢量場。一個矢量場的旋度構成一個新的矢量場。b. . 分類：有旋場、分類：有旋場、無旋場無旋場c. . 旋度具有環(huán)流面密度的量綱。旋度具有環(huán)流面密度的量綱。d. ( A + B ) = A + B ( A ) = 0說明任一矢量場的旋度一定是無散的。反過來也成立，即說明任一矢量場的旋度一定是無散的。反過來也成立，即若若 B B=0 ，則一定對應著一個矢量場則一定對應著一個矢量場A A，使，使B B= A A。三三. . 斯托克斯斯托克斯（stockes)定理定理ScSAlAdd 1 1、定義、定義：一個矢量場：一個矢量場 ，對任意閉合路徑都有，對任意閉合路徑都有0d clFF無旋場對應著一個標量場無旋場對應著一個標量場uuF0 F則稱其為無旋場則稱其為無旋場一、無旋場一、無旋場2 2、恒等式、恒等式：梯度的旋度恒為零：梯度的旋度恒為零 0)(0)(證明證明：xyzdddeeedxdydz 222222()()()()()0 xyzxyzeeedddeeedxdydzz yz yx zx zx yx yddddxdydz 1、定義、定義：一個矢量場一個矢量場F F，對任意閉合面都有，對任意閉合面都有0d S